专题28 最值模型之阿氏圆模型（解析版）

专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点、B，则所有满足 P=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r，则可说明△BP 与△P 相似，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值， 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆半径为2， P 为圆上一动点，连接 最小值__________． 最小值__________． 【答】 ； ． 【分析】如图，连接P，在B 上取点D，使D=1，连结D，可证△PD∽△BP．可得PD= BP，当点，P，D 在同一条直线时，P+ BP 的值最小，在Rt△D 中，由D=1，=6，根据勾股定理D= = 即可；在 上取E= ，△PE∽△P．可得PE= P，当点B，P，E 在同一条直线时，BP+ P 的值最小，在Rt△BE 中， 由E= ，B=4，根据勾股定理BE= 即可． 【详解】解：如图，连接P，在B 上取点D，使D=1，连结D， ∵P=2，B=4， ∴ ，∴ ，又∵∠PD=∠BP，∴△PD∽△BP． ∴ ，∴PD= BP，∴P+ BP=P+PD， 当点，P，D 在同一条直线时，P+ BP 的值最小， 在Rt△D 中，∵D=1，=6，∴D= = ， ∴P+ BP 的最小值为 ．故答为： 在上取E= ，连接P，PE ∵ ∴ 又∵∠PE=∠P，∴△PE∽△P． ∴ ，∴PE= P，∴BP+ P=BP+PE， 当点B，P，E 在同一条直线时，BP+ P 的值最小， 在Rt△BE 中，∵E= ，B=4，∴BD= ， ∴BP+ P 的最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判 定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键． 例2．（2023 春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为 上 的动点，则 的最大值是 ． 【答】2 【分析】解法1，如图：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，连接 ， ，连接 、 ， 推得 ，因为 ，求出 即可求出答． 解法2：如图：连接 、 、 ，在 上做点 ，使 ，连接 ，证明 ， 在 上做点 ，使 ，连接 ，证明 ，接着推导出 ，最后证 明 ，即可求解． 【详解】解法1：如图：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，连接 ， ， ∴ ， ， 四边形 正方形 ， 又 ， 在 与 中 ， 故答为：2． 解法2 如图：连接 、 、 根据题意正方形 的边长为4， 的半径为2 ， 在 上做点 ，使 ，则 ，连接 在 与 中 ， ，则 在 上做点 ，使 ，则 ，连接 在 与 中 ， ，则 如图所示连接 在 与 中 ， ， 故答为：2． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题 关键． 例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形 的边长为2，锐角大小为 ， 与 相切于点 E，在 上任取一点P，则 的最小值为___________． 【答】 ． 【分析】在D 上截取=15，根据题意可知，P= ，可得 ，证△P∽△DP，可知P= ，当B、 P、共线时， 的最小，求B 即可． 【详解】解：在D 上截取=15，连接P、E，过点B 作BF⊥D 延长线，垂足为F， ∵B=2，∠B=60°，∴BE=F=1，E=BF= ， ∴ ，∵∠PD =∠P，∴△DP∽△P， ∴ ，∴P= ， 当B、P、共线时， 的最小，最小值为B 长， B= ；故答为： ． 【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题． 例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6 的正方形 中，M 为 上一点，且 ，为边 上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P 与点B 对应，连接 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】由折叠的性质可得，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，在线段 上取一点 ，使得 ，利用相似三角形的性质得到 ，从而得到 ，当且仅当 三点共线时，取得最小值 ，即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， 在线段 上取一点 ，使得 ，则 ∵ ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当且仅当 三点共线时，取得最小值 ，∴ 的最小值为： 故答为： 【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把 转化为 是解决此题的关键． 例5．（2023·浙江·一模）问题提出： 如图1，在等边△B 中，B＝9，⊙半径为3，P 为圆上一动点，连结P，BP，求P+ BP 的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将 BP 转化为某 一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结P，在B 上取点D，使D＝1，则有 又∵∠PD＝∠ △ ∽△ ∴ ∴PD＝ BP ∴P+ BP＝P+PD ∴当，P，D 三点共线时，P+PD 取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答：P+ BP 的最小值为 ． (2)自主探索：如图3，矩形BD 中，B＝6，B＝8，P 为矩形内部一点，且PB＝4，则 P+P 的最小值为 ．(请在图3 中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形D 中，为圆心，∠D＝120°，＝4．＝2，B＝3，点P 是 上一点，求2P+PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程． 【答】（1）BP，PD，BP， ；（2）2 ；（3）作图与求解过程见解析，2P+PB 的最小值为 ． 【分析】(1)连结D，过点作F⊥B 于点F，P+ BP＝P+PD，要使P+ BP 最小，P+D 最小，当点，P，D 在 同一条直线时，P+D 最小，即可求解； (2)在B 上截取BF＝2，连接PF，P，B＝8，PB＝4，BF＝2，证明△BP∽△PBF，当点F，点P，点三点共 线时，P+P 的值最小，即可求解； (3)延长，使F＝4，连接BF，P，PF，过点F 作FB⊥D 于点M，确定 ，且∠P＝∠P， △P∽△PF，当点F，点P，点B 三点共线时，2P+PB 的值最小，即可求解． 【详解】解：(1)如图1，连结D，过点作F⊥B 于点F， ∵P+ BP＝P+PD，要使P+ BP 最小， ∴P+D 最小，当点，P，D 在同一条直线时，P+D 最小，即：P+ BP 最小值为D， ∵＝9，F⊥B，∠B＝60°∴F＝3，F＝ ； ∴DF＝F﹣D＝3 1 ﹣＝2，∴D＝ ， ∴P+ BP 的最小值为 ；故答为： ； (2)如图2，在B 上截取BF＝2，连接PF，P，∵B＝8，PB＝4，BF＝2， ∴ ，且∠BP＝∠BP，∴△BP∽△PBF， ∴ ，∴PF＝ P，∴ P+P＝PF+P， ∴当点F，点P，点三点共线时，P+P 的值最小， ∴F＝ ，∴ P+P 的值最小值为2 ，故答为：2 ； (3)如图3，延长，使F＝4，连接BF，P，PF，过点F 作FB⊥D 于点M， ∵＝4，F＝4，∴F＝8，且P＝4，＝2， ∴ ，且∠P＝∠P∴△P∽△PF ∴ ，∴PF＝2P 2 ∴P+PB＝PF+PB， ∴当点F，点P，点B 三点共线时，2P+PB 的值最小， ∵∠D＝120°，∴∠FM＝60°，且F＝8，FM⊥M ∴M＝4，FM＝4 ，∴MB＝M+B＝4+3＝7 ∴FB＝ ，∴2P+PB 的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料 中的思路构造出相似三角形 例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 的最小值， 的最小值， 的最大值． （2）如图2，已知正方形 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求 的 最小值， 的最大值， 的最小值． （3）如图3，已知菱形 的边长为4， ，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 的最小值和 的最大值． 的最小值 【答】见详解 【分析】（1）如图1 中，在B 上取一点G，使得BG=1．由△PBG BP ∽△ ，推出 ，推出PG= P，推出PD+ P=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+ P 的值最小，最小值为DG= =5．由PD- P=PD-PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD- P 的值最大（如图2 中），最大值为DG=5； 可以把 转化为4（ ），这样只需求出 的最小值，问题即可解决。 （2）如图3 中，在B 上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）； （3）如图4 中，在B 上取一点G，使得BG=4，作DF B ⊥于F．解法类似（1）； 【详解】（1）如图1 中，在B 上取一点G，使得BG=1． PBG BP ∴△ ∽△ ， DP+PG≥DG ∵ ，∴当D、G、P 共线时， 的值最小，最小值为DG= =5． 当点P 在DG 的延长线上时， 的值最大（如图2 中），最大值为DG=5． 如图，连接BD，在BD 上取一点F，使得BF= ，作EF B ⊥ ∵ PBF PBD ∴△ ∽△ ，∴PF= PD， ∴当、F、P 三点共线时会有FP+P 的最小值即 PD+P， 由图可知，△BEF 为等腰直角三角形，∴BF= ，BE=EF= ， ∴最小值为F= = = ∴ 的最小值为： ． （2）如图3 中，在B 上取一点G，使得BG=4． PBG BP ∴△ ∽△ ， DP+PG≥DG ∵ ，∴当D、G、P 共线时， 的值最小，最小值为DG= = ． 当点P 在DG 的延长线上时， 的值最大，最大值为DG= ． （3）如图4 中，在B 上取一点G，使得BG=1，作DF B ⊥于F． PBG BP ∴△ ∽△ ， DP+PG≥DG ∵ ，∴当D、G、P 共线时， 的值最小，最小值为DG． 在Rt DF △ 中，∠DF=60°，D=4，∴DF=D•s60°= ，F=2， 在Rt GDF △ 中，DG= = P=PD-PG≤DG， 当点P 在DG 的延长线上时， 的值最大（如图2 中），最大值为DG= 【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短 等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之 间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 , B ，所有满足  k ( k 为定值) 的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△B 中，B  4 ， B 2 ，则△B 面积的最大值为_____． 【答】 【分析】以为顶点，为边，在△B 外部作∠P= B ∠，P 与B 的延长线交于点P，证出△P BP ∽△ ，列出比例式可 得BP=2P，P= P，从而求出P、BP 和P，即可求出点的运动轨迹，最后找出距离B 最远的点的位置即可求 出结论． 【详解】解：以为顶点，为边，在△B 外部作∠P= B ∠，P 与B 的延长线交于点P， P= BP ∵∠ ∠ ， B 2 P BP ∴△∽△ ， ∴ BP=2P ∴ ，P= P BP ∵ －P=B=4 2P ∴ － P=4 解得：P= BP= ∴ ，P= ，即点P 为定点 ∴点的轨迹为以点P 为圆心， 为半径的圆上，如下图所示，过点P 作B 的垂线，交圆P 于点1，此时1到 B 的距离最大，即△B 的面积最大 S△1B= B·1P= ×4× = 即△B 面积的最大值为 故答为： ． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形 的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键． 例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 【答】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为 (2)存在，点M 的坐标为 或 或 (3) 【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解 方程组 ，即可得到点M 的坐标；②当 时，求出直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M 的坐标；（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点、P、F 三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，∴ ， 将 代入直线 ，得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ； 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）存在点 ，∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ． ∴当 时， ，∴ ， ①当 时，设直线 的解析式为 ，将点坐标代入， 得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ，得 或 ，∴点M 的坐标为 ； ②当 时，设直线 的解析式为 ，将 代入， 得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ，解得 或 ，∴点M 的坐标为 或 综上，点M 的坐标为 或 或 ； （3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ，∴ ，∵ ，、∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴当点、P、F 三点共线时， 的值最小，即为线段 的长， ∵ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 课后专项训练 1．（2023 春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝7，＝9，以为圆心、3 为半径作⊙， P 为⊙上一动点，连接P、BP，则 P＋BP 的最小值为（ ） ．7 B．5 ． D． 【答】B 【详解】思路引领：如图，在上截取M，使得M＝1，连接PM，P，BM．利用相似三角形的性质证明MP P，可得 P+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM 即可解决问题． 答详解：如图，在上截取M，使得M＝1，连接PM，P，BM． ∵P＝3，M＝1，＝9，∴P2＝M•，∴ ， ∵∠PM＝∠P，∴△PM∽△P，∴ ，∴PM P，∴ P+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM，在Rt△BM 中，∵∠BM＝90°，M＝1，B＝7， ∴BM 5 ，∴ P+BP≥5 ，∴ P+BP 的最小值为5 ．故选：B． 2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形BD 的边长B=8，E 为平面内一动点，且E=4，F 为D 上 一点，F=2，连接EF，ED，则EF ED 的最小值为( ) ．6 B．4 ．4 D．6 【答】 【分析】如图（见解析），在D 边上取点，使得 ，连接E、F，先根据正方形的性质得出 ， ，再根据相似三角形的判定与性质得出 ，从而可得 ， 然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得 取得最小值时，点E 的位置，最后利 用勾股定理求解即可得． 【详解】如图，在D 边上取点，使得 ，连接E、F 四边形BD 是正方形 ， ， ，即 又 ，即 由三角形的三边关系定理得： 由题意得：点E 的轨迹是在以点为圆心，E 长为半径的圆上 由两点之间线段最短可知，当点E 位于F 与圆的交点 时， 取得最小值，最小值为 ， 在 中，由勾股定理得 即 的最小值为 故选：． 【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系 定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个 动点，则PD﹣ P 的最大值为_____． 【答】5 【详解】分析: 由PD− P＝PD−PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD− P 的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在B 上取一点G，使得BG＝1，如图， ∵ ， ，∴ ， PBG ∵∠ ＝∠PB，∴△PBG BP ∽△ ，∴ ，∴PG＝ P， 当点P 在DG 的延长线上时，PD− P 的值最大，最大值为DG＝ ＝5．故答为5 点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似 三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于 中考压轴题． 4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示， ，半径为2 的圆 内切于 ． 为圆 上 一动点，过点 作 、 分别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围为 ． 【答】 【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作 于 ，作 于 ，如 图所示，通过代换，将 转化为 ，得到当 与 相切时， 取 得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范 围． 【详解】解：作 于 ，作 于 ，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 当 与 相切时， 取得最大和最小， ①连接 ， ， ，如图1 所示： 可得：四边形 是正方形， ， 在 中， ， ， 在 中， ， ，即 ； ②连接 ， ， ，如图2 所示： 可得：四边形 是正方形， ， 由上同理可知：在