二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数： 构造二倍角三角函数： 勾股定理可求二倍角三角函数值 2α α α 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． α α 2α 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛 物线 经过、B 两点且与x 轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 为直线B 上方抛物线上的一个动点，当∠BD=2∠B 时，求点D x C B A O O A B C D x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）思路：转化为等角 本题中的∠B 和∠BD 是内错角，若是构造∠BD=∠B，作平行线即可． 两倍角亦可以作平行构造出， 过B 作x 轴的平行线， 作B 关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D 点． D α α α O A B C x y 考虑到 ，故 ， 可得直线BD 解析式为：

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E倍长 有中点，可倍长，倍长之后8 字现 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在 中， ，中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长 至 ，使 ，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出 的中线， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第 三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知D 是△B 中B 边上的中线，B＝5，＝3，则D 的取值范围 是（

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E倍长 有中点，可倍长，倍长之后8 字现 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在 中， ，中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知D 是△B 中B 边上的中线，B＝5，＝3，则D 的取值范围 是（ ） ．2＜D＜8 B．1＜D＜4

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 ．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ． 【详解】因为 ，所以 ． 故答案为： . 1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用 三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积 ， 这里 ．已知在 中，内角A，B，C

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ． 【详解】因为 ，所以 ．故答案为： . 1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用 三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积 ， 这里 ．已知在 中，内角A，B，C

倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1 作二倍角的平分线，构成等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，作∠B 的平分线交于点D，则∠DB＝∠，DB＝D，即△DB 是 等腰三角形 2 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，延长B 到点D，使得BD＝B，连接D，则△BD、△D 都是等 腰三角形 例题：如图，在△B ∴△D≌△ED，∴∠＝∠E ， 又∵∠DB＝∠D＝∠，∴∠E＝∠DB，∴D＝DE，∴∠B＝90º 二、倍半角综合 1 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可 如图，若 ，则 （ ） 2 由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可 如图，在Rt△B（∠＜45º）的直角边上取点D，当BD＝D 时，则∠BD＝2∠，设 中，由勾股定理可得 ， 解得 ，故有 三、一些特殊的角度 1 由特殊角30º 求t15º 的值 如图，先构造一个含有30º 角的直角三角形，设B＝1， ，B＝2，再延长至 D ，使得D ＝B ＝2 ，连接BD ，构造等腰△BD ，则∠D ＝ ∠B ＝15º ， 2 由特殊角45º 求t225º 的值 由图可得 ， 3 “345”三角形 （1）如图1，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ............................................................................................2 模型1 倍长中线模型............................................................................................... ..............20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ............................................................................................2 模型1 倍长中线模型............................................................................................... ..............20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

题型10 6 类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值， 解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角” 1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系 2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒 等变换公式把“所求角”变成“已知角” 例1-1．（全国·高考真题）tan255°= 升幂公式：cos2α=1−2sin2α ，cos2α=2cos2α−1 降幂公式：sin2α=1−cos2α 2 ，cos2α=1+cos2α 2 例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ） 在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要 强加练习 A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以 ． 例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则

题型10 6 类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值， 解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角” 1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系 2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒 等变换公式把“所求角”变成“已知角” 例1-1．（全国·高考真题）tan255°= 1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知 ， ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知 ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得 和 ，分别 在 和 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 ，结合 的范围可确定最终结 果. 【详解】 且 ， ， . 又 ， ， . 当 时， ， ， ， 不合题意，舍去； 当 ，同理可求得