模型41 单中点、双中点模型（解析版）

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． ．5 D． 解：延长E 交B 于F，如图所示： ∵B⊥B，B⊥D， ∴D∥B， ∴∠D＝∠， ∵点E 是D 的中点， ∴DE＝E， 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）， ∴E＝FE，D＝F＝5， ∴BF＝B﹣F＝5， 在Rt△BF 中，F＝ ＝ ＝13， ∴E＝ F＝ ． 故选：B． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在菱形BD 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（ ） ．35° B．45° ．50° D．55° 解：延长PF 交B 的延长线于点G． 在△BGF 与△PF 中， ， ∴△BGF≌△PF（S）， ∴GF＝PF， ∴F 为PG 中点． 又∵由题可知，∠BEP＝90°， ∴EF＝ PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵PF＝ PG（中点定义）， ∴EF＝PF， ∴∠FEP＝∠EPF， ∵∠BEP＝∠EP＝90°， ∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EP﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FP， ∵四边形BD 为菱形， ∴B＝B，∠B＝180°﹣∠＝70°， ∵E，F 分别为B，B 的中点， ∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝ （180° 70° ﹣ ）＝55°， 易证FE＝FG， ∴∠FGE＝∠FEG＝55°， ∵G∥D， ∴∠FP＝∠EGF＝55° 故选：D． 【变式1-2】．如图，在△B 中，B＝12，＝20，求B 边上中线D 的范围为 4 ＜ D ＜ 16 ． 解：延长D 到E，使得DE＝D，连接BE，如图， 在△D 和△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB（SS）， ∴BE＝＝20． ∵BE﹣B＜E＜B+BE， 20 12 ∴ ﹣ ＜2D＜12+20， 4 ∴＜D＜16． 故答为：4＜D＜16． 考点二：双中点中位线模型 【例2】．如图，在△B 中，D 是B 上一点，D＝，E⊥D，垂足为点E，F 是B 的中点，若 BD＝16，则EF 的长为 8 ． 解：∵D＝，E⊥D， ∴E 为D 的中点， 又∵F 是B 的中点， ∴EF 为△BD 的中位线， ∴EF∥BD，EF＝ BD， ∵BD＝16， ∴EF＝8， 故答为：8． 变式训练 【变式2-1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝2 ，B＝3，D、E 分别是B、的中点， 延长B 至点F，使F＝ B，连接DF、EF，则EF 的长为 ． 解：连接DE，D， ∵D、E 分别是B、的中点， ∴DE∥B，DE＝ B， ∴DE∥F， ∵F＝ B， ∴DE＝F， ∴四边形DFE 是平行四边形， ∴EF＝D， ∵在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝2 ，B＝3， ∴D＝ ＝ ＝ ， ∴EF＝D＝ ， 故答为： ． 【变式2-2】．如图，在△B 中，BE、F 分别为边、B 上的高，D 为B 的中点，DM⊥EF 于 M．求证：FM＝EM． 证明：连接DE，DF， ∵BE、F 分别为边、B 上的高，D 为B 的中点， ∴DF＝ B，DE＝ B， ∴DF＝DE，即△DEF 是等腰三角形． ∵DM⊥EF， ∴点M 时EF 的中点，即FM＝EM． 考点三：单中点三线合一模型 【例3】．如图，在△B 中，∠B＝2∠，D⊥B，交B 于D，M 为B 的中点，B＝10，求DM 的长． 解： 延长B 到，使B＝B＝10，连接，M， 则∠＝∠B， ∵∠B＝∠+∠B，∠B＝2∠， ∴∠＝∠， ∴＝， ∵D⊥， ∴D＝D， ∴B+BD＝D＝DM+M＝DM+BM＝BD+2DM， ∴B＝2DM， 2 ∴DM＝10， ∴DM＝5． 变式训练 【变式3-1】．在△B 中，B＝＝5，B＝6，M 是B 的中点，M⊥于点，则M＝（ ） ． B． ．6 D．11 解：连接M， ∵B＝，点M 为B 中点， ∴M⊥M（三线合一），BM＝M， ∵B＝＝5，B＝6， ∴BM＝M＝3， 在Rt△BM 中，B＝5，BM＝3， ∴根据勾股定理得：M＝ ＝ ＝4， 又S△M＝ M•＝ M•M， ∴M＝ ＝ ． 故选：． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，D 为边的中点，过点D 作 DE⊥DF，交B 于点E，交B 于点F，连接EF，若E＝4，F＝3，求EF 的长． 解：连接BD． ∵D 是中点， ∴∠BD＝∠BD＝45°，BD＝D＝D，BD⊥ ∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠DF＝90°， ∴∠EDB＝∠DF， 在△BED 和△FD 中， ∵ ， ∴△BED≌△FD（S）， ∴BE＝F； ∵B＝B，BE＝F＝3， ∴E＝BF＝4， 在Rt△BEF 中，EF＝ ＝5． 【变式3-3】．已知：如图，△B 中，B＝，D⊥B 于点D．求证：∠B＝2∠DB． 解：过作E⊥B 于E， ∴∠EB＝90°， ∴∠BE+∠B＝90°， ∵D⊥B， ∴∠DB+∠B＝90°， ∴∠DB＝∠BE， ∵B＝， ∴∠BE＝ ∠B， ∴∠B＝2∠DB． 1．如图，在平行四边形BD 中，D＝2D，BE⊥D 于点E，F 为D 中点，连接EF、BF，下 列结论：①∠B＝2∠BF；②EF＝BF；③S 四边形DEB＝2S△EFB；④∠FE＝3∠DEF，其中 正确的有（ ） ．①② B．②③ ．①②③④ D．①②④ 解：如图，延长EF 交B 的延长线于G，取B 的中点，连接F． ∵D＝2D，DF＝F， ∴F＝B， ∴∠FB＝∠BF， ∵D∥B， ∴∠FB＝∠FB， ∴∠BF＝∠FB， ∴∠B＝2∠BF．故①正确， ∵DE∥G， ∴∠D＝∠FG， ∵DF＝F，∠DFE＝∠FG， ∴△DFE≌△FG（S）， ∴FE＝FG， ∵BE⊥D， ∴∠EB＝90°， ∵D∥B， ∴∠EB＝∠EBG＝90°， ∴BF＝EF＝FG，故②正确， ∵S△DFE＝S△FG， ∴S 四边形DEB＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确， ∵＝B，DF＝F，B＝D， ∴F＝B，∵F∥B， ∴四边形BF 是平行四边形， ∵F＝B， ∴四边形BF 是菱形， ∴∠BF＝∠BF， ∵FE＝FB，F∥D，BE⊥D， ∴F⊥BE， ∴∠BF＝∠EF＝∠DEF， ∴∠EF＝3∠DEF，故④正确， 故选：． 2．如图，已知E，F 分别为正方形BD 的边B，B 的中点，F 与DE 交于点M，为BD 的中 点，则下列结论： ①∠ME＝90°；②∠BF＝∠EDB；③∠BM＝90°；④MD＝2M＝4EM；⑤M＝ MF． 其中正确结论的是（ ） ．①③④ B．②④⑤ ．①③④⑤ D．①③⑤ 解：在正方形BD 中，B＝B＝D，∠B＝∠BD＝90°， ∵E、F 分别为边B，B 的中点， ∴E＝BF＝ B， 在△BF 和△DE 中， ， ∴△BF≌△DE（SS）， ∴∠BF＝∠DE， ∵∠BF+∠DF＝∠BD＝90°， ∴∠DE+∠DF＝∠BD＝90°， ∴∠MD＝180°﹣（∠DE+∠DF）＝180° 90° ﹣ ＝90°， ∴∠ME＝180°﹣∠MD＝180° 90° ﹣ ＝90°，故①正确； ∵DE 是△BD 的中线， ∴∠DE≠∠EDB， ∴∠BF≠∠EDB，故②错误； ∵∠BD＝90°，M⊥DE， ∴△ED∽△MD∽△ME， ∴ ＝ ＝ ＝2， ∴M＝2EM，MD＝2M， ∴MD＝2M＝4EM，故④正确； 设正方形BD 的边长为2，则BF＝， 在Rt△BF 中，F＝ ＝ ， ∵∠BF＝∠ME，∠B＝∠ME＝90°， ∴△ME∽△BF， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得M＝ ， ∴MF＝F﹣M＝ ﹣ ＝ ， ∴M＝ MF，故⑤正确； 如图，过点M 作M⊥B 于， 则 ＝ ＝ ， 即 ＝ ＝ ， 解得M＝ ，＝ ， ∴B＝B﹣＝2﹣ ＝ ， 根据勾股定理，BM＝ ＝ ， 过点M 作G∥B，过点作K⊥G 于K， 则K＝﹣ ＝ ，MK＝ ﹣＝ ， 在Rt△MK 中，M＝ ＝ ， 根据正方形的性质，B＝2× ＝ ， ∵BM2+M2＝（ ）2+（ ）2＝22， B2＝（ ）2＝22， ∴BM2+M2＝B2， ∴△BM 是直角三角形，∠BM＝90°，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑤共4 个． 故选：． 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝6，B 的垂直平分线交B 于D，交于E，若D＝5，则 E＝ ． 解：如图，连接BE， ∵B 的垂直平分线交B 于D，交于E， ∴E＝BE， Rt ∵ △B 中，∠B＝90°，D 是B 的中点， ∴B＝2D＝10， 又∵B＝6， ∴＝8， 设E＝BE＝x，则E＝8﹣x， ∵∠BE＝90°， Rt ∴ △BE 中，E2+B2＝BE2， 即（8﹣x）2+62＝x2， 解得x＝ ， ∴E＝ ， 故答为： ． 4．如图在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，＝4，点D 是B 的中点，过点D 作DE 垂直B 交B 的 延长线于点E，则E 的长是 ． 解：在Rt△B 中，由勾股定理得，B＝ ＝5， ∵点D 是B 的中点， ∴BD＝ B＝ ， ∵DE⊥B， ∴∠BDE＝∠B＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴BE＝ ， ∴E＝BE﹣B＝ ﹣3＝ ， 故答为： ． 5．如图．B 是半圆的直径．点、D 在 上．且D 平分∠B．已知B＝10，＝6，则D＝ 4 ． 解：如图，连接D 交B 于E 点， ∵B 为直径， ∴⊥B， 又∵B＝10，＝6， ∴B＝ ＝8， ∵D 平分∠B， ∴ ＝ ， ∴D 垂直平分B，由此可得：E＝ ＝3，DE＝D﹣E＝5 3 ﹣＝2， 又∵BE＝ B＝4， 在Rt△BDE 中，由勾股定理，得BD2＝BE2+DE2＝20， 在Rt△BD 中，D＝ ＝ ＝4 ． 故答为：4 ． 6．如图，四边形BD 中，B＝8，D＝6，∠DB＝∠B＝90°，以D，为边作平行四边形DE， 连接BE，则BE 的长为 2 ． 解：连接E 交D 于，连接DM、M，取B 的中点M，连接M，如图所示： ∵B＝8，∠DB＝∠B＝90°， ∴DM＝M＝ B＝4， ∵四边形DE 是平行四边形， ∴＝E，＝D＝ D＝3， ∴M 是△BE 的中位线， ∴BE＝2M， ∵DM＝M，＝D， ∴M⊥D， ∴∠M＝90°， 由勾股定理得：M＝ ＝ ＝ ， ∴BE＝2M＝2 ； 故答为：2 ． 7．如图，正方形BD 的边长为6，点E 是B 的中点，连接E 与对角线BD 交于点G，连接G 并延长，交B 于点F，连接DE 交F 于点，连接．以下结论：①F⊥DE；②G＝ ； ③D＝；④ ＝ ，其中正确结论的序号是 ①③④ ． 解：∵四边形BD 是边长为6 的正方形，点E 是B 的中点， ∴B＝D＝B＝D＝6，BE＝E＝3， ∠DE＝∠BE＝90°，∠BD＝∠BD＝45°， ∴△BE≌△DE（SS）， ∴∠DE＝∠BE，DE＝E， ∵B＝B，∠BG＝∠BG，BG＝BG， ∴△BG≌△BG（SS）， ∴∠BE＝∠BF， ∴∠BF＝∠DE， 又∵∠DE+∠ED＝90°， ∴∠BF+∠ED＝90°， ∴∠E＝90°， ∴F⊥DE，故①正确； ∵D＝6，E＝3， ∴DE＝ ＝ ＝3 ， ∵S△DE＝ ×D•E＝ ×DE•， ∴＝ ， ∵∠E＝∠BF，∠BF＝∠E， ∴△E∽△FB， ∴ ， ∴F＝ ＝3 ， ∴F＝F﹣＝ ， ∴ ＝ ，故④正确； 如图，过点作M⊥DE 于点M， ∵D＝6，＝ ， ∴D＝ ＝ ＝ ， ∵∠D+∠DM＝90°，∠DM+∠DM＝90°， ∴∠D＝∠DM， 又∵D＝D，∠D＝∠MD＝90°， ∴△DM≌△D（S）， ∴＝DM＝ ，M＝D＝ ， ∴M＝DM＝ ， 又∵M⊥D， ∴D＝，故③正确； ∵DE＝3 ，D＝ ， ∴E＝ ， ME＝E+M＝ ， ∵M⊥DE，F⊥DE， ∴M∥F， ∴ ， ∴ ＝ ， ∴G＝ ，故②错误． 综上，正确的有：①③④． 故答为：①③④． 8．如图，BE 是△B 的中线，点F 在BE 上，延长F 交B 于点D．若BF＝3EF，求 的值． 解：如图，∵BE 是△B 的中线， ∴BE 是△B 的中线， ∴ ＝ ， 过点E 作EG∥D 交D 于G， ∴∠GE＝∠D，∠EG＝∠， ∴△GE∽△D， ∴ ＝ ＝ ， ∴D＝2GE， ∵BF＝3FE， ∴ ＝ ， ∵GE∥BD， ∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF， ∴△GFE∽△DFB， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ． 9．如图，已知在△B 中，D 是B 边上的中线，E 是D 上一点，连接BE 并延长交于点F，F ＝EF，求证：＝BE． 证明：延长D 至G，使DG＝D，连接BG， 在△BDG 和△D 中， ∵ ，Ⅳ ∴△BDG≌△D（SS）， ∴BG＝，∠D＝∠G， 又∵F＝EF， ∴∠D＝∠EF， 又∠BEG＝∠EF， ∴∠D＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE， ∴＝BE． 10．已知线段B＝8（点在点B 的左侧）． （1）若在直线B 上取一点，使得＝3B，点D 是B 的中点，求D 的长； （2）若M 是线段B 的中点，点P 是线段B 延长线上任意一点，点是线段BP 的中点， 求 的值． 解：（1）①当点在线段B 上时，如图1， ∵＝3B， 设B＝x，则＝3x， ∵B＝+B， 8 ∴＝3x+x， ∴x＝2， ∴B＝2，＝6， ∵点D 是B 的中点， ∴D＝BD＝ B＝1， ∴D＝+D＝6+1＝7； ②当点在线段B 的延长线上时，如图2， 设B＝x，＝3B＝3x， ∵B＝﹣B＝2x＝8， ∴x＝4， ∴B＝4，＝12，B＝8， ∵点D 是B 的中点， ∴BD＝D＝ B＝2， ∴D＝B+BD＝8+2＝10； ③当点在B 的延长线上时，明显，此情况不存在； 综上所述，D 的长为7 或10； （2）如图3，∵M 是线段B 的中点，点是线段BP 的中点， ∴BM＝ B，B＝ PB， ∴M＝BM+B＝ B+ PB＝ （B+PB）＝ P， ∴ ＝ ＝ +1＝2+1＝3． 11．如图所示，在△B 中，D 是边B 上的高线，E 是边B 上的中线，DG⊥E 于点G，D＝E （1）证明：G＝EG； （2）若D＝6，BD＝8，求E 的长． 解：（1）证明：G＝EG． 连接DE，如图． ∵D⊥B， ∴∠DB＝90°， 又E 为B 中点， ∴DE＝E＝BE， ∵D＝E， ∴DE＝D，又DG⊥E， ∴EG＝G； （2）过E 作EM⊥B 于M，如图． ∵D⊥B，EM⊥B， ∴EM∥D， ∵E 为B 中点， ∴EM 是△BD 的中位线， ∴EM＝ D＝3． ∵D＝6，BD＝8， ∴B＝ ＝10， ∵DE＝ B＝5， ∴DM＝4， ∵D＝E＝DE＝5， ∴M＝D+DM＝9， ∴E＝ ＝3 ． 12 ．如图1 ，直线B 上有一点P ，点M 、分别为线段P 、PB 的中点，B ＝14 ． （1）若点P 在线段B 上，且P＝8，求线段M 的长度； （2）若点P 在直线B 上运动，试说明线段M 的长度与点P 在直线B 上的位置无关； （3）如图2，若点为线段B 的中点，点P 在线段B 的延长线上，下列结论：① 的值不变；② 的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． 解：（1）∵P＝8，点M 是P 中点， ∴MP＝ P＝4， ∴BP＝B﹣P＝6， 又∵点是PB 中点， ∴P＝ PB＝3， ∴M＝MP+P＝7． （2）①点P 在B 之间；②点P 在B 的延长线上；③点P 在B 的延长线上，均有M＝ B＝7． （3）选择②． 设＝B＝x，PB＝y， ① ＝ ＝ （在变化）； （定值）． 13．如图，菱形BD 的对角线，BD 相交于点，E 是D 的中点，点F，G 在B 上，EF⊥B， G∥EF． （1）求证：四边形EFG 是矩形； （2）若D＝10，EF＝4，求E 和B 的长． （1）证明：∵四边形BD 为菱形， ∴B＝D， ∵点E 为D 中点， ∴E 为△BD 的中位线， ∴E∥FG， ∵G∥EF， ∴四边形EFG 为平行四边形， ∵EF⊥B， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形EFG 为矩形； （2）解：∵四边形BD 是菱形， ∴B＝D＝10， 由（1）得：E 为△BD 的中位线， ∴E＝ B＝ ×10＝5， ∵点E 为D 的中点， ∴E＝ D＝ ×10＝5， 由（1）可知，四边形EFG 是矩形， ∴∠EFG＝∠FE＝∠GB＝90°，G＝EF＝4，FG＝E＝5， ∴F＝ ＝ ＝3， ∴BG＝B﹣F﹣FG＝10 3 5 ﹣﹣＝2， ∴B＝ ＝ ＝2 ． 14．在菱形BD 和等边△BGF 中，∠B＝60°，P 是DF 的中点． （1）如图1，点G 在B 边上时， ①判断△BDF 的形状，并证明； ②请连接PB，若B＝10，BG＝4，求PB 的长； （2）如图2，当点F 在B 的延长线上时，连接PG、P．试判断P、PG 有怎样的关系， 并给予证明． 解：（1）①如图1，△BDF 是直角三角形， 理由是：∵四边形BD 是菱形，∠B＝60°， ∴∠DB＝30°， ∵△BGF 是等边三角形， ∴∠GBF＝60°， ∴∠DBF＝∠DB+∠GBF＝90°， ∴△BDF 是直角三角形； ②如图2，过作⊥BD 于， ∵∠BD＝120°，B＝D， ∴∠B＝60°， ∴∠B＝30°， Rt△B 中，B＝10， ∴＝5， ∴B＝ ＝5 ， ∴BD＝2B＝10 ， ∵△BGF 是等边三角形， ∴BF＝BG＝4， 由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝ ＝2 ， 由①知：△BDF 是直角三角形，且P 是