高考数学答题技巧题型05 4类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）（解析版）Word（18页）

题型05 4 类比较函数值大小关系解题技巧 （构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合 集） 技法01 构造函数比较函数值大小关系解题技巧 例1．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【法一】分析法 假设待证法比较大小→构造函数 假设a<b 成立，即 0.1e0.1< 1 9 ⇔0.9e0.1<1⇔ln0.9+0.1<0 技法01 构造函数比较函数值大小关系解题技巧 技法02 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧 技法03 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 技法04 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用分析法找打构造函数的 本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握. 令x=0.9 ，则等价证明：ln x+(1−x)<0 ，即证：ln x<x−1（原式得证，略） 假设a<c 成立，即0.1e0.1<−ln0.9⇔0.1e0.1+ln0.9<0 令x=0.1，则等价证明：xex+ln(1−x)<0，x∈(0, 1) 证明略 所以函数 在x∈(0,√2 −1)单调递增， 所以g(0.1)>g(0)，即：0.1e0.1+ln 0.9>0，所以假设a<c 不成立，即a>c ， 综上所述：c<a<b ，故选：C 【法二】构造法 设 ，因为 ， 当 时， ，当 时 ， 所以函数 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，所以 ，故 ，所以 ， 故 ， 设 ，则 , 令 ， ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 又 ， 所以当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 ，所以 故选：C. 1．（2023·河北·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意 ， ， ，令 ， 利用导数说明函 数的单调性，即可判断 、，再令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 、 ，即可得解. 【详解】因为 ， ， ， 令 ， ， 则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， ， 所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ， 则 ，即 ，即 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，则 ， 则 ，即 ，即 ， 所以 ，综上可得 . 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数 ， ， ， ，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正 负，达到比较大小的目的. 2．（2023·福建福州·模拟预测） ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令 ，利用导数研究函数的单调性可得到 ，即可判断 、 的大小关系；构造函数 判断 与0.1 的大小，构造函数 判断0.1 与 大小，从而可判断b、c 大小． 【详解】令 ， ，则 ， 所以当 时 ，即 在 上单调递增， 所以 ，即 ，即 ，即 ， 令 ，则 ， 在 时， ，则 为减函数， ∴ ，即 ； 令 ， ，则 ， 故 在 为减函数， ∴ ，即 ； ∴ ， 令 ，则 ，即 ，∴ ， 所以 ． 故选：D． 【点睛】结论点睛：常用的不等式： ， ， ， ， ， . 3．（2023·福建·二模）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差法判断 、 的大小，构造函数 , 利用导数的单调性判断 、的 大小. 【详解】 ， 又 ， 所以令 ， ， 则 ， 令 ， 则 ， 当 时, , ， 所以 ， 故 ,故 在 上是增函数， 又∵ ， ∴当 时, , 故 在 上是增函数， 故 ,即 ， 故 . 故选:A. 【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变 形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量 就有了函数的形式，如在本题中 ，将 视为变量可以构造函数 . 技法02 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧 知识迁移 ex≥x+1，ex≥ex ， 1−1 x ≤ln x≤x−1 ， ln x≤x e 例2．已知 , 则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用两类超越不等式是解决 此类问题的突破口，需重点掌握. 【答案】 1．（2023 上·河北保定·高三校联考开学考试）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数 ，利用导函数讨论其单调性和最值，可得 ，从而可得 ， ，即可比较 的大小关系，再利用作差法比较 大小关系. 【详解】令 ，则 ， 所以函数 在 单调递减，且 ， 所以 ，即 ， 令 ，则有 ， 所以 ，即 ， 又由 ，可得 ， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ， 综上可得 ， 故选：D. 2．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造 ，利用导数判断其单调性可比较 的大小关系.构造 ，利用导数判断其单调性可比较 的大小关系. 【详解】 ， ， ， 设 ， 所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 ，即 . 所以 ，即 . 设 ， 则 ， 所以 在 上单调递减，所以 ，即 . 所以 ，即 . 所以 . 故选:C. 3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数 ， ，利用导数分析这两个函数的单调性， 可得出 、 的大小， 、 的大小，利用不等式的基本性质可得出 、 的大小关系，由此可得出 、 、三个数的大小关系. 【详解】令 ，其中 ， 则 ，所以，函数 在 上为增函数， 故当 时， ，则 ，所以 ， 因为 ，则 ， 当 时，证明 ，令 ，其中 ，则 ， 所以函数 在 上为增函数，故当 时， ， 所以当 时， ，则 ，所以 ， 所以 ，因此 . 故选：D. 技法03 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决此 类问题的突破口，需重点掌握. 知识迁移 常见函数的泰勒展开式： （1） ，其中 ； （2） ，其中 ； （3） ，其中 ； （4） ，其中 ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．常见函数的泰勒展开式： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （ ）． 结论4 ． 结论5 ； ； ． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 例3．（2022 年新Ⅰ卷高考真题第7 题）设 ， ， 则（ ） A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 泰勒公式法： 因为 e0.1≈1+0.1+ 0.12 2 =1.105 ，所以 0.1e0.1≈0.1105< 1 9=0.11111=b ，所以a<b 因为 c=−ln 0.9=ln10 9 =ln( 1 9 +1)≈1 9− ( 1 9 )2 2 + ( 1 9 )3 3 =1 9−1 162 + 1 2187 ≈1 9−0.006=0.105<a 所以c<a 综上所述：c<a<b 故选：C 1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 泰勒展开 设 ，则 ， ， ，计算得 ，故选A. 2．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ） A． B． C． D． [方法一]： 由泰勒公式, 可知 将 , 分别相应代入估 算, 得 . 由此可知 . [方法二]： ， 所以 ； 下面比较与 的大小关系. 记 ，则 ， ， 由于 所以当0<x<2 时， ，即 ， ， 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 ，即 ； 令 ，则 ， ， 由于 ，在x>0 时， ， 所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即 b<c； 综上， ， 故选：B. [方法三]： 令 ，即函数 在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数 在（1，3)上单调递增 综上， ， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数， 利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 3．（2023 春·湖北·高三统考期末）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造 ， ， 三个函 数，将三个数与 进行比较，得到 ， ； 再通过构造 ， ，通过二次求导的方法比较b 和c 的大小即可得到答案. 【详解】先比较 和 的大小： 构造 ， 则 对 恒成立，则 在 单调递增， 此时 ，当且仅当 时取等， 所以 ，则 ； 构造 ， 则 对 恒成立，则 在 单调递减， 此时 ，当且仅当 时取等， 所以 ，则 ； 构造 ， 则 对 恒成立，则 在 单调递减， 此时 ，当且仅当 时取等， 所以 ，则 ； 则 ， ； 下面比较b 和c 的大小： 设 ， ， ， 设 ， ， ， 易知 在 上单调递增，则 ， 所以 在 上单调递减， ， 即 在 上恒成立，则 在 上单调递减， 由 ，则 ，即 ，则 . 综上 ， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之 处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较. 技法04 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧 知识迁移 sin x<x<tan x , x∈(0, π 2) ln x<√x−1 √x ( x>1) ， ln x>√x−1 √x (0<x<1) ， ln x< 1 2 ( x−1 x )( x>1) ， ln x> 1 2 ( x−1 x )(0<x<1) ， ln x>−1 2 x2+2 x−3 2 ( x>1) ， ln x<−1 2 x2+2 x−3 2 (0<x<1) ln x> 2( x−1) x+1 ( x>1) ， ln x< 2( x−1) x+1 (0<x<1) 放缩程度综合 1−1 x < 1 2 ( x−1 x )<√x−1 √x <ln x< 2( x−1) x+1 <−1 2 x2+2 x−3 2 <x−1(0<x<1) 1−1 x <−1 2 x2+2 x−3 2 < 2( x−1) x+1 <ln x<√x−1 √x < 1 2 ( x−1 x )<x−1(1<x<2) 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决此 类问题的突破口，需重点掌握. −1 2 x2+2 x−3 2 <1−1 x < 2( x−1) x+1 <ln x<√x−1 √x < 1 2 ( x−1 x )<x−1( x>2) x+1<ex< 1 1−x ( x<1) ， 1 1−x <x+1<ex( x>1) 例4-1．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ） A． B． C． D． 放缩法 因为 x+1<ex< 1 1−x ( x<1) ， 所以 1.1<e0.1< 1 1−0.1 ⇒0.11<a=0.1e0.1<0.1× 1 1−0.1=1 9=b ，即a<b 因为ln x< 1 2 ( x−1 x )( x>1)， 所以c=−ln0.9=ln10 9 < 1 2 (10 9 −9 10 )=19 180 <0.11<a，即c<a 综上所述：c<a<b ，故选：C 例4-2．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【法一】：不等式放缩一 因为当 ， 取 得： ，故 ，其中 ，且 当 时， ，及 此时 ， 故 ，故 所以 ，所以 ，故选A 【法二】不等式放缩二 因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当 ，取 得 ，故 ，所以 ． 故选：A． 1．（2023·全国·校联考模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数证明当 时， ，再分别利用作商，作差比较法可判断 ， ， 大小. 【详解】先来证明当 时， . 令 ， ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，可得 ，即得 ； 令 ， ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，可得 ，即得 ； 所以当 时， . 因为 ， 由 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 2．（2023·云南大理·统考一模）已知 ， ， ，则a，b，c 的大小关系正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定 的大小关系. 【详解】令 ，则 ， ，有 . 故函数 在 单调递增，故 ， 即 ，所以 ，即 ， 令 ，则 ， ，有 . 故函数 在 单调递减，故 ，即 ， 所以 ，即 . 综上： . 故选：D 3．（2023·福建·校联考模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由 时， ，然后构造函数求导，即可判断. 【详解】对 ，因为 ，则 ，即函数 在 单调递减，且 时， ，则 ，即 ； 当 时， ，则 ，且当 时， ，则 ， 所以函数 在 单调递增，则 ，即 ， 先考虑函数 ， ，则 . 故 ，从而 . 再考虑函数 ， ， 则 . 故 ，即 ，故 . 综上， ，