高考数学答题技巧题型13 6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）（原卷版）Word（11页）

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ． 【详解】因为 ，所以 ．故答案为： . 1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用 三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积 ， 这里 ．已知在 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， ， ，则 的面积最大值为（ ）． A． B． C．10 D．12 2．（2023 上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c 直接求三角 形面积S 的公式，表达式为： （其中 ）；它的特点是形式漂亮，便 于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247 年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此 海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为 的 满足 ，则用 以上给出的公式求得 的面积为（ ） A． B． C． D．12 3．（2023·海南·校联考模拟预测）（多选）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海 伦公式”： ，其中 ，a，b，c 分别为 的三个内角A，B，C 所 对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在 中， ，且 的面积为 ，则（ ） A．角A，B，C 构成等差数列 B． 的周长为36 C． 的内切圆面积为 D． 边上的中线长度为 技法02 射影定理的应用及解题技巧 知识迁移 射影定理a=bcosC+c cos B ，b=acosC+c cos A ，c=acos B+bcos A 例2．（全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ． 三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题 不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形 射影定理能够快速得到答案，需强化练习 在△ABC 中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 又0<B<π，∴B＝ . 1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别记为a、b、c，若 ，则 ． 2．（全国·高考真题） 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 . （1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长. 3．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ； (2)若 ，求 面积． 4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在 中， ，则（ ） A． ， ，依次成等差数列 B． ， ，依次成等差数列 C． ，， 依次成等差数列 D． ， ，既成等差数列，也成等比数列 5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、，若 的 面积 ， ， ，则 . 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 知识迁移 角平分线定理 （1）在Δ ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有 AB BD = AC CD （2） （3） （库斯顿定理） （4） 例3．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC 于D，则 ． 由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ， 在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需 重点学习. 则 计算即可，故答案为： ． 1．（2023·全国·高三专题练习）△ 中，边 内上有一点 ，证明： 是 的角平分线的充要条 件是 ． 2．（2023 春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在 中，角A 的角平分线交 于点D，且 ， 则 等于（ ） A． B． C． D． 3．（2023 春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 若 ， ， ，则角A 的角平分线 . 4．（2023 春·安徽滁州·高一统考期末）在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 . (1)求角A 的大小； (2)若 ， ，AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长. 技法04 张角定理的应用及解题技巧 知识迁移 张角定理 sin β AB +sin α AC =sin(α+β) AD 例4-1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 . （1）用正弦定理证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长. 先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为 ． 例4-2．在 中,角 所对的边分别为 ,已知点 在 边上, 在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习. ,则 __________ 解：如图 由张角定理得: 即 1. 在 △ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=2,c=4 ,∠BAC=120 ∘,∠BAC 的角平分线 交边 BC 于点 D,则 AD=¿_____ 2. 在 中, 角 所对的边分别为 是 的角平分线, 若 ,则 的最小值为_______ 3．（2023 上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末） 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c， ， 交AC 于点D，且 ， 的最小值为（ ） A． B． C．8 D． 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 知识迁移 倍角定理 在 中,三个内角 的对边分别为 , (1) 如果 , 则有: ，(2) 如果 , 则有: ，(3) 如果 , 则有: 在解三角形中，应用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. 倍角定理的逆运用 在 中,三个内角A、B、C 的对边分别为 , (1) 如果 ,则有: ，(2)如果 ,则有: ，(3)如果 ,则有: 。 例5．在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a、b 、c, 若 B=2 A, a=1,b=❑ √3, 则 c=¿______ _ ∵B=2 A,由倍角定理得: b 2=a 2+ac 即(❑ √3) 2=1 2+1×c ¿∴c=2 1.在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c, 已知 8b=5c, C=2B, 则 cosC=¿ 2.在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c, 若 A=2B,则 c b +( 2b a ) 2 的最小值为 3.△ABC中,角A 、B 、C所对的边分别为a 、b 、c,若a 2−b 2=bc,且sinA=❑ √3 sinB,则角A=¿ 4.（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足 ． (1)证明： ； (2)求 的取值范围． 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 三角恒等式 在 中， ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； 在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. ⑨ ； ⑩ 。 例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， =______ ，可得 ，所以 . 1. 在 △ABC 中， tan A :tan B:tanC=1:2:3, 则 AB AC =¿______ 2．（河南·高一竞赛）在 中，设 ， .则 、 的大小关 系是（ ）. A． B． C． D．不能确定 3．（全国·高三竞赛）在 中， ， ．则 、 的大 小关系是（ ）． A． B． C． D．无法确定