43 二次函数背景下的面积定值与等值问题

二次函数背景下的面积定值与等值问题 【典型例题】 母题：如图，已知抛物线过（4,0）、B（0,4）、（-2，0）三点，P 是抛物线上一点 （1） 若S△PB= S△B，求P 点坐标 x y B O C A （2） （☆）若△PB 面积为4，求P 点坐标 简析： ①在y 轴上找一点Q，使△QAB 5 面积为 Q 0 , （ 3 2）或 0 , （ 1 3 2 ） ②过点Q作AB的平行线 ③联立解析式求交点 x y 4 Q Q B O C A P 答： x y B O C A 答：同理可得P 点坐标为： （3） （★）点D 坐标为（-1,1），P 在第一象限，若△PD 面积为4，求P 点坐标 x y D B O C A P 答：P（2，4），作铅垂高解方程即可 【模型解读】二次函数中的等值问题或定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q 作B 的平行线， 交点即为满足条件的P 点． Q2 Q1 P4 P3 P2 y x C B A O P1 当点Q 坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y=-x+5， 联立方程： ，解之即可． 当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y=-x+1， 联立方程： ，解之即可． 【模型实例】 1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值 点”．例如，点（1，1）是函数y＝ x+ 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等 值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数y＝ （x＞0），y＝﹣x+b 的图象的“等值点”分别为点，B，过点B 作B⊥x 轴，垂足为．当△B 的面积为3 时，求b 的值； 【解答】解：（1）在y＝x+2 中，令x＝x+2，得0＝2 不成立， ∴函数y＝x+2 的图象上不存在“等值点”； 在y＝x2﹣x 中，令x2﹣x＝x， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴函数y＝x2﹣x 的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）； （2）在函数y＝ （x＞0）中，令x＝ ， 解得：x＝ ， ∴（ ， ）， 在函数y＝﹣x+b 中，令x＝﹣x+b， 解得：x＝ b， ∴B（ b， b）， ∵B⊥x 轴， ∴（ b，0）， ∴B＝ |b|， ∵△B 的面积为3， ∴ × |b|×| ﹣ b|＝3， 当b＜0 时，b2 2 ﹣ 24 ﹣ ＝0， 解得b＝﹣2 ， 当0≤b＜2 时，b2 2 ﹣ +24＝0， Δ ∵＝（﹣2 ）2 4×1×24 ﹣ ＝﹣84＜0， ∴方程b2 2 ﹣ +24＝0 没有实数根， 当b≥2 时，b2 2 ﹣ 24 ﹣ ＝0， 解得：b＝4 ， 综上所述，b 的值为﹣2 或4 ； 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛物线 y＝ x2+bx+经过坐标原点和点，顶点为点M． （1）求抛物线的关系式及点M 的坐标； （2）点E 是直线B 下方的抛物线上一动点，连接EB，E，当△EB 的面积等于 时，求E 点的坐标； 【解答】解：（1）对于y＝﹣ x+3，令y＝﹣ x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3， 故点、B 的坐标分别为（6，0）、（0，3）， ∵抛物线y＝ x2+bx+经过坐标原点，故＝0， 将点的坐标代入抛物线表达式得：0＝ ×36+6b，解得b＝﹣2， 故抛物线的表达式为y＝ x2 2 ﹣x； 则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3 时，y＝ x2 2 ﹣x＝﹣3， 则点M 的坐标为（3，﹣3）； （2）如图1，过点E 作E∥y 轴交B 于点， 设点E 的坐标为（x， x2 2 ﹣x），则点（x，﹣ x+3）， 则△EB 的面积＝S△EB+S△E＝ ×E×＝ 6×（﹣ x+3﹣ x2+2x）＝ ， 解得x＝1 或 ， 故点E 的坐标为（1，﹣ ）或（ ，﹣ ）； 3．抛物线y＝x2 1 ﹣交x 轴于，B 两点（在B 的左边）．▱DE 的顶点在y 轴的正半轴上，顶 点E 在y 轴右侧的抛物线上；如图，若点D 在抛物线上，且▱DE 的面积是12，求点E 的坐 标． 【解答】解：设点（0，），点E 的坐标为（m，m2 1 ﹣）， 同理可得，点D 的坐标为（m+1，m2 1+ ﹣ ）， 将点D 的坐标代入抛物线表达式得：m2 1+ ﹣ ＝（m+1）2 1 ﹣， 解得＝2m+1， 故点的坐标为（0，2m+1）； 连接E，过点E 作y 轴的平行线交x 轴于点M，交过点与x 轴的平行线与点， 则S△E＝S 梯形M﹣S△EM﹣S△E＝ （m+1+m）（2m+1）﹣ ×（m+1）（m2 1 ﹣）﹣ m[2m+1 ﹣（m2 1 ﹣）]＝ S▱DE＝6， 解得m＝﹣5（舍去）或2， 故点E 的坐标为（2，3）； 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，已 知B（3，0），（0，﹣3），连接B，点P 是抛物线上的一个动点，点是对称轴上的一个 动点． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）当△PB 的面积为8 时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+经过点B（3，0），（0，﹣3）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）∵抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与x 轴交于，B 两点， 0 ∴＝x2 2 ﹣x 3 ﹣， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴点（﹣1，0）， ∴B＝4， 设点P（p，p2 2 ﹣p 3 ﹣）， ∵△PB 的面积为8， ∴ ×4×|p2 2 ﹣p 3| ﹣＝8， ∴p2 2 ﹣p 3 ﹣＝4 或p2 2 ﹣p 3 ﹣＝﹣4， ∴p1＝2 +1，p2＝﹣2 +1，p3＝1， ∴点P 坐标为（2 +1，4）或（﹣2 +1，4）或（1，﹣4）； 5．如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+与x 轴交于点（﹣1，0）和点B（4，0），与y 轴交于点， 连接B，点P 是线段B 上的动点（与点B，不重合），连接P 并延长P 交抛物线于点Q， 连接Q，BQ，设点Q 的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）当△BQ 的面积等于2 时，求m 的值； 【解答】解：（1）∵抛物线（﹣1，0），B（4，0），可得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为： ， 令x＝0，则y＝2， ∴点的坐标为（0，2）； （2）连接Q， ∵点Q 的横坐标为m， ∴Q（m， ）， ∴S＝S△Q+S△BQ﹣S△B ＝ ﹣ ＝﹣m2+4m， 令S＝2， 解得：m＝ 或 ， 6．二次函数y＝x2+bx+3 的图象与x 轴交于（2，0），B（6，0）两点，与y 轴交于点，顶 点为E．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标； （2）如图，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接P，取P 中点Q，连接Q，QE，E， 当△EQ 的面积为12 时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）将（2，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+3， 得 ， 解得 ∴二次函数的解析式为y＝ ﹣2x+3． ∵y＝ ﹣1， ∴E（4，﹣1）． （2）如图，设Q 交抛物线的对称轴于点M， 设P（， ﹣2+3），则Q（ ）， 设直线Q 的解析式为y＝kx+3，则 k+3． 解得k＝ ，于是Q：y＝（ ）x+3， 当x＝4 时，y＝4（ ）+3＝﹣5﹣ ， ∴M（4，﹣5﹣ ），ME＝﹣4﹣ ． ∵S△QE＝S△EM+S△QEM＝ ． ∴2 4 60 ﹣﹣ ＝0， 解得＝10 或＝﹣6， 当＝10 时，P（10，8），当＝﹣6 时，P（﹣6，24）． 综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）． 7．如图，抛物线y＝x2+bx 6 ﹣与x 轴相交于，B 两点，与y 轴相交于点，＝2，B＝4，直线 l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D，连接D，BD，B，D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D 在x 轴的下方，当△BD 的面积是 时，求△BD 的面积； 【解答】解：（1）∵＝2，B＝4， ∴（﹣2，0），B（4，0）， 把（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝x2+bx 6 ﹣中得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x 6 ﹣； （2）如图1，过D 作DG⊥x 轴于G，交B 于， 当x＝0 时，y＝﹣6， ∴（0，﹣6）， 设B 的解析式为：y＝kx+， 则 ，解得： ， ∴B 的解析式为：y＝ x 6 ﹣， 设D（x， x2﹣ x 6 ﹣），则（x， x 6 ﹣）， ∴D＝ x 6 ﹣﹣（ x2﹣ x 6 ﹣）＝﹣ ， ∵△BD 的面积是 ， ∴ ， ∴ ， 解得：x＝1 或3， ∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴D（3，﹣ ）， ∴△BD 的面积＝ ＝ ＝ ； 8．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（+1）x﹣与x 轴交于、B 两点（点位于点B 的左侧）， 与y 轴交于点，已知△B 的面积是6． （1）求的值； （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△BP＝S△B．若存在请求出P 坐标，若不存在请说明 理由． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（+1）x﹣， 令x＝0，则y＝﹣， ∴（0，﹣）， 令y＝0，即﹣x2+（+1）x﹣＝0 解得x1＝，x2＝1 由图象知：＜0 ∴（，0），B（1，0） ∵S△B＝6 ∴ （1﹣）（﹣）＝6 解得：＝﹣3，（＝4 舍去）； （2）∵＝﹣3， ∴（0，3）， ∵S△BP＝S△B． ∴P 点的纵坐标为±3， 把y＝3 代入y＝﹣x2 2 ﹣x+3 得﹣x2 2 ﹣x+3＝3，解得x＝﹣2 或x＝0（与点重合，舍去）； 把y＝﹣3 代入y＝﹣x2 2 ﹣x+3 得﹣x2 2 ﹣x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ， ∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+ ，﹣3）或（﹣1﹣ ，﹣3）． 9．如图，在平面直角坐标系xy 中，已知直线y＝ x 2 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 过、B 两点的抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于另一点（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PB＝S△B？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在， 请说明理由； 【解答】解：（1）∵直线y＝ x 2 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点B， ∴点（4，0），点B（0，﹣2）， 设抛物线解析式为：y＝（x+1）（x 4 ﹣）， 2 ∴﹣＝﹣4， ∴＝ ， ∴抛物线解析式为：y＝ （x+1）（x 4 ﹣）＝ x2﹣ x 2 ﹣； （2）如图1，当点P 在直线B 上方时，过点作P∥B，交抛物线于点P， ∵P∥B， ∴△BP 和△B 是等底等高的两个三角形， ∴S△PB＝S△B， ∵P∥B， ∴直线P 的解析式为y＝ x， 联立方程组可得 ， 解得： 或 ， ∴点P（2+2 ，1+ ）或（2 2 ﹣ ，1﹣ ）； 当点P''在直线B 下方时，在B 的延长线上截取BE＝B＝2，过点E 作EP''∥B，交抛物线于 点P''，连接P''，BP''， ∴B∥EP''∥P，B＝BE， ∴S△P''B＝S△B， ∵EP''∥B，且过点E（0，﹣4）， ∴直线EP''解析式为y＝ x 4 ﹣， 联立方程组可得 ， 解得 ， ∴点P''（2，﹣3）， 综上所述：点P 坐标为（2+2 ，1+ ）或（2 2 ﹣ ，1﹣ ）或（2，﹣3）； 10．如图，抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（4，0）、（0，2）三点，点D（x，y） 为抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当△BD 的面积为3 时，求点D 的坐标； 【解答】解：（1 ）将（﹣1 ，0 ）、B （4 ，0 ）、（0 ，2 ）代入y ＝x2+bx+ 得： ， 解得： ． 故抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2． （2）法一：如图2，设点M 的坐标为（0，m），使得△BM 的面积为3， 3×2÷4＝15， 则m＝2+15＝ ， M（0， ） ∵点B（4，0），（0，2）， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， ∴DM 的解析式为y＝﹣ x+ ， 联立抛物线解析式 ， 解得 ， ． ∴点D 的坐标为（3，2）或（1，3）． 法二：如下图所示，过D 作DG⊥x 轴，垂足为G 点，与B 交于K 点，设D（，b）（其中 ＞0，b＞0）， ∴K（，2﹣ ）， ∴ ， ∴S△BD＝S△DK+S△BDK＝ ＝2b 4+ ﹣ ＝3， 2 ∴b+＝7， ∵D 在抛物线y＝﹣ x2+ x+2 上， ∴b＝ ， ∴2 4+3 ﹣ ＝0， ∴（﹣1）（﹣3）＝0， ∴＝1 或3， ∵当＝1 时，b＝3，当＝3 时，b＝2， ∴点D 的坐标为（3，2）或（1，3）． 11．如图，在直角坐标系中，四边形B 是平行四边形，经过（﹣2，0），B，三点的抛物 线y＝x2+bx+ （＜0）与x 轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x 轴交于点E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R 是抛物线上的点，使得△DR 的面积是▱B 的面积的 ，求点R 的坐标； 【解答】解：（1）＝2＝B，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣ ＝1①， 将点的坐标代入抛物线表达式得：0＝4 2 ﹣b+ ②， 联立①②并解得 ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+ ③； （2）∵y＝﹣ x2+ x+ ＝﹣ （x 1 ﹣）2+3， ∴抛物线的顶点M（1，3） 令y＝0，可得x＝﹣2 或4， ∴点D（4，0）； ∵△DR 的面积是▱B 的面积的 ， ∴ ×D×|yR|＝ ××B，则 ×6×|yR|＝ ×2× ，解得：yR＝± ④， 联立④③并解得 或 ， 故点R 的坐标为（1+ ，﹣ ）或（1 ，﹣ ）或（1 ， ）或（1﹣ ， ）；