中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与最值、定值相关的压轴题 方法提炼： 1、已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点、，求M+M 最小值的问题，我们只需 做出点关于这条直线的对称点B，将点与B 连接起来交直线与点M，那么B 就是M+M 的最 小值。同理，我们也可以做出点关于这条直线的对称点’，将点与’连接起来交直线与点 M，那么’就是M+M 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 2、 初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边 之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求 第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。 典例引领： 8．已知抛物线：y＝x2﹣2x+经过点（1，2），与x 轴交于（﹣1，0）、B 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线y＝ （2）如图1，直线y＝ x 交抛物线于S、T 两点，M 为抛物线上、T 之间的动点，过M 点作ME⊥x 轴于点E，MF⊥ST 于点F，求ME+MF 的最大值； （3）如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4 交抛物线1于 P、Q 两点，在抛物线1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D 的坐标． 分析：（1）利用待定系数法即可得出结论； （2）先确定出ME，MF 与t 的关系，最后建立ME+MF

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q 作B 的平行线， 交点即为满足条件的P 点． Q2 Q1 P4 P3 P2 y x C 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点作B 的平行线，与抛物线交点即为所求P 点， 另外作点关于点的对称点M，过点M 作B 平行线与抛物线的交点亦为所求P 点． 先求直线解析式，再联立方程即可求得P

中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练 二次函数与面积的最值定值问题 【真题再现】 1．（2020 年宿迁中考第28 题）二次函数y＝x2+bx+3 的图象与x 轴交于（2，0），B（6， 0）两点，与y 轴交于点，顶点为E．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标； （2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过 中点Q，连接Q， QE，E，当△EQ 的面积为12 时，求点P 的坐标． 【分析】（1）由于二次函数的图象与x 轴交于（2，0）、B（6，0）两点，把，B 两点 坐标代入y＝x2+bx+3，计算出的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E 点坐标； （2）由线段垂直平分线的性质可得出B＝D，设D（4，m），由勾股定理可得42+（m 3 ﹣）2＝62+32．解方程可得出答； （3 ）设Q 交抛物线的对称轴于点M 的解析式为y＝kx+3，则1 8 n 2−n+ 3 2=1 2k+3．解得k ¿ 1 4 n−2−3 n，求出M（4，﹣5−12 n ），ME＝﹣4−12 n ．由面积公式可求出的值．则可 得出答． 【解析】（1）将（2，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+3， 得{ 4 a+2b+3=0 36a+6b+3=0， 解得{ a= 1 4 b=−2 ∴二次函数的解析式为y¿

专题19 线段和角的定值问题（解析版） 第一部分 学 类型一 线段中的定值问题 1．（2019 秋•北仑区期末）如图，为射线B 上一点，B＝30，比B 的1 4 多5，P、Q 两点分别从、B 两点同 时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度在射线B 上沿B 方向运动，当点P 运动到点B 时，两 点同时停止运动，运动时间为t（s），M 为BP 的中点，为MQ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 4Q；③当BP¿ 1 2BQ 时，t＝12；④M，两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 解：∵B＝30，比B 的1 4 多5， ∴B＝20，＝10， ∴B＝2；故①正确； ∵P，Q 两点分别从，B 两点同时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度， ∴BP＝30 2，解得：t＝12，故③正确， ∵BP＝30 2 ﹣t，BQ＝t， ∴BM¿ 1 2PB＝15﹣t， ∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15， ∴M¿ 1 2MQ¿ 15 2 ， ∴M 的值与t 无关是定值， 故答为：①②③④． 总结提升：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P 到达B 点时的时间，以及点P 与Q 重合时的 时间，涉及分类讨论的思想． 2．（2020 秋•东西湖区期末）如图，已知直线l

的最值问题及定值问题 目 录 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型07 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型08 利用二次函数解决定值问题 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题 【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式： 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函 数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y ； ②当线段平行于x 轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围 应确定正确． 1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+2 x+c与x 轴分别交于 点(1，0)和点B，与y 轴交于点(0，﹣3)，连接B． (1)求抛物线的解析式及点B 的坐标． (2)如图，点P 为线段B 上的一个动点（点P 不与点B，重合），过点P

专题19 线段和角的定值问题（原卷版） 第一部分 学 类型一 线段中的定值问题 1．（2019 秋•北仑区期末）如图，为射线B 上一点，B＝30，比B 的1 4 多5，P、Q 两点分别从、B 两点同 时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度在射线B 上沿B 方向运动，当点P 运动到点B 时，两 点同时停止运动，运动时间为t（s），M 为BP 的中点，为MQ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 4Q；③当BP¿ 1 2 BQ 时，t＝12；④M，两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 2．（2020 秋•东西湖区期末）如图，已知直线l 上有两条可以左右移动的线段：B＝，D＝b，且，b 满足| 2|+ ﹣ （b 6 ﹣）2＝0．M 为线段B 的中点，为线段D 中点． （1）求线段B、D 的长； （2）若线段B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，同时线段D 个单位长度的速度向右运动，同时线段D 以每秒1 个单位长的速度也向右运动， 在运动前点表示的数为﹣2．B＝6，设运动时间为t 秒，求t 为何值时，M＝4； （3）若将线段D 固定不动，线段B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，在运动前D＝36，在线段B 向右运动的某一个时间段内，始终有M+B 为定值，求出这个定值，并求出t 的取值范围． 3．（2020 秋•遵化市期末）如图，已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动（点在点B

的最值问题及定值问题 目 录 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型07 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型08 利用二次函数解决定值问题 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题 【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式： 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函 数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y ； ②当线段平行于x 轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围 应确定正确． 1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+2 x+c与x 轴分别交于 点(1，0)和点B，与y 轴交于点(0，﹣3)，连接B． (1)求抛物线的解析式及点B 的坐标． (2)如图，点P 为线段B 上的一个动点（点P 不与点B，重合），过点P

二次函数背景下的面积定值与等值问题 【典型例题】 母题：如图，已知抛物线过（4,0）、B（0,4）、（-2，0）三点，P 是抛物线上一点 （1） 若S△PB= S△B，求P 点坐标 x y B O C A （2） （☆）若△PB 面积为4，求P 点坐标 简析： ①在y 轴上找一点Q，使△QAB 5 面积为 Q 0 , （ 3 2）或 0 , （ 1 3 2 ） ②过点Q作AB的平行线 （★）点D 坐标为（-1,1），P 在第一象限，若△PD 面积为4，求P 点坐标 x y D B O C A P 答：P（2，4），作铅垂高解方程即可 【模型解读】二次函数中的等值问题或定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程为： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程为： x2 a2 −x2 b2=1 (a>0,b>0) 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 计算，难度中等偏下，需重点练习. 抛物线的标准方程 焦点 位置 轴正半轴 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ． (1)求C 的方程； (2)记C 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上. （1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ， 则由 可得 ， ， 双曲线方程为 . x x y y px y 2 2  px y 2 2   py x 2 2  py x 2

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) ， 焦点在y 轴上： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程焦点在x 轴上： x2 a2−y2 b2 =1 (a>0,b>0) 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴 标准 方程 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 计算，难度中等偏下，需重点练习. x x y y px y 2 2  交于点P．证明:点 在定直线上. （1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ， 则由 可得 ， ，所以双曲线方程为 . 1．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F 的直线交C 于 M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时， ． (1)求C 的方程； (2)设直线 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最 大值时，求直线AB 的方程．