之4 类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 知识迁移 导函数与原函数的关系，f '( x)>0,f ( x)单调递增，f '( x)<0,f ( x)单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，讨论 的单调性 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的 热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点 【详解】 的定义域为 ． 由 得， ， 令 ，则 ，当 时 ；当 时， ． 故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数， 例1-2．（全国·高考真题）已知函数 ．若 ，求 的单调区间 【详解】当a=3 时， ， ． 令 解得x= 或x= ． 当 时， 当 时． 所以函数的增区间是 和 ，减区间是 ． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数

之4 类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 知识迁移 导函数与原函数的关系，f '( x)>0,f ( x)单调递增，f '( x)<0,f ( x)单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，讨论 的单调性 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的 热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点 【详解】 的定义域为 ． 由 得， ， 令 ，则 ，当 时 ；当 时， ． 故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数， 例1-2．（全国·高考真题）已知函数 ．若 ，求 的单调区间 【详解】当a=3 时， ， ． 令 解得x= 或x= ． 当 时， 当 时． 所以函数的增区间是 和 ，减区间是 ． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 h (x )=x3在定义域内(0，+∞)是增函数，g (x )= 1 x3 在定义域内(0，+∞)是减函数， 所以 在(0，+∞)单调递增 【答案】A 1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 h (x )=x3在定义域内(0，+∞)是增函数，g (x )= 1 x3 在定义域内(0，+∞)是减函数， 所以 在(0，+∞)单调递增 【答案】A 1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数

技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （2）设函数 ．证明: ． （1） （2）（2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知， （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 【答案】(1)a= ；增区间为 ，减区间为 ．(2)证明见解析. 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用 ，求得a= ，从而确定出函数的解析式，再解不等 式 即可求出单调区间； （2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当 时， ，之后构造新函数 ，利用导数研究函数的单调性，从而求得 ，利用不等式的传递性，证得结 ．易知 在区间 内单调递增，且 ， 由 解得： ；由 解得： ， 所以 的增区间为 ，减区间为 ． （2）［方法一］：【最优解】放缩法 当 时， . 设 ，则 . 当 时， ； 当 时， .所以 是 的最小值点. 故当 时， .因此，当 时， . ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为 ，所以 在区间 内单调递增．设 ，当 时， ，当 时， ，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且

技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （1） （2）（2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ． 要证 ，即证 ，同理可证得 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)证明：当 ，且 时， ． 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 . (1)讨论 的极值； (2)当 时，证明： . （2）若不等式 恒成立，求a 的取值范围． （2）［方法一］：通性通法 , ，且 . 设 ,则 利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 g( ∴ x)在 上单调递增，即 在 上单调递增， 当 时， ,∴ ,∴ 成立. 当 时， ， ， , ∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ， ， ， 因此 >1, ∴ ∴ 恒成立； 当

如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 . 3.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 , 则 或 . 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)若 恒成立，求a 的取值范围． 【法一】端点效应一 令 ， 得 ，且 在 上恒成立 画出草图 根据端点效应, 需要满足 ，而 则 , 令 , 得 当 上递减, 得 则 , 得 在 上单调递增, 则 即 , 满足 成立 当 时， 故存在 , 使得在 上 , 所以 在 上单调递增, 则 , 不成立 特上所述: . 【法二】端点效应二 (2) 由于 , 且 , 注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减 , 不成立. 另一方面, 当 时 下证它小于等于 0 . 单调递减, . 特上所述: . 【法三】设 设 所以 . 若 , 即 在 上单调递减,所以 . 所以当 ,符合题意. 若 当 ,所以 . . 所以 ,使得 ,即 ,使得 . 当 ,即当 单调递增. 所以当 ,不合题意. 综上, 的取值范围为 . 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ． (1)当 时，讨论 的单调性； (2)若 ，求

1，则等价证明：xex+ln(1−x)<0，x∈(0, 1) 证明略 所以函数 在x∈(0,√2 −1)单调递增， 所以g(0.1)>g(0)，即：0.1e0.1+ln 0.9>0，所以假设ac ， 综上所述：c单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，所以 ，故 ，所以 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 又 ， 所以当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 ，所以 故选：C. 1．（2023·河北·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意 ， ， ，令 ， 利用导数说明函 数的单调性，即可判断 、，再令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 、 ， 令 ， ， 则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， ， 所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ， 则 ，即 ，即 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，则 ， 则 ，即 ，即 ， 所以 ，综上可得 . 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数 ， ， ， ，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正 负，达到比较大小的目的

查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 4. 若函数 在定义域上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数 在定义域上单调递增等价于 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，然后易得 ，最后求出范围即可. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 在定义域上单调递增等价于 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 上恒成立， 分离参数得 ，所以 ，即 . 【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立；若 在区间 上单调递减，则 在区间 上恒成立； 然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可. 5. 已知 在 处有极值 ，则 （ ） A. 11 或4 B. -4 或-11 C. 11 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可 所以课程编排方案共有 种， 故选：C. 7. 若函数 在 上有最大值，则实数的 取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求 ，再解不等式 或 得 的单调性，根据 的单调性，列出使得函数 在 上有最大值的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由题知， ， ， 由 得， ，由 得 或 . 所以函数 在 上递减，在 上递增， 上递减， 若函数 在 上有最大值，则

【分析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系. 【详解】 ， ； ， ， ，即 ，又 ， . 故选：C. 5. 函数 的单调递减区间是（） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解. 【详解】 ， ， 令 ，解得： ， 根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知 函数单调递增，在区间 函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是 函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是 . 故选：D 6. 方程 的解所在的区间是（） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】作差构造函数 ，利用零点存在定理进行求解. 【详解】令 ， 则 ， ， 因为 ， 所以函数 的零点所在的区间是 ， 即方程 的解所在的区间是 . 故选：B. 7. 已知 ，且 ，则 （） A. B. C . 故选：B 8. 设奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是 （） A. B. 或 C. D. 或 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性可将所求不等式化为 ；利用奇偶性可判断出 单调性和 ，分别在 和 的情况下，利用 单调性解得结果. 【详解】 为奇函数， ； 又 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ； ，即 ； 当 时， ， ；当