高考数学答题技巧题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值（原卷版）Word（15页）

题型08 手把手教学答题模板 之4 类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 知识迁移 导函数与原函数的关系，f '( x)>0,f ( x)单调递增，f '( x)<0,f ( x)单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，讨论 的单调性 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点 【详解】 的定义域为 ． 由 得， ， 令 ，则 ，当 时 ；当 时， ． 故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数， 例1-2．（全国·高考真题）已知函数 ．若 ，求 的单调区间 【详解】当a=3 时， ， ． 令 解得x= 或x= ． 当 时， 当 时． 所以函数的增区间是 和 ，减区间是 ． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．当 时，讨论 的单调性 2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．求 的单调区间 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．当 时，讨论 的单调性 4．（2021·全国·统考高考真题）已知 且 ，函数 ．当 时，求 的单调区 间 5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 ，当a=1 时，讨论f（x）的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数 ．讨论 的单调性； 【详解】因为 ，定义域为 ，所以 ， 当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，所以 在 上单调递减； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增； 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高 考中的难点 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．讨论函数 的单调性． 【详解】由题意函数 的定义域为 ． 当 时，若 ，则 单调递增； 若 ，则 单调递减． 当 时，令 ，得 或 ． ①当 时， ，则 在 上单调递增． ②当 时， ，则当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． ③当 时， ，则当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． 综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． 例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性； 【详解】对 求导得， ，分以下两大 情形来讨论 的单调性： 情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ， 所以当 时，有 ，此时 单调递减， 当 时，有 ，此时 单调递增； 所以 在 单调递减，在 单调递增； 情形二：当 时，令 ，解得 ， 接下来又分三种小情形来讨论 的单调性： 情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表： 由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递 增； 情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表： 由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性． 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．讨论 的 单调性； 3．（2023·全国·模拟预测）已知 ，讨论函数 的单调性. 4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b 为实数，且 ，函数 ，求函数 的 单调区间； 5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性 6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数 ，讨论 的单调性； 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高 考中的难点 【详解】 定义域为 ，因为 ， 所以 . 令 ，则 ， 所以 ， 当 时， ，此时 ，所以 在 上单调递减. 当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ，即 在 上单调递减. 当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ， 即 在 和 上单调递减， 当 时， ， 即 在 上单调递增. 综上所述：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递减， 在 上单调递增 例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性； 【详解】(1)由函数的解析式可得： ， 导函数的判别式 ， 当 时， 在R 上单调递增， 当 时， 的解为： ， 当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增； 综上可得：当 时， 在R 上单调递增， 当 时， 在 ， 上 单调递增，在 上单调递减. 1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知 ，讨论 的单调性； 2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数 （ ），讨论 的单调性； 3．（2023·广西·模拟预测）已知 （ ）．讨论 的单调性； 技法04 二阶导函数求函数的单调性 例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， ，若 ，求函数 的单调区间 【详解】 ， ， ， 恒成立， 所以 在 递增. 所以当 ， ； 在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单 调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能 找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”，因 此函数的二阶导数的应用尤为重要。 ， 所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 . 例4-2．（2021 春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数 ．当 时，求函数 的单调性． 【详解】令 ， 则 ． 令 ，得 ； 令 ，得 ． 在 上单调递减，在 上单调递增． ， ， ， 当 时， ，即 ．当且仅当 时等号成立， 当 时，函数 单调递减． 1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数 . 若 ，讨论 的单调性； 2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 当 时，讨论 单调性； 技法05 函数的极值最值 知识迁移 极值的定义 f ( x)在x=x0 处先↗后↘，f ( x)在x=x0 处取得极大值 f ( x)在x=x0 处先↘后↗，f ( x)在x=x0 处取得极小值 例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，若 在 处取得极值，求 的单 调区间，以及其最大值与最小值． 导数及其应用是中学数学的核心内容,也是每年高考考查的重点和热点,无论是客观题还是解答题，多数情 况下处于压轴题的位置，起着“把关定向”的作用.高考数学“成也导数，败也导数”是导数试题重要性 的真实写照.极值和最值是函数的两条最重要的性质，用导数研究函数的极值和最值更是高考命题考查的 热点 【详解】因为 ，则 ， 由题意可得 ，解得 ， 故 ， ，列表如下： 增 极大 值 减 极小值 增 所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 . 当 时， ；当 时， . 所以， ， . 例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．求a 【详解】 的定义域为 ，而 ， 若 ，则 ，此时 无最小值，故 . 的定义域为 ，而 . 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 故 . 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 故 . 因为 和 有相同的最小值， 故 ，整理得到 ，其中 ， 设 ，则 ， 故 为 上的减函数，而 ， 故 的唯一解为 ，故 的解为 . 综上， . 例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ，若 在 存在极值，求a 的 取值范围. 【详解】由函数的解析式可得 ， 由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点; 令 ， 则 ， 令 ， 在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点， 当 时， ， 在区间 上单调递减， 此时 ， 在区间 上无零点，不合题意; 当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增， 所以 ， 在区间 上单调递增， ， 所以 在区间 上无零点，不符合题意； 当 时，由 可得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 故 的最小值为 ， 令 ，则 ， 函数 在定义域内单调递增， ， 据此可得 恒成立， 则 ， 令 ，则 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 故 ，即 (取等条件为 )， 所以 ， ，且注意到 ， 根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 . 当 时， ， 单调减， 当 时， ， 单调递增， 所以 . 令 ，则 ， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数 得取值范围是 . 1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 ，求 的极值 2．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ． 证明 存在唯一的极值点 3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； (2)当 时， 恒成立，求 的取值范围． 4．（2023·四川自贡·统考一模）函数 的最小值为m. (1)判断m 与2 的大小，并说明理由； (2)求函数 的最大值.