河北省张家口市2021-2022学年高一上学期期末考试 数学（B）

张家口市2021—2022 学年度第一学期期末考试 高一数学（B） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得集合 ，由并集定义可得结果. 【详解】 ， ， . 故选：D. 2. 命题“ ， ”的否定是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定求解. 【详解】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 命题“ ， ”是存在量词的命题， 所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”. 故选：C 3. 已知 ，那么“ ”是“ ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【3 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】化简 得 ，再利用充分非必要条件定义判断得解. 【详解】解： . 因为“ ”是“ ”的充分非必要条件， 所以“ ”是“ ”的充分非必要条件. 故选：A 4. 设 ， ， ，则 的大小关系是（） A. B. C. D. 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系. 【详解】 ， ； ， ， ，即 ，又 ， . 故选：C. 5. 函数 的单调递减区间是（） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解. 【详解】 ， ， 令 ，解得： ， 根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知 函数单调递增，在区间 函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是 . 故选：D 6. 方程 的解所在的区间是（） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】作差构造函数 ，利用零点存在定理进行求解. 【详解】令 ， 则 ， ， 因为 ， 所以函数 的零点所在的区间是 ， 即方程 的解所在的区间是 . 故选：B. 7. 已知 ，且 ，则 （） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的关系 ，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即 可求解. 【详解】 ， ， . 故选：B 8. 设奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是 （） A. B. 或 C. D. 或 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性可将所求不等式化为 ；利用奇偶性可判断出 单调性和 ，分别在 和 的情况下，利用 单调性解得结果. 【详解】 为奇函数， ； 又 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ； ，即 ； 当 时， ， ；当 时， ， ； 的 解集为 或 . 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题 中，奇偶性和单调性的作用如下： （1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（） A. B. C. D. 【9 题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】分 和 两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 【详解】当 时， 在 单调递增且其图象恒过点 ， 在 单调递增且其图象恒过点 ， 则选项B 符合要求； 当 时， 在 单调递减且其图象恒过点 ， 在 单调递减且其图象恒过点 ， 则选项D 符合要求； 综上所述，选项B、D 符合要求. 故选：BD. 10. 下列函数中，在定义域上既是偶函数，又在 上单调递增的是（） A. B. C. D. 【10 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇偶性定义和函数单调性的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A， ， 为定义在 上的 偶函数； 又当 时， ，则 在 上单调递增，A 正确； 对于B，由对勾函数性质可知： 在 上单调递减，B 错误； 对于C， ， 为定义在 上的偶函数； 当 时， ，则 在 上单调递增，C 正确； 对于D，当 时， ， ， 不是偶函数，D 错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（） A. 若 的终边上的一点坐标为 （ ），则 B. 若 是第一象限角，则 是第一或第三象限角 C. 若 ， ，则 D. 对 ， 恒成立 【11 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项，利用三角函数定义求解余弦值；B 选项，利用象限角范围进行求解；C 选项，对 平方后得到 ，进而得到 ；D 选项， ， ，从而作出判断. 【 详解】若 ，此时 ，故A 错误； 若 是第一象限角，则 ， ，所以 ， ，当 为奇数时，此时 是第三象限角，当 为偶数时，此时 是第一象限角，故B 正确； ，两边平方得： ，则 ，因为 ，所以 ，故 ，C 正确； ， ，故D 错误. 故选：BC 12. 设常数 ，函数 ，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，则下列说法正确的是（） A. B. C. 的取值范围为 D. 【12 题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】由解析式作出 图象，采用数形结合的方式可确定AC 正确；由 知B 正确；根据分段函数的函数值求法可知D 正确. 【详解】由解析式可得 图象如下图所示， 有三个不等实根等价于 与 有三个不同交点， 由图像可知： ，A 正确； 若 ，则 ，即 ， ， B 正确； ，则 ， ，C 错误； ，D 正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的 个数求解参数范围、方程根的和等知识；解题的基 本思路是根据解析式作出函数图象，采用数形结合的方式来进行观察求解. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 函数 （ 且 ）的 图像恒过定点______. 【13 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可. 【详解】由 ， .此时 . 故图像恒过定点 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题. 14. 若 ，则 ______. 【14 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式计算即得解. 【详解】解：由题得 ，所以 . 故答案为： 15. 已知 ，则 _________． 【15 题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】由 可得 代入目标，利用换底公式即可得到结果. 【详解】∵ ∴ ， ∴ 故答案为2 【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基 础题. 16. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是______. 【16 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的的大小关系， 即可列式求解. 【详解】因为分段函数在 上单调递减，所以每段都单调递减，即 ，并且在分界点处需满足 ，即 ，解得： . 故答案为： 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合 ， . （1）求 ； （2）求 . 【17~18 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求两个集合，再求交集； （2）先求 ，再求 . 【小问1 详解】 ，解得： ， 即 ， ，解得： ，即 ， ； 【小问2 详解】 ， . 18. 已知扇形的圆心角是 ，半径为 ，弧长为. （1）若 ， ，求扇形的弧长； （2）若扇形 的周长为 ，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求 出此时扇形面积的最大值. 【18~19 题答案】 【答案】（1） ； （2）当 时，扇形面积最大值 . 【解析】 【分析】（1）利用扇形弧长公式直接求解即可； （2）根据扇形周长可得 ，代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果. 【小问1 详解】 ， 扇形的弧长 ； 【小问2 详解】 扇形 的周长 ， ， 扇形 面积 ， 则当 ， ， 即当 时，扇形面积最大值 . 19. 已知函数 . （1）判断并证明 的奇偶性； （2）若 ，求 的取值范围. 【19~20 题答案】 【答案】（1） 是奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数 的定义域，再利用奇偶性的定义进行判定； （2）先解关于 的一元二次不等式得到 ，再利用对数函数的单调性转化为分 式不等式进行求解. 【小问1 详解】 解： 是奇函数，证明如下： 令 ，即 ， 解得 ，即 的定义域为 ； 对于任意 ，都有 ， 且 ， 即 ， 所以 是奇函数. 【小问2 详解】 解：因为 ， 所以 ，则 ， 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 可化为 ， 解得 ， 即 的取值范围为 . 20. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代 油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到 年 中国的汽车总销量将达到 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源 公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台 元，到第 年年末 每台设备的累 计维修保养费用为 元，每台充电桩每年可给公司收益 元.（ ） （1）每台充电桩第几年年末开始获利； （2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大. 【20~21 题答案】 【答案】（1）第 年； （2）第 年. 【解析】 【分析】（1）构造二次函数模型，由二次函数 解得结果； （2）由（1）知年平均利润 ，结合对勾函数单调性，验证可知 ，由 此可得结果. 【小问1 详解】 设每台充电桩在第 年年末的利润为 ， 则 ， 令 ，解得： ，又 ， ， ， 每台充电桩从第 年年末开始获利； 【小问2 详解】 设 为每台充电桩在第 年年末的年平均利润， 则 ； 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， ， ， ， ， 每台充电桩在第 年年末时，年平均利润最大. 21. 已知 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且满足 ，其中为 自然对数的底数. （1）求函数 和 的解析式； （2）若不等式 在 恒成立，求实数 的取值范围. 【21~22 题答案】 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】 【分析】（1）解方程组 即得解； （2）等价于不等式 在 恒成立，再利用基本不等式求解. 【小问1 详解】 解：由 ，得 ， 因为 为 上的奇函数， 为 上的偶函数， 所以 ， 由 ， 解得 ， . 【小问2 详解】 解：因为 为 上的奇函数，所以 转化为 ， 因为 在 上都为增函数， 所以 在 上为增函数， 所以 在 恒成立，即 在 恒成立， 所以 在 恒成立， 因为 ，当且仅当 ，即 时取等号. 所以 ，所以实数 的取值范围为 . 22. 已知函数 的定义域为 ，且对一切 ， ，都有 ，当 时，总有 . （1）求 的值； （2）证明： 是定义域上的减函数； （3）若 ，解不等式 . 【22~24 题答案】 【答案】（1） ； （2）证明见解析；（3） . 【解析】 【分析】（1）令 即可求得结果； （2）设 ，由 即可证得结论； （3）将所求不等式化为 ，结合 单调性和定义域的要求即可构造不等 式组求得结果. 【小问1 详解】 令 ，则 ，解得： ； 【小问2 详解】 设 ，则 ， ， ， ， 是定义域上的减函数； 【小问3 详解】 由 得： ，即 ， 又 ， ， 是定义域上的减函数， ，解得： ； 又 ， ， 的解集为 . 【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数 不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的 比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.