高考数学答题技巧题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值（解析版）Word（24页）

题型08 手把手教学答题模板 之4 类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 知识迁移 导函数与原函数的关系，f '( x)>0,f ( x)单调递增，f '( x)<0,f ( x)单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，讨论 的单调性 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点 【详解】 的定义域为 ． 由 得， ， 令 ，则 ，当 时 ；当 时， ． 故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数， 例1-2．（全国·高考真题）已知函数 ．若 ，求 的单调区间 【详解】当a=3 时， ， ． 令 解得x= 或x= ． 当 时， 当 时． 所以函数的增区间是 和 ，减区间是 ． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．当 时，讨论 的单调性 【答案】 在 上单调递减 【详解】因为 ，所以 ， 则 ， 令 ，由于 ，所以 ， 所以 ， 因为 ， ， ， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减. 2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．求 的单调区间 【答案】 的减区间为 ，增区间为 . 【详解】 ， 当 ， ；当 ， ， 故 的减区间为 ， 的增区间为 . 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．当 时，讨论 的单调性 【答案】 的减区间为 ，增区间为 . 【详解】（1）当 时， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 的减区间为 ，增区间为 . 4．（2021·全国·统考高考真题）已知 且 ，函数 ．当 时，求 的单调区 间 【答案】 上单调递增； 上单调递减； 【详解】当 时， , 令 得 ,当 时， ,当 时， , ∴函数 在 上单调递增； 上单调递减； 5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 ，当a=1 时，讨论f（x）的单调性 【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增. 【详解】(1)当 时， ， ， 由于 ，故 单调递增，注意到 ，故： 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增. 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数 ．讨论 的单调性； 【详解】因为 ，定义域为 ，所以 ， 当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，所以 在 上单调递减； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增； 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．讨论函数 的单调性． 【详解】由题意函数 的定义域为 ． 当 时，若 ，则 单调递增； 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高 考中的难点 若 ，则 单调递减． 当 时，令 ，得 或 ． ①当 时， ，则 在 上单调递增． ②当 时， ，则当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． ③当 时， ，则当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． 综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． 例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性； 【详解】对 求导得， ，分以下两大 情形来讨论 的单调性： 情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ， 所以当 时，有 ，此时 单调递减， 当 时，有 ，此时 单调递增； 所以 在 单调递减，在 单调递增； 情形二：当 时，令 ，解得 ， 接下来又分三种小情形来讨论 的单调性： 情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表： 由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递 增； 情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表： 由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性． 【详解】（1）函数 ，定义域为 ， ， 若 ，则 ，当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增； 若 ，则 ， 当 时， ，当 或 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 和 上单调递增； 若 ，则 ，∴ 在 上单调递增； 若 ，则 ，当 时， ，当 或 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 和 上单调递增． 综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增． 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．讨论 的 单调性； 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 设 ，则 ， 设 ，可得 ， 可得 在 上单调递增，且 ， 所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 ，即 ， 若 ，则 ，所以 ， 在 上单调递增； 若 ，则当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． 3．（2023·全国·模拟预测）已知 ，讨论函数 的单调性. 【详解】（1）由题意知，函数 的定义域为 ，且 ①当 时，因为 ，所以 ，所以 . 所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. ②当 时，由 ，解得 ；由 0，解得 或 .所以 在 上 单调递减，在 ， 上单调递增. ③当 时， （当且仅当 时，取等号）恒成立，所以 在 上单调递增. ④当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 或 . 所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增. 4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b 为实数，且 ，函数 ，求函数 的 单调区间； 【详解】 ， ①若 ，则 ，所以 在 上单调递增； ②若 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增. 综上可得， 时， 的单调递增区间为 ,无减区间； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 . 5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性 【详解】由函数的解析式可得： ， 当 时，若 ，则 单调递减， 若 ，则 单调递增； 当 时，若 ，则 单调递增， 若 ，则 单调递减， 若 ，则 单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时，若 ，则 单调递增， 若 ，则 单调递减， 若 ，则 单调递增； 6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性 【详解】函数 的定义域为 ， 求导得 ， ①当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 因此 在 上单调递增，在 上单调递减； ②当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ， 因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； ③当 ，即 时， 恒成立，因此 在 上单调递增； ④当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ， 因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数 ，讨论 的单调性； 【详解】 定义域为 ，因为 ， 所以 . 令 ，则 ， 所以 ， 当 时， ，此时 ，所以 在 上单调递减. 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高 考中的难点 当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ，即 在 上单调递减. 当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ， 即 在 和 上单调递减， 当 时， ， 即 在 上单调递增. 综上所述：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递减， 在 上单调递增 例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性； 【详解】(1)由函数的解析式可得： ， 导函数的判别式 ， 当 时， 在R 上单调递增， 当 时， 的解为： ， 当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增； 综上可得：当 时， 在R 上单调递增， 当 时， 在 ， 上 单调递增，在 上单调递减. 1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知 ，讨论 的单调性； 【详解】由 ， 可得：二次函数 ， ① ，即当 时， 恒成立， 在R 上单增； ② ，即当 或 时， 在 ， 上大于零， 在 小于零． 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减 ，在 上单调递增． 2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数 （ ），讨论 的单调性； 【详解】 ，令 ， . ①当 时， ， ， 在 单调递增： ②当 时， ， 的两根都小于0， 在 上大于0， 所以 在 单调递增； ③当 时，由 ，解得 ， ， ， ， ， 在 ， 上单调递增： ， ， ， 在 上单调递减. 3．（2023·广西·模拟预测）已知 （ ）．讨论 的单调性； 【详解】由 ， ① ，即 时， 恒成立， 在 上单增； ② ，即 或 时，在 ， 上 ，在 上 ． 所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减． 技法04 二阶导函数求函数的单调性 例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， ，若 ，求函数 的单调区间 【详解】 ， ， ， 恒成立， 在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单 调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能 找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”，因 此函数的二阶导数的应用尤为重要。 所以 在 递增. 所以当 ， ； ， 所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 . 例4-2．（2021 春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数 ．当 时，求函数 的单调性． 【详解】令 ， 则 ． 令 ，得 ； 令 ，得 ． 在 上单调递减，在 上单调递增． ， ， ， 当 时， ，即 ．当且仅当 时等号成立， 当 时，函数 单调递减． 1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数 . 若 ，讨论 的单调性； 【详解】若 ， ，所以 ， ， 令 ，则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增. 又 ，所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 当 时，讨论 单调性； 【详解】当 时， ，定义域为 ， 则 ， ， 所以 在 上单调递增，又 ， 当 时， ，所以 在区间 上单调递减； 当 时， ，所以 在区间 上单调递增. 综上， 在 上单调递减，在 上单调递增. 技法05 函数的极值最值 知识迁移 极值的定义 f ( x)在x=x0 处先↗后↘，f ( x)在x=x0 处取得极大值 f ( x)在x=x0 处先↘后↗，f ( x)在x=x0 处取得极小值 例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，若 在 处取得极值，求 的单 调区间，以及其最大值与最小值． 【详解】因为 ，则 ， 由题意可得 ，解得 ， 导数及其应用是中学数学的核心内容,也是每年高考考查的重点和热点,无论是客观题还是解答题，多数情 况下处于压轴题的位置，起着“把关定向”的作用.高考数学“成也导数，败也导数”是导数试题重要性 的真实写照.极值和最值是函数的两条最重要的性质，用导数研究函数的极值和最值更是高考命题考查的 热点 故 ， ，列表如下： 增 极大 值 减 极小值 增 所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 . 当 时， ；当 时， . 所以， ， . 例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．求a 【详解】 的定义域为 ，而 ， 若 ，则 ，此时 无最小值，故 . 的定义域为 ，而 . 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 故 . 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 故 . 因为 和 有相同的最小值， 故 ，整理得到 ，其中 ， 设 ，则 ， 故 为 上的减函数，而 ， 故 的唯一解为 ，故 的解为 . 综上， . 例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ，若 在 存在极值，求a 的 取值范围. 【详解】由函数的解析式可得 ， 由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点; 令 ， 则 ， 令 ， 在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点， 当 时， ， 在区间 上单调递减， 此时 ， 在区间 上无零点，不合题意; 当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增， 所以 ， 在区间 上单调递增， ， 所以 在区间 上无零点，不符合题意； 当 时，由 可得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 故 的最小值为 ， 令 ，则 ， 函数 在定义域内单调递增， ， 据此可得 恒成立， 则 ， 令 ，则 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 故 ，即 (取等条件为 )， 所以 ， ，且注意到 ， 根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 . 当 时， ， 单调减， 当 时， ， 单调递增， 所以 . 令 ，则 ， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数 得取值范围是 . 1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 ，求 的极值 【详解】因为函数 ，所以 ， 设 ， ， 所以 在 上单调递增. 又 ，所以当 时， ；当 时， . 又因为 对 恒成立， 所以当 时， ；当 时， . 即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 故 ， 没有极小值. 2．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ． 证明 存在唯一的极值点 【详解】令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下： 所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ， 当 时， ，则 ， 单调递增， 当 时， ，则 ， 单调递减， 为 的极大值点，故 存在唯一的极值点； 3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； (2)当 时， 恒成立，求 的取值范围． 【详解】（1）由题知， ， 若 ，当 或 时， ，当 时， ， 在区间 和区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 若 ，当 时， ，当 时， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 若 ，当 或 时， ，当 时， ， 在区间 和区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 若 ，则 ， 在区间 上单调递增； 若 ，当 或 时， ，当 时， ， 在区间 和区间 上单调递增，在区间 上单调递减． 综上所述，当 时， 在区间 和区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时， 在区间 和区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时， 在区间 上单调递增； 当 时， 在区间 和区间 上单调递增，在区间 上单调递减． （2）由（1）知，当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 当 时， ，不符合题意； 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， ， 得 ； 当 时， 在区间 上单调递增， 符合题意； 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， ，得 ． 综上，实数 的取值范围为 ． 【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则 （1） 恒成立 恒成立 ； （2） 恒成立 恒成立 ； （3） 恒成立 ， 恒成立 ； （4） 恒成立 ． 4．（2023·四川自贡·统考一模）函数 的最小值为m. (1)判断m 与2 的大小，并说明理由； (2)求函数 的最大值. 【详解】（1） . 理由如下： 函数 的定义域为 ，求导得 ， 显然函数 在 上单调递增，而 ， ， 则存在唯一的 ，使得 ，即 ， 当 时， ；当 时， ， 于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因此 ，由 ，得 且 ， 则 ，又函数 在 上单调递减，即当 时， ， 所以 . （2）函数 的定义域为 ，求导得 ， 显然函数 在 上单调递减， 由（1）知 ， ， 于是存在唯一的 ，使得 ，即 ， 则当 时， ；当 时， ， 即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 因此 ，由 ，得 ，即 ， 由（1）知 ， ，则 ， 显然函数 在 上单调递增，则 ，且 ， 从而 ，