高考数学答题技巧题型13 6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）（解析版）Word（20页）

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ． 【详解】因为 ，所以 ． 故答案为： . 1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用 三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积 ， 这里 ．已知在 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， ， ，则 的面积最大值为（ ）． A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据给定信息列出关于b 的函数关系，再借助二次函数计算作答. 【详解】依题意， ，则 ， 所以 ， ， 所以 的面积最大值是12. 故选：D 2．（2023 上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c 直接求三角 形面积S 的公式，表达式为： （其中 ）；它的特点是形式漂亮，便 于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247 年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此 海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为 的 满足 ，则用 以上给出的公式求得 的面积为（ ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． 【详解】∵ ，∴ ， ∵ 周长为 ，即 ， ∴ ，∴ ， ∴ 的面积 ． 故选：C． 3．（2023·海南·校联考模拟预测）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： ，其中 ，a，b，c 分别为 的三个内角A，B，C 所对的边，该 公式具有轮换对称的特点．已知在 中， ，且 的面积为 ，则 （ ） A．角A，B，C 构成等差数列 B． 的周长为36 C． 的内切圆面积为 D． 边上的中线长度为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理和余弦定理可知 ，满足 ，即A 正确；根据海伦公式可得 ， 所以周长为 ，故B 错误；由等面积法可知内切圆的半径 ，可知C 正确，由利用余弦定理可得 边上的中线长度为 ，即D 正确. 【详解】对于A，由正弦定理可知 ， 设 ， ， ， 由余弦定理可得 ， 所以 ， ，故角A，B，C 构成等差数列，故A 正确； 对于B，根据海伦公式得 ， ，得 ， 所以 ， ， ，所以 的周长为 ，故B 错误； 对于C，设 内切圆的半径为r，则 ，得 ， 所以 的内切圆面积为 ，故C 正确； 对于D，设 的中点为 ，则 ， 在 中， ，故D 正确． 故选：ACD 技法02 射影定理的应用及解题技巧 知识迁移 射影定理a=bcosC+c cos B ，b=acosC+c cos A ，c=acos B+bcos A 例2．（全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ． 在△ABC 中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 又0<B<π，∴B＝ . 1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别记为a、b、c，若 ，则 ． 三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题 不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形 射影定理能够快速得到答案，需强化练习 【答案】 【分析】由正弦定理得到 ，求出正弦，利用二倍角公式求出答案. 【详解】 ，由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ，故 ， 由于 ，故 ， 则 . 故答案为： 2．（全国·高考真题） 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 . （1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把 化成 ，利用和角公式可得 从而求得角 ；（2）根据三角形的面积 和角 的值求得 ，由余弦定理求得边 得到 的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形. 3．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ； (2)若 ，求 面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得： ，即 ， 而 ，所以 ，又 ，所以 ， 故 的面积为 ． 4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在 中， ，则（ ） A． ， ，依次成等差数列 B． ， ，依次成等差数列 C． ，， 依次成等差数列 D． ， ，既成等差数列，也成等比数列 【答案】A 【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简可得出 ，即可求 出 、 、关系. 【详解】设 是三角形 外接圆半径，∵ ， ∴ ，即 ， 即 即 ∵ 、 、 在三角形 中， 所以 ，所以 得到 ， 即 ， ，成等差数列， 故选：A. 【点睛】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题 时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习. 5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、，若 的 面积 ， ， ，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简 , 由 的范围特殊角的三 角函数值求出 ，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由 可得 在 中，由正弦定理得： 由 得， 由 得 得 ∴由余弦定理得 解得 ， 故答案为： . 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 知识迁移 角平分线定理 （1）在Δ ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有 AB BD = AC CD （2） （3） （库斯顿定理） （4） 例3．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC 于D，则 ． 由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ， 则 计算即可，故答案为： ． 在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需 重点学习. 1．（2023·全国·高三专题练习）△ 中，边 内上有一点 ，证明： 是 的角平分线的充要条 件是 ． 【答案】证明见解析 【分析】证明两个命题为真：一个是由 是 的角平分线证明 ，一个是由 证明 是 的角平分线． 【详解】证明：设 ： 是 的角平分线， ： ． 如图，过点 作 // 交 的延长线与点 ， （1）充分性（ ）：若 ，则 ，所以 ，所以 ，又△ ∽△ ，所 以 ，所以 ． （2）必要性 （ ）：反之，若 ，则∵ ，∴△ ∽△ ，∴ ，所以 ，所以 ，又 // ，所以 ，所以 ． 由（1）（2）可得， 是 的角平分线的充要条件是 ． 【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明 是 的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性： ，必要性： ． 2．（2023 春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在 中，角A 的角平分线交 于点D，且 ， 则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解. 【详解】因为 是 的角平分线，所以 ， 所以由正弦定理得 ， ， 又因为 ， ， 所以 ，即 ，所以 ，即 . 故选：D 3．（2023 春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 若 ， ， ，则角A 的角平分线 . 【答案】 【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解. 【详解】 由正弦定理得 ， 都是锐角， ， ， ， 在 中，由正弦定理得： ； 故答案为： . 4．（2023 春·安徽滁州·高一统考期末）在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 . (1)求角A 的大小； (2)若 ， ，AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得到答案； （2）根据 ，再利用三角形面积公式得到关于 的方程，解出即可. 【详解】（1）由正弦定理可知 . 由余弦定理可得 ， 又 ，所以 . （2）由题意知 ， 所以 ， 所以 ， 解得 . 技法04 张角定理的应用及解题技巧 知识迁移 张角定理 sin β AB +sin α AC =sin(α+β) AD 例4-1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 . （1）用正弦定理证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长. 在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习. 先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为 ． 例4-2．在 中,角 所对的边分别为 ,已知点 在 边上, ,则 __________ 解：如图 由张角定理得: 即 1. 在 △ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=2,c=4 ,∠BAC=120 ∘,∠BAC 的角平分线 交边 BC 于点 D,则 AD=¿_____ 解析 由张角定理, 得 cos∠BAD=1 2( AD AB + AD AC) ,即 1 2=1 2( AD 4 + AD 2 ) , 解得 AD= 4 3 . 2. 在 中, 角 所对的边分别为 是 的角平分线, 若 ,则 的最小值为_______ 【解析】如图: 是 的角平分线 由张角定理得: （当且仅当 ,即 时取“=”） 3．（2023 上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末） 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c， ， 交AC 于点D，且 ， 的最小值为（ ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据题意由面积关系可得 ，再结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知： ， 因为 ，即 ， 整理得 ， 则 ． 当且仅当 时，等号成立． 所以 的最小值为 ． 故选：B. 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 知识迁移 倍角定理 在 中,三个内角 的对边分别为 , (1) 如果 , 则有: ，(2) 如果 , 则有: ，(3) 如果 , 则有: 倍角定理的逆运用 在 中,三个内角A、B、C 的对边分别为 , (1) 如果 ,则有: ，(2)如果 ,则有: ，(3)如果 ,则有: 。 例5．在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c, 若 B=2 A, a=1,b=❑ √3, 则 c=¿______ _ 在解三角形中，应用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. ∵B=2 A,由倍角定理得: b 2=a 2+ac 即(❑ √3) 2=1 2+1×c ¿∴c=2 1.在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c, 已知 8b=5c, C=2B, 则 cosC=¿ 【解析】 ∵8b=5c，令 b=5,c=8，∵C=2B 由倍角定理得: c 2=b 2+ab，即 8 2=5 2+a×5 ∴a=39 5 ，由余弦定理得: cosC=a 2+b 2−c 2 2ab ¿( 39 5 ) 2 +5 2−8 2 2× 39 5 ×5 ¿= 7 25 2.在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c, 若 A=2B,则 c b +( 2b a ) 2 的最小值为 【解析】 ∵A=2B 由倍角定理得: a 2=b 2+bc=b (b+c ) ∴c b +( 2b a ) 2 ¿ c b + 4 b 2 a 2 ¿ ¿= c b + 4 b b+c ¿ ¿≥2❑ √ b+c b × 4 b b+c −1 ¿ ¿ （当且仅当 b+c b = 4 b b+c 时取 “=”) 3.△ABC中,角A 、B 、C所对的边分别为a 、b 、c,若a 2−b 2=bc,且sinA=❑ √3 sinB,则角A=¿ 【解析】∵a 2−b 2=bc ∴a 2=b 2+bc ¿∴A=2B ¿∵sinA=❑ √3 sinB ¿∴sin 2B=❑ √3 sinB 即2sinBcosB=❑ √3 sinB ∵sinB≠0 ¿∴cosB= ❑ √3 2 ¿∵0<B<π ¿∴B= π 6 ¿∴A=2B= π 3 4.（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足 ． (1)证明： ； (2)求 的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用正余弦定理得 ，再利用两角和与差的余弦公式化简得 ，再根据 范围即可证明； （2）根据三角恒等变换结合（1）中的结论化简得 ，再求出 的范围，从而得到 的 范围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案. 【详解】（1）由 及 得, . 由正弦定理得 , 又 , , , , 都是锐角,则 , （2）令 ， 由（1） 得 . 在锐角三角形 中, ，即 ， , 令 , 根据对勾函数的性质知 在 上单调递增， ,即 的取值范围是 . 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. ⑦ ； ⑧ ； ⑨ ； ⑩ 。 例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， =______ ，可得 ，所以 . 1. 在 △ABC 中， tan A :tan B:tanC=1:2:3, 则 AB AC =¿______ 因为 tan A :tan B:tanC=1:2:3 所以设 tan A=k ,tan B=2k ,tanC=3k 利用三角形的正切恒等式 tan A+tan B+tanC=tan A tan B tanC所以 1k+2k+3k=1k ⋅2k ⋅3k 所以 tan A=1,tan B=2,tanC=3 所以 AB AC = c b =sinC sin B = 3 ❑ √10 2 ❑ √5 = 3 2❑ √2=3 ❑ √2 4 2．（河南·高一竞赛）在 中，设 ， .则 、 的大小关 系是（ ）. A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】由条件有 . 同理， ， .故 . 选C. 3．（全国·高三竞赛）在 中， ， ．则 、 的大 小关系是（ ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】在 中， ． 同理， ， ． 三式相加得 ．