专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 ，进一步求出点在以为圆心，半径为 4 的圆上运动，则当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最小值， 即可得到答． 【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ， ∵ 的一条直角边 在x 轴上，点的坐标为 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵点M 为 中点，点为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ； 在 中， ，∴ ， ∵将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点在以为圆心，半径为4 的圆上运动， ∴当点M

最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 边上的 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ，∠MDE＝∠＝45°， ∴ME＝DE＝ DM＝1， ∴E＝D+DE＝6+1＝7， 由勾股定理得：M2＝ME2+E2， ∴M＝ ＝5 ； 由翻折变换的性质得：M′＝M＝ ，点′在以M 为圆心， 为半径的圆上 显然，当折线M′与线段M 重合时，线段′的长度最短， 此时′＝M﹣M′＝5 ﹣ ＝4 ， 故答为4 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D 为圆心，3 为半径作⊙D，E

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 【答】 【分析】如图，连接 ，设 交于点 ，根据题意可得 是 的直径， ，设 ，证明 ，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出 ，根据 ，勾股定理求得 ，根据 即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，设 交于点 ， ∵ 是 的直径， 线是解答本题的关键． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x ，E 是 的中点．以点为圆 心， 长为半径画圆，点P 是 上一动点，点F 是边 上一动点，连接 ，若点Q 是 的中点，连 接 ， ，则 的最小值为 ． 模型2、定边对直角模型（直角对直径） 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 例1．（2

最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 边上的 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ，∠MDE＝∠＝45°， ∴ME＝DE＝ DM＝1， ∴E＝D+DE＝6+1＝7， 由勾股定理得：M2＝ME2+E2， ∴M＝ ＝5 ； 由翻折变换的性质得：M′＝M＝ ，点′在以M 为圆心， 为半径的圆上 显然，当折线M′与线段M 重合时，线段′的长度最短， 此时′＝M﹣M′＝5 ﹣ ＝4 ， 故答为4 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D 为圆心，3 为半径作⊙D，E

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、除外）， BD 的延长线交⊙于点E，连接E．(1)求证 ；(2)当 时，求E 的长． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接 ． ∵ ， ．∴ ，（根据） ∴ @，∴ ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的

几何图形之隐圆模型 【模型精讲】 模型一、动点定长模型 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 【真题精选】 1（2020·成都）如图，在矩形 A' N M A B C D D C B A M N A' 【答】 ． 【解析】考虑△M 沿M 所在直线翻折得到△’M，可得M’=M=1，所以’轨迹是以M 点为圆 心，M 为半径的圆弧．连接M，与圆的交点即为所求的’，此时’的值最小． 构造直角△M，勾股定理求M，再减去’M 即可，答为 ． 例2（直角圆周角模型）如图，Rt△B 中，B⊥B，B=8，B=4，P 是△B 内部的一个动点，且 翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD 的最小值是_________． Q A B C D E F P 【答】8 【解析】F 点轨迹是以E 点为圆心，E 为半径的圆，作点D 关于B 对称点D’，连接PD’， PF+PD 化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F 点，与B 交点为所求P 点，勾股定 理先求ED‘,再减去EF 即可． D' P F E D C B A Q Q

专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点、B，则所有满足 P=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r，则可说明△BP 与△P 相似，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值， 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 值最小。如图3 所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆半径为2， P 为圆上一动点，连接 最小值__________． 最小值__________．

专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点、B，则所有满足 P=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r，则可说明△BP 与△P 相似，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值， 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 值最小。如图3 所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆半径为2， P 为圆上一动点，连接 最小值__________． 最小值__________．