专题28 最值模型之阿氏圆模型（原卷版）

专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点、B，则所有满足 P=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r，则可说明△BP 与△P 相似，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值， 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆半径为2， P 为圆上一动点，连接 最小值__________． 最小值__________． 例2．（2023 春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为 上 的动点，则 的最大值是 ． 例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形 的边长为2，锐角大小为 ， 与 相切于点 E，在 上任取一点P，则 的最小值为___________． 例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6 的正方形 中，M 为 上一点，且 ，为边 上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P 与点B 对应，连接 ，则 的最小值为 ． 例5．（2023·浙江·一模）问题提出： 如图1，在等边△B 中，B＝9，⊙半径为3，P 为圆上一动点，连结P，BP，求P+ BP 的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将 BP 转化为某 一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结P，在B 上取点D，使D＝1，则有 又∵∠PD＝∠ △ ∽△ ∴ ∴PD＝ BP ∴P+ BP＝P+PD ∴当，P，D 三点共线时，P+PD 取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答：P+ BP 的最小值为 ． (2)自主探索：如图3，矩形BD 中，B＝6，B＝8，P 为矩形内部一点，且PB＝4，则 P+P 的最小值为 ．(请在图3 中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形D 中，为圆心，∠D＝120°，＝4．＝2，B＝3，点P 是 上一点，求2P+PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程． 例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 的最小值， 的最小值， 的最大值． （2）如图2，已知正方形 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求 的 最小值， 的最大值， 的最小值． （3）如图3，已知菱形 的边长为4， ，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 的最小值和 的最大值． 的最小值 例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 , B ，所有满足  k ( k 为定值) 的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△B 中，B  4 ， B 2 ，则△B 面积的最大值为_____． 例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 课后专项训练 1．（2023 春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝7，＝9，以为圆心、3 为半径作⊙， P 为⊙上一动点，连接P、BP，则 P＋BP 的最小值为（ ） ．7 B．5 ． D． 2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形BD 的边长B=8，E 为平面内一动点，且E=4，F 为D 上 一点，F=2，连接EF，ED，则EF ED 的最小值为( ) ．6 B．4 ．4 D．6 3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个 动点，则PD﹣ P 的最大值为_____． 4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示， ，半径为2 的圆 内切于 ． 为圆 上 一动点，过点 作 、 分别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围为 ． 5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则 P＋ PB 的最小值为 ． 6．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知 ，若点 、 在射线 上，且满足 ， ， 是射线 上的动点，同时在 右侧作 ，且满足 ，则 的面积为 ．若点 运动轨迹与射线 交于点 ，当 的最小值时，此时 的值 为 ． 7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，(2，0)、B(0，2)、(4，0)、D(3，2)，P 是 B 外 部的第一象限内一动点，且∠BP＝135°，则2PD+P 的最小值是_____． 8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在 中，点、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ． 9．（2023 秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4 的正方形BD 内有一动点P，且BP＝ ．连 接P，将线段P 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ．连接Q、DQ，则 DQ+Q 的最小值为 ． 10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt 中，B＝＝4，点E，F 分别是B，的中点，点P 是扇形EF 的 上任意一点，连接BP，P，则 BP+P 的最小值是 ． 11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形BD 的边长为4，点E 为边D 上一个动点，点F 在边 D 上，且线段EF＝4，点G 为线段EF 的中点，连接BG、G，则BG+ G 的最小值为 _____． 12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在 中，B=9，B=8，∠B=60°，⊙的半径为6，P 是 上一动 点，连接PB，P，则 的最小值_____________ 的最小值_______ 13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形 的边长为4， ， 的半径为2，P 为 上一动点，则 的最小值 ． 的最小值 14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知： （1）初步思考：如图1， 在 中，已知 ，B=4，为B 上一点且 ，试说明： （2）问题提出：如图2，已知正方形BD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形BD 的边长为4，∠B 60° ﹦ ，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 的最大值． 图1 图2 图3 15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、 ，若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点． (1)如图2，在 的格中，每个小正方形的边长均为1，点，B、、D、E 均在小正方形的格点上，则点 是 关于点______的勾股点；若点 在格点上，且点 是 关于点 的勾股点，请在方格纸中画 出 ；(2)如图3，菱形 中， 与 交于点 ，点 是平面内一点，且点 是 关于点 的勾股点．①求证： ；②若 ， ，则 的最大值为______（直接写出结果）； ③若 ， ，且 是以 为底的等腰三角形，求 的长． (3)如图4，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点， 那么 的最小值为______（直接写出结果）． 16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知 是等边三角形， ，点D 为 的中点，点E，F 分别为边 ， 上的动点（点E 不与B，重合），且 ． (1)求 的取值范围；(2)若 ，求 的长；(3)求 的最小值． 17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形 中， ，分别以 所在的直线为 轴、 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接 ,反比例函数 的图象经过 线段 的中点 ，并与矩形的两边交于点 和点 ，直线 经过点 和点 （1）连接 、 ，求 的面积；（2）如图2，将线段 绕点 顺时针旋转—定角度，使得点 的对应点 好落 在 轴的正半轴上，连接 ，作 ，点 为线段 上的一个动点，求 的最小值 17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点、B，则所 有满足 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称 “阿氏圆”． 【模型建立】如图1 所示，圆的半径为r，点、B 都在圆外，P 为圆上一动点，已知 ，连接P、 PB，则当“ ”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 第1 步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心相连，即连接B、P； 第2 步：在B 上取点，使得 ，即 ，构造母子型相似 ∽ （图2）； 第3 步：连接，与圆的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图， 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点， 半径为3，点 ，点 ，点P 在弧M 上移动，连接P，PB．(1) 的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P 的坐标． 18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料： 如图①，给定一个以点为圆心，r 为半径的圆，设点是不同于点的任意一点，则点的反演点定义为射线 上一点 ，满足 ． 显然点也是点 的反演点．即点与点 互为反演点，点为反演中心，r 称为反演半径．这种从点到点 的 变换或从点 到点的变换称为反演变换． 例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 ，以点为圆心， 为半径的圆，交y 轴的正半轴于点B； 为线段 的中点，P 是 上任意一点，点D 的坐标为 ；若关于 的反演点分别为 ． （1）求点 的坐标；（2）连接 、 ，求 的最小值． 解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， ． ∴ ，故点 的坐标为 ； （2）如图③，连接 、 ，由反演变换知 ， 即 ，而 ，∴ ． ∴ ，即 ． ∴ ．故 的最小值为13 请根据上面的阅读材料，解决下列问题： 如图④，在平面直角坐标系中，点 ，以点为圆心， 为半径画圆，交y 轴的正半轴于点B，为线段 的中点，P 是 上任意一点，点D 的坐标为 ． （1）点D 关于 的反演点 的坐标为________；（2）连接 、 ，求 的最小值； （3）如图⑤，以 为直径作 ，那么 上所有的点（点除外）关于 的反演点组成的图形具有的 特征是__________________．