天津市武清区杨村第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试题Word版解析

2021-2022 学年度高二年级第二学期第一次月考 数学试卷 一、选择题（本题包括9 小题，每小题5 分，共45 分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 设函数 ，则 （ ） A. 1 B. 5 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合导数的运算可得 ，再由导数的概念即可得解. 【详解】由题意 ，所以 ， 所以原式等于 . 故选：B. 2. 已知函数 的导函数为 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出 ，然后令 求出 ，然后即可求出 ． 【详解】因为 所以 令 时有 ，所以 所以 所以 故选：C 3. 从甲地到乙地一天有汽车8 班，火车2 班，轮船3 班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 13 D. 48 【答案】C 【解析】 【 分析】利用分类加法计数原理，即可得答案. 【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有8+2+3=13 种. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 4. 若函数 在定义域上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数 在定义域上单调递增等价于 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，然后易得 ，最后求出范围即可. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 在定义域上单调递增等价于 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 分离参数得 ，所以 ，即 . 【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立；若 在区间 上单调递减，则 在区间 上恒成立； 然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可. 5. 已知 在 处有极值 ，则 （ ） A. 11 或4 B. -4 或-11 C. 11 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可. 【详解】根据题意， 函数 在 处有极值0 且 或 时 恒成立，此时函数无极值点 . 故选：C. 6. 高三（2）班某天安排6 节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物 课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ） A. 42 种 B. 96 种 C. 120 种 D. 144 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解. 【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻， 所以课程编排方案共有 种， 故选：C. 7. 若函数 在 上有最大值，则实数的 取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求 ，再解不等式 或 得 的单调性，根据 的单调性，列出使得函数 在 上有最大值的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由题知， ， ， 由 得， ，由 得 或 . 所以函数 在 上递减，在 上递增， 上递减， 若函数 在 上有最大值，则 ，解得 . 故选：A． 8. 已知定义在R 上的可导函数 的导函数为 ，满足 且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数 ，求导 ，从而得 在定义 上单调递减；又 ，从而有 ，利用 的单调性即可求解． 【详解】解：令 ， ， ， 在定义 上单调递减；① 又 为偶函数， ， ， ， 则不等式 ，即 ， 由①得 ， 故选：C． 9. 已知函数 ，若对任意的 ， 在区间 总存在唯一的零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的 ，使得 在 上 恒成立，得到 ，即 ，得出关于 的不等式组，求解即可. 【详解】解：函数 ，可得 ， 令 ，则 ， ， 令 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， . ， ， 存在唯一的 ，使得 在 上恒成立， ， 在 上有唯一解， ，解得 . 故选：B. 【点睛】本题考查了导数函数最值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成立问题，属于中档题. 二、 填空题 （本题共6 小题，每题5 分，共30 分 ） 10. 已知 是函数 的一个极值点，则 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据 是函数 的一个极值点，得 ，解方程，检验即可得出答案. 【详解】解：因为 ，所以 . 又 是 的一个极值点，所以 ，解得 或 . 当 时， ，则 无极值. 当 时， ， 是 的极小值点. 故答案为： . 11. 已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数a 的 取值范围为_______． 【答案】 ． 【解析】 【分析】构造新函数 ，求导根据导数大于等于零得到 ，构造 ，求导得 到单调区间，计算函数最小值得到答案. 【详解】当 时，不等式 恒成立， 所以 ，所以 在 上是增函数， ，则 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 ， 所以 ． 故答案为： ． 12. 为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3 名医生和6 名护士分配到3 所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校 分配1 名医生和2 名护土，则不同的分配方法共有_______种． 【答案】540 【解析】 【分析】先平均分组，再将三个小组分配到3 所学校，运用排列组合知识进行求解. 【详解】第一步，将6 名护士平均分给3 名医生组成三个小组，有 种不同的分法；第二 步，将三个小组分配到3 所学校，有 种不同的分法．故不同的分配方法共有 种． 故答案为：540 13. 函数 （ ）在 内不存在极值点，则a 的取值范围是_______________． 【答案】 ． 【解析】 【分析】将函数在 内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数 或 恒 成立即可求解. 【详解】解：∵函数 （ ）在 内不存在极值点， ∴函数 在 内单调递增或单调递减， ∴ 或 在 内恒成立， ∵ ， 令 ，二次函数的对称轴为 ， ∴ ， ， 当 时，需满足 ，即 ， 当 时，需满足 ，即 ， 综上所述，a 的取值范围为 ． 故答案为： ． 14. 已知 ， ， ， ，使得 成 立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得 ，求导可得的 单调性，将 的最小值代入，即得. 【详解】∵ ， ，使得 成立， ∴ ． 由 ，得 ， 当 时， ， ∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ∴函数 在区间 上的最小值为 ． 又 在 上单调递增， ∴函数 在区间 上的最小值为 ， ∴ ，即实数 的取值范围是 ． 故答案为： . 15. 已知函数 ，若函数 恰有4 个不同 的零点，则a 的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数结合导数求出 值域，令 ，结合 图象特征采用数形结合法可求a 的取值范围. 【详解】 ， 当 时， ，函数为减函数； 当 时， ， ， 和 时， 单增， 时， 单减， ， ， 故 的图象大致为： 令 ，则 ， ， 当 时， ， ， 无零点； 当 时， ， ， 无零点； 当 时， ， ， ，则 ， 要使 恰有4 个不同的零点，则 ， 即 . 故答案为： 三、 解答题 （本题共5 小题，共计75 分 ） 16. 已知函数 的导函数为 ，且满足 . （1）求 及 的值； （2）求 在点 处的切线方程. 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】 【分析】（1）由题设 ，代入 即可求 ，进而求出 . （2）根据导数的几何意义，结合（1）的结果，应用点斜式写出切线方程. 【小问1 详解】 由题设， ，故 ，可得 ， 所以 . 【小问2 详解】 由（1）知：切点为 且切线斜率为 ， 所以切线方程为 ，即 . 17. 10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4 只，试求出现下列结果时，各有多少种情况？ （1）4 只鞋子恰成两双； （2）4 只鞋子没有成双的； （3）4 只鞋子有2 只成双，另两只不成双. 【答案】（1）45（2）3360（3）1440 【解析】 【分析】（1）从10 双鞋子中选2 双即可求解； （2）首先从10 双鞋子中选取4 双，再从每双鞋子中各取一只，利用分步乘法计数原理即可求解； （3）先选取一双，再从9 双鞋中选取2 双，每双鞋只取一只，利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）从10 双鞋子中选2 双有 种取法，即有45 种不同取法． （2）从10 双鞋子中选取4 双，有 种不同选法， 每双鞋子中各取一只，分别有2 种取法， 根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝ ×24＝3360(种)． （3）先选取一双有 种选法，再从9 双鞋中选取2 双有 种选法， 每双鞋只取一只各有2 种取法， 根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝ ×22＝1440(种)． 18. 已知函数 ， 在 处取得极值 （1）求 ， 的值； （2）求函数 在区间 上的 最值． 【答案】（1） ； （2）最大值为 ，最小值为 . 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据 求出参数 ， 的值； （2）由（1）可得 ，研究其在 上的符号，进而确定 的单调性，再求出 闭区间上的最值. 【小问1 详解】 由题设， ，又 处取得极值 所以 ，可得 .经检验，满足题意. 【小问2 详解】 由（1）知： ， 在 上 ， 递增；在 上 ， 递减； 在 上的最大值为 ， 而 ， ，故在 上的最小值为 ， 综上， 上最大值为 ，最小值为 . 19. 已知函数 ， ． （1） 时，求函数 在区间 上的最值； （2）若关于x 的不等式 在区间 上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）当 时， 取得最大值为0；当 时， 取得最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值； （2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造 ，通过二次 求导研究函数的单调性求其最值. 【小问1 详解】 解：由题意， ． 因为 ，所以当 时， 恒成立． 所以 在 上单调递减， 所以当 时， 取得最大值为0； 当 时， 取得最小值为 . 【小问2 详解】 解：不等式 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 设 ， ． 则 ． 设 ， 则 ． ∵ ，∴ ，即 ． ∴函数 在 上单调递减， ∵ ，∴当 时， ，即 ． ∴函数 在 上单调递减． ∵当 时， ． ∴当 时，有 ． ∴ ． ∴a 的取值范围是 ． 20. 设函数 ，函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）当 时，若 恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得 ，分 和 两种情况讨论，结合导数的符号，即 可求解； （2）根据题意转化为 ，令 ，求得 ，令 ，利用导数得出 ，分 和 ，两种情况求得 的单调性，结合单调性，即可求解. 【小问1 详解】 解：由题意，函数 ，所以 ， 当 时，令 ，则 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ； 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 综上：当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 【小问2 详解】 解：要证 成立，即证 ， 令 ，易知 ， 可得 ，令 ， 又 在 上单调递增，且 则 ，所以 在 上单调递减，所以 则当 时，可得 ，则有 在 上单调递增， 则 ； 则当 时，可得 ，又因为 在 上单调递增， 则存在 ，使得 ，所以当 时， ， 则此时 ，不符合题意. 综上所述：实数 的取值范围 ．