但11＞3，这与x＜3 矛盾，所以此种情况舍去． 即：若x*3＝5，则有理数x 的值为4， 故选：． 总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含 的运算及运算顺序． 类型二 整式加减中的新定义 8．（2022 秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x 的相伴数；若x≥0，则[x]＝x 1 ﹣；若x＜ 0，则[x]＝x+1．例[ 3 4 ﹣x+k）， + ∴d＝6x2 8 ﹣x+4 2 ﹣（3x2 4 ﹣x+k）＝6， 解得k＝﹣1． ∴k 的值为﹣1． 总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加减运算顺序和法 则． 18．（2022 秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x 的“⻘一值”．若x≥0，则有 理数x 的“⻘一值”[x]＝x 2 ﹣；若x＜0，则有理数x ③＝2021 时，b＝2 2021 ﹣ ＝﹣2019； （2）设点表示的数为x，根据题意得： 5 2 3 ﹣＝2﹣x， 解得：x=10 7 ， ∴点表示的数是10 7 ． 总结提升：本题考查数轴及列代数式，解题的关键是读懂题意，理解互为基准变换点的定义． 20．（2022 秋•西城区校级期中）阅读下列材料： 定义：已知点，B，为数轴上任意三点，若B¿ 1 2，则称点是[，B]的相关点．

解：设∠＝x，则∠B＝2x． ∴∠B＝3x． 又D 平分∠B， ∴∠D＝15x． ∴∠D＝∠D﹣∠＝15x﹣x＝20°． ∴x＝40° ∴∠B＝120°． 总结提升：本题考查了角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解决 此类问题的一般方法． 3．如图，、、B 三点在一条直线上，∠＝2∠D，E 平分∠BD，∠E＝77°，求∠D 的度数． 思路引领：设∠D＝x β=1 2 (α+β)． （3）若∠B 内部有顺次的四条射线：E、、D、F，E 平分∠，F 平分∠DB， 那么∠EF¿ 1 2 (∠AOB+∠COD)． 总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到∠EF ¿ 1 2 (∠AOB+∠COD)是解决本题的关键． 类型六 射线的转动 19．（2021 秋•盱眙县期末）【阅读理解】 射线是∠B 内部的一条射线，若∠¿ 解：∵平分∠BD， ∴∠BD＝2∠D＝2×30°＝60°， ∵∠BE＝90°， ∴∠DE＝∠BE﹣∠BD＝30°， ∵∠D＝90°， ∴∠E＝∠D+∠DE＝120°． 总结提升：此题综合考查角平分线及角的和差关系，注意数形结合，便于解决问题． 9．（2018 秋•开州区期末）如图，已知∠B＝2∠，D 平分∠B，且∠＝38°，求∠D 的度数． 思路引领：由角平分线的定义，角的和差计算得∠D 的度数为19°．

图中∠B 的所有2 倍角； （3）如图2，若∠是∠B 的3 倍角，∠D 是∠B 的4 倍角，且∠BD＝90°，求∠B 的度数． 22．（2020 秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线，射线B 及∠M，给出如下定义：若由射线、B 组成 的∠B 的平分线T 落在∠M 的内部或边M、上，则称射线与射线B 关于∠M 内含对称．例如，图1 中射线 与射线B 关于∠M 内含对称． 已知：如图2，在平面内，∠M＝10°，∠M＝20°． 范围； （3）如图4，∠E＝∠E＝2∠F＝20°，现将射线绕点以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线E 和F 绕 点都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t 秒，且0＜t＜60．若∠FE 的内部及两边至少存在一 条以为顶点的射线与射线关于∠M 内含对称，直接写出t 的取值范围． 23．（2022 秋•岳麓区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2 的两个角的射线，叫作 这个

秒，若P+BQ＝2PQ，求时间t 的值． 思路引领：（1）先根据非负数的性质求出，b 的值即可； （2）先根据两点间的距离公式可求B，再根据题意即可得出结论； （3）先用t 表示出P，BQ 及PQ 的值，再根据P+BQ＝2PQ 列出关于t 的方程，求出t 的值即可． 解：（1）∵|+3|+（b 9 ﹣）2＝0， +3 ∴ ＝0，b 9 ﹣＝0，解得＝﹣3，b＝9； （2）B＝9﹣（﹣3）＝12， 个单位长度可分为相遇前和相遇后两种情况，根据两点间距离公式得出关于t 的方程， 求解即可得； （Ⅲ）分“点P 运动半周时与点Q 相遇”和“点P 运动一周时与点Q 相遇”两种情况，先求出点P 运 动时间及点P 所表示的数，再根据速度＝距离÷时间即可求得． 解：（Ⅰ）设t 秒后P、Q 两点到原点的距离相等， 则点P 表示的数为﹣10+2t，点Q 表示的数为10 3 ﹣t， 根据题意，得：| 10+2 运动一周时于点Q 相遇，此时点P 运动时间为：360÷60＝6（秒），点P 表示的数为2， ∴点Q 的运动速度为10−2 6 = 4 3 （单位长度/秒）． 总结提升：本题主要考查数轴、两点间距离公式及一元一次方程的应用，根据题意全面而且准确地分类 讨论是解题的关键． 3．（2022 秋•鲤城区校级期中）已知，，B 在数轴上对应的数分别用，b 表示，且| 20|+ ﹣ （b+10）2＝0， 数轴上动点P

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