81 中点模型

中点模型知识精讲 1 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形 的“三线合一”性质来解决问题例： 已知：在△B 中，B＝，取B 的中点D，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线 【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法 2 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问 题，例： （1）如图，在Rt△B 中，D 为斜边B 的中点，连接D，则D＝D＝BD （2）如图，在Rt△B 中，B＝2B，作斜边B 上的中线D，则D＝BD＝D＝B，△BD 是等边三 角形 【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题 的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角 3 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例： （1）如图，在△B 中，D 为△B 的中线，延长D 至点E，使得DE＝D，连接BE，则 △D≌△EDB （2）如图，在△B 中，D 为△B 的中线，延长D 至点E，使得DE＝D，连接BE，则四边形 BE 是平行四边形 4 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点E 是△B 中线D 上的一点，延长D 至点F，使得DE＝DF ，连接BF、F，则四边形BFE 为平行四边形或△BDF≌△DE 或△BED≌△FD 【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一 般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条 线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等， 利用等角对等边证明两条线段相等 5 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点为 边E 上一点，为B 的中点，延长至点D，使得 ，连接 D、BD，则 ， ，四边形DB 为平行四边形 6 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例： 如图，F 为△B 的中线，作BD⊥F 交F 延长线于点D，作E⊥F 于点E，则△BD≌△E 7 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中 位线，利用已知的条件可求线段长，例： 如图，D 为B 的中点，过点D 作DE∥B，则DE 为△B 的中位线；过点B 作BF∥D 交的延长 线于点F，则D 为△BF 的中位线 8 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例： 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， 9 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构 造三角形的中位线，例： 如图，点E 是△B 边B 的中点，取的中点F，连接EF，则EF∥B， 10 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例： （1）如图， ，连接、B，则B⊥，B 平分 （2）如图，点为弦B 的中点，连接，则⊥B 中点模型巩固练习（提优） 1 如图，在矩形BD 中，E 为B 延长线一点且＝E，F 为E 的中点，求证：BF⊥FD 【解答】见解析 【解析】如图，连接F ∵＝E，F 为E 的中点，∴F⊥E，∴∠FD＋∠DF＝90º， ∵四边形BD 是矩形，∴B＝D，B⊥E，∠B＝∠BD＝90º， 在Rt△BE 中，∵F 为E 的中点，∴BF＝F，∴∠FB＝∠FB， ∠ ∴ FB＋∠BD＝∠FB＋∠B，即∠FB＝∠FD， 又∵D＝B，F＝FB，∴△FB △ ≌FD，∴∠FD＝∠BF， ∠ ∴ BFD＝∠BF＋∠DF＝∠FD＋∠DF＝90º，∴BF⊥FD 2 如图，在梯形BD 中，∠B＋∠＝90º，EF 是两底中点的连线，求证：B－D＝2EF 【解答】见解析 【解析】如图，过点E 作EM∥B 交B 于点M，E∥D 交于点 ∵四边形BD 是梯形，∴D∥B，∴四边形BME 和四边形DE 为平行四边形，∴BM＝E，＝ DE， ∵E、F 分别为D、B 的中点，∴E＝ED，BF＝F，∴FM＝F， ∵EM∥B，E∥D，∴∠EM＋∠B，∠EM＝∠， 又∵∠B＋∠＝90º，∴∠EM＋∠EM＝90º，即∠ME＝90º，∴EF＝ M， ∴EF＝ [B－（BM＋）]＝ （B－D），即B－D＝2EF 3 如图，在△B 中，∠B＝90º，B＝，D＝D，F⊥BD 于点E 交B 于点F，求证：BF＝2F 【解答】见解析 【解析】如图，过点作⊥BD 交BD 的延长线于点 ∵E⊥BD，∴∠ED＝∠， ∵D＝D，∠DE＝∠D，∴△DE≌△D（S），∴DE＝D， ∵F⊥BD，⊥BD，∴F∥，∴ ， ∵∠B＝90º，E⊥BD，∴△BE∽△DB，∴ ，即 ， 同理可证 ，∴ ， ∵B＝＝2D， ，又∵D＝DE， ， ∴ ，∴BF＝2F 4 如图，在四边形BD 中，E 为B 上的一点，△DE 和△BE 都是等边三角形，B、B、D、D 的中点分别为P、Q、M、，试判断四边形PQM 的形状 【解答】四边形PQM 为菱形 【解析】如图，连接、BD ∵△DE 和△BE 都是等边三角形，∴∠E＝120º，∠BED＝120º，∴∠E＝∠BED， 又∵E＝ED，E＝EB，∴△E≌△DEB，∴＝BD， 又∵P、Q、M、分别是B、B、D、D 的中点，∴P BD，QM BD， ∴P QM，∴四边形PQM 是平行四边形， 又∵P＝ BD，M＝ ，∴M＝P，∴四边形PQM 是菱形 5 如图，P 是圆外的一点，过P 点引两条割线PB、PD，点M、分别是 、 的中点， 连接M 分别交B、D 于点E、F （1）求证：△PEF 是等腰三角形； （2）若点P 在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？ 【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析 【解析】（1）如图，证明：连接M、，分别交B、D 于点G、 ∵点M、分别是 、 的中点，∴M⊥B，⊥D，即∠MGE＝∠F＝90º， 又∵M＝，∴∠M＝∠，∴∠MEG＝∠F， ∵∠MEG＝∠PEF，∠F＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF 是等腰三角形； （2）如图1，当点P 在圆上时，连接M、，分别交B、D 于点G、 ∵M＝，∴∠M＝∠M， 又∵点M、分别是 、 的中点，∴∠MGE＝∠F＝90º，∴∠MEG＝∠F， ∵∠MEG＝∠PEF，∠F＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF 是等腰三角形； 如图2，当点P 在圆内时，连接M、，分别交B、D 于点G、 ∵M＝，∴∠M＝∠M， 又∵点M、分别是 、 的中点，∴∠MGE＝∠F＝90º，∴∠MEG＝∠F， ∵∠MEG＝∠PEF，∠F＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF 是等腰三角形； 6 半径为1 的半圆形纸片，按如图方式沿B 折叠，使折叠后半圆弧的中点M 与圆心重合， 求图中阴影部分面积？ 【解答】 【解析】如图，连接M 交B 于点，连接、B 由题意可得M⊥B，且＝M＝ ， 在Rt△中，∵＝1，＝ ， ， ∴∠＝60º，B＝2＝ ，∴∠B＝2∠＝120º， 则 ， 7．如图，在等腰梯形BD 中，B∥D，∠B＝60°，平分∠DB，E、F 分别为对角线、DB 的 中点，且EF＝4．求这个梯形的面积． 【解答】48❑ √3 【解析】∵四边形BD 是等腰梯形， ∠ ∴ DB＝∠B＝60°，D∥B， ∠ ∴ D＝∠B， ∵平分∠DB， ∠ ∴ D＝∠B¿ 1 2 ∠DB＝30°，∠D＝∠D， ∠ ∴ B＝90°，D＝D＝B， ∴B＝2B＝2D， 设D＝，则B＝2， 连接DE，并延长DE 交B 于M， ∵在△DE 和△ME 中 { ∠DCE=∠MAE CE=AE ∠DEC=∠MEA ， △ ∴DE △ ≌ME（S）， ∴D＝M＝，DE＝EM， ∵DF＝BF， ∴EF¿ 1 2 BM¿ 1 2 （B﹣M）， ∵EF＝4， 4 ∴¿ 1 2 （2﹣）， ＝8， 即B＝D＝D＝8，B＝16， 过作⊥B 于， ∵B＝8，∠B＝60°， ∠ ∴ B＝30°， ∴B¿ 1 2 B＝4，由勾股定理得：＝4❑ √3， ∴梯形的面积¿ 1 2 （D+B）׿ 1 2 ×（8+16）×4❑ √3=¿48❑ √3． 8．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 为斜边B 中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+F2． 【解答】见解析 【解析】证明：延长ED 到G，使DG＝DE，连接EF、FG、G，如图所示： 在△EDF 和△GDF 中 { DF=DF ∠EDF=∠FDG=90° DG=DE ， △ ∴EDF △ ≌GDF（SS）， ∴EF＝FG 又∵D 为斜边B 中点 ∴BD＝D 在△BDE 和△DG 中， { BD=DC ∠BDE=∠CDG DE=DG ， △ ∴BDE △ ≌DG（SS） ∴BE＝G，∠B＝∠BG ∴B∥G ∠ ∴ G＝180° ∠ ﹣ ＝180° 90° ﹣ ＝90° 在Rt△FG 中，由勾股定理得： FG2＝F2+G2＝F2+BE2 ∴EF2＝FG2＝BE2+F2． 9．半径为25 的⊙中，直径B 的不同侧有定点和动点P．已知B：＝4：3，点P 在^ AB上 运动，过点作P 的垂线，与PB 的延长线交于点Q． （1）当点P 与点关于B 对称时，求Q 的长； （2）当点P 运动到^ AB的中点时，求Q 的长； （3）当点P 运动到什么位置时，Q 取到最大值？求此时Q 的长． 【解答】（1）32 5 ；（2）14 ❑ √2 3 ；（3）当P 过圆心，即P 取最大值5 时，Q 最大值为 20 3 ． 【解析】（1）当点P 与点关于B 对称时，P⊥B，设垂足为D． ∵B 为⊙的直径， ∠ ∴ B＝90°． ∴B＝5，又∵B：＝4：3， ∴B＝4，＝3． 又∵1 2 •B¿ 1 2 B•D ∴D¿ 12 5 ，P¿ 24 5 在Rt△B 和Rt△PQ 中， ∠B＝∠PQ＝90°，∠B＝∠PQ， Rt△B∽Rt△PQ ∴AC BC = PC CQ ， ∴Q¿ BC ⋅PC AC = 4 3 P¿ 32 5 ． （2）当点P 运动到弧B 的中点时，过点B 作BE⊥P 于点E（如图）． ∵P 是弧B 的中点， ∠ ∴ PB＝45°，E＝BE¿ ❑ √2 2 B＝2❑ √2 又∠PB＝∠B ∴t∠PB＝t∠B¿ 4 3 ∴PE¿ BE tan∠CPB = 3 4 BE¿ 3 ❑ √2 2 ，P¿ 7 ❑ √2 2 而从（1）中得，Q¿ 4 3 P¿ 14 ❑ √2 3 ． （3）点P 在弧B 上运动时，恒有Q¿ BC ⋅PC AC = 4 3 P； 故P 最大时，Q 取到最大值． 当P 过圆心，即P 取最大值5 时，Q 最大值为20 3 ． 10．如图已知▱BD 中，E 为D 的中点，E 的延长线交B 的延长线于点F （1）D 与F 相等吗？为什么？ （2）若使∠F＝∠BF，▱BD 的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并 说明理由． 【解答】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）D＝F． 理由：∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B， ∠ ∵ D＝∠EF， ∵E 为D 的中点， 即DE＝E， ∴在△DE 和△FE 中， { ∠D=∠EAF DE=AE ∠CED=∠FEA ， △ ∴DE △ ≌FE（S）， ∴D＝F． （2）要使∠F＝∠BF，需平行四边形BD 的边长之间是2 倍的关系，即B＝2B， 理由：∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B， ∵D＝F， ∴B＝F， ∴BF＝B+F＝2B， ∵B＝2B， ∴B＝BF， ∠ ∴ F＝∠BF． 11．如图，在直角△B 中，D 为斜边B 的中点，DE⊥DF，而E、F 分别在和B 上，连结 EF．观察E、EF、BF 能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由． 【解答】能组成直角三角形，斜边为EF 【解析】如图，延长FD 到F′，使DF′＝DF，连接F′、EF′， ∵D 为斜边B 的中点， ∴D＝BD， 在△DF′和△BDF 中， { AD=BD ∠ADF '=∠BDF DF '=DF ， △ ∴DF′ △ ≌BDF（SS）， ∴F′＝BF，∠B＝∠DF′， ∠ ∵ B+∠B＝90°， ∠ ∴ B+∠DF′＝∠B+∠B＝90°， 即∠EF′＝90°， 又∵DE⊥DF， ∴EF′＝EF， △ ∴EF′是以EF′为斜边的直角三角形， 故E、EF、BF 能组成直角三角形，斜边为EF．