模型01 几何图形初步——线段双中点-解析版

几何图形初步 模型（一） 线段双中点 ◎结论1：已知点在线段B 上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M+ = ∴ 1 2 + 1 2 B = 1 2 （+B）= 1 2 B ◎结论2：已知点在线段B 延长线上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B， 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M - = ∴ 1 2 - 1 2 B = 1 2 （ - B）= 1 2 B 已知点是线段B 延长线上一点，点 M，分别是 ，B 的中点，则M= 1 2 B 无论线段之间的和差关系如何变 ，M 的长度只与B 有关即M= 1 2 B 1（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段 ，在线段 上任取一点，其中线段 的中点为 E、线段 的中点为F．则线段 的长度是_______． 【答】 ##25m【也可根据双中点结论，直接得出结果】 【分析】先画出图形，再根据线段中点的定义可得 ，再根据 即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 线段 的中点为 、线段 的中点为 ， ， ， ， 一半一半又一半 故答为： ． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的运算是解题关键． 2（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校七年级期末）如图，是线段B 上一点，M 是的中点，是B 的中点． (1)若M=1，B=4，求M 的长度． (2)若B=6，求M 的长度． 【答】(1)M=3 (2)M=3【也可根据双中点结论，直接得出结果】 【分析】（1）由已知可求得的长，从而不难求得M 的长度； （2）由已知可得B 的长是M 的2 倍，已知B 的长则不难求得M 的长度． （1） 解：∵是B 的中点，M 是的中点，M=1，B=4， =2 ∴ ，M=M=1， ∴M=M+=3； （2） 解：∵M 是的中点，是B 的中点，B=6， ∴M=M+= B=3． 【点睛】本题考查了两点间距离，熟练掌握线段的中点性质是解题的关键． 1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，线段 ，点 是线段 上一点，点 、 分别是 、 的 中点，则 的长为__________ ． 【答】65【也可根据双中点结论，直接得出结果】 【分析】根据中点的性质得出M= B 即可． 【详解】∵点 、 分别是 、 的中点 ∴M= ；= B， ∴M=M+ = + B = = =65m 故答为65 【点睛】本题考查了线段中点的定义和性质，解题的关键是熟练应用中点的性质进行计算． 2．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段B=10m，线段=16m，且B、在同一条直线上，点B 在、之 间，此时B、的中点M、之间的距离为（ ） ．13m B．6m ．3m D．15m 【答】 【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出 、 的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算， 即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵ m， 又∵ 的中点为 ， ∴ ， ∵ m， ∵ 的中点为 ， ∴ ， ∴ ． 故选： 【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题． 3．（2022·云南保山·七年级期末）如图，点M 是B 的中点，点是BD 的中点，B＝6m，B＝10m，D＝8m．则M 的 长为（ ） ．12m B．11m ．13m D．10m 【答】 【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM 的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出B=D= BD，进而结合 图形根据线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点M 是B 的中点， ∴BM=M= B= ×6=3（m）， ∵B=10m,D=8m, ∴BD=B+D=10+8=18（m）， ∵点是BD 的中点， ∴B=D= BD= ×18=9（m）， ∴M=MB+B=3+9=12（m）． 故选：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点 间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度． 4．（2021·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，已知线段B＝12m，点为线段B 上的一个动点，点D， E 分别是和B 的中点． (1)若＝4m，求DE 的长； (2)若把“点在线段B 上”改为“点在直线B 上”，当＝4m 时，求DE 的长．（请画出图形，说明理由） 【答】(1)6m (2)DE 的长是6m，图形、理由见解析 【分析】（1）由B＝12m，点D、E 分别是和B 的中点，即可推出DE＝D+E＝6m； （2）分两种情况：①当点在线段B 上；②当点在直线B 上；根据线段的中点与和差关系可得DE 的长． （1） 解：∵B＝12m，＝4m， ∴B＝B﹣＝8m， ∵点D、E 分别是和B 的中点， ∴D＝ ＝2m，E＝ B＝4m， ∴DE＝D+E＝6m； （2） 解：分两种情况： ①当点在线段B 上，由（1）得DE＝6m； ②当点在直线B 上，如下图所示， B＝+B＝4+12＝16m， ∵＝4m，且D 是的中点， ∴D＝ ＝2m， 又∵E 分别是B 的中点， ∴E＝ B＝8m， ∴DE＝E﹣D＝8 2 ﹣＝6m， ∴当在直线B 上时，线段DE 的长度是6m． 综上所述，DE 的长是6m． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 5．（2022·山东·龙口市培基学校期中）如图，是线段B 上一点，M 是的中点，是B 的中点． (1)若M＝2，B＝8，求M 的长度； (2)若B＝14，求M 的长度． 【答】(1)6 (2)7 【分析】（1）由已知可求得的长，从而不难求得M 的长度； （2）由已知可得B 的长是M 的2 倍，已知B 的长则不难求得M 的长度． （1） 解：∵M 是的中点，是B 的中点， ∴M＝M＝2，＝ B＝4， ∴M＝M+＝6； 故M 的长度为6． （2） 解：∵M 是的中点，是B 的中点， ∴M＝ ，＝ B， ∴M＝M+＝＝ + B＝ B＝7． 故M 的长度为7． 【点睛】此题考查了两点间距离，解题的关键是熟练掌握线段的中点性质． 1．（2018·湖南邵阳·中考模拟）如图，点 在线段 上，点 分别是 的中点． （1）若 ，求线段M 的长； （2）若 为线段 上任一点，满足 ，其它条件不变，你能求出 的长度吗？请说明理由． （3）若 在线段 的延长线上，且满足 分别为 、B 的中点，你能求出 的长度吗？请画 出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答】（1）75；（2） ，理由见解析；（3）能，M= b，画图和理由见解析 【分析】（1）据“点M、分别是、B 的中点”，先求出M、的长度，再利用M=M+即可求出M 的长度即可． （2）据题意画出图形，利用M=M+即可得出答． （3）据题意画出图形，利用M=M-即可得出答． 【详解】解：（1）点M、分别是、B 的中点， M= ∴ =45m， = B=3m， M=M+=45+3=75m ∴ ． 所以线段M 的长为75m． （2）M 的长度等于 ， 根据图形和题意可得：M=M+= + B= （+B）= ； （3）M 的长度等于 b， 根据图形和题意可得： M=M-= - B= （-B）= b． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出 图形也是关键． 2．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知 是线段 上的两个点，点 分别为 的 中点． （1）若 ， ，求 的长和 的距离； （2）如果 ， ，用含 的式子表示 的长． 【答】（1）10，11；（2） 【分析】（1）利用 即可求出 的长，进一步求取 的距离即可； （2）根据（1）中的式子 、 将 ， 代入进一步求解即可 【详解】（1）∵ ， ， ∴ ∵点 分别为 的中点， M= ∴ ，B= BD， ∵ ∴ ， ∴ m； （2）由（1）可知 ， ∵ ， ， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了线段中点的相关计算，熟练掌握相关概念是解题关键