42 图形的翻折 例 2023 年宜昌市中考第12 题 如图1，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边D 上的点′处，并得到折痕 DE，小宇测得长边D＝8，则四边形′EB 的周长为__________． 图1 例 2023 年本溪市铁岭市辽阳市中考第17 题 如图1，在三角形纸片B 中，B＝，∠B＝20°，点D 是边B 上的动点，将三角形纸片沿 D 对折，使点B 落在点B′处，当B′D⊥B 落在点B′处，当B′D⊥B 时，∠BD 的度数为________． 图1 例5 2023 年吉林省中考第14 题 如图1，在Rt△B 中，∠＝90°，B＜．点D、E 分别在边B、B 上．连结DE，将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B′，若点B′刚好落在边上，∠B′E＝30°，E＝3，则B 的长为 __________． 图1 例 2023 年通辽市中考第16 题 如图1，等边三角形B 需移动__________s． 图1 例 2023 年徐州市中考第18 题 如图1，在Rt△B 中，∠＝90°，＝B＝3，点D 在边B 上．将△D 沿D 折叠，使点落在 点′处，连结B′，则B′的最小值为__________． 图1 例 2023 年陕西省中考第13 题 如图1，在矩形BD 中，B＝3，B＝4，点E 在边D 上，且ED＝3，M、分别是边B、B 上的动点，且BM＝B，P 是线段E

二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题 思路指导： ·直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；两锐角互余 ·等边三角形存在性问题：作出图形，利用60°、30°等特殊角在直角三角形中利 用三角函数知识求解三角形各边的长度； ·平行四边形存在性问题：表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相 等，纵坐标和相等列出方程，进而解答 题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题 1 （2019·成都中考）如图，抛物线 （2019·成都中考）如图，抛物线 经过点(－2,5)，与x 轴交于点B(－1,0)，(3,0) （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BD 沿直线BD 翻折得到△B’D 若点’恰好落 在抛物线的对称轴上，求点’和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△PQ 为等边三角形时， 求直线BP 的解析式 【解析】解：（1）由题意知， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的函数表达式为： ； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=1， 由翻折知：B=B’=4， 设抛物线对称轴与x 轴交点为M， 则BM=M=2， ∠ ∴ B’M=30°， ∠ ∴ DM=30°，’M=2 ， 即’(1, 2 )， 在Rt△DM 中，DM=M·t30°= ， ∴点D 的坐标为（1， ）； （3）方法一： 根据点P 的位置分类讨论：

重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、 对称、旋转、折叠问题 目 录 题型01 二次函数平移问题 题型02 二次函数翻折问题 题型03 二次函数对称问题 题型04 二次函数旋转问题 题型05 二次函数折叠问题 题型01 二次函数平移问题 1 二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ 如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值 只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值 只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值 1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a x 2−2ax−3 (a≠0)与x轴交于 点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标； 点重合，从而得到△A ' H ' L '（点，，L 分别对应点A '，H '，L '），再将△A ' H ' L '绕点H '逆时针旋转 α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A ' L '所在直线交直线DE于Q，交y 轴于点R，求当△PQR为等腰三角 形时，直接写出PR的长． 【答】(1)4+ 2❑ √397 5 (2)17 ❑ √3 3 −3或8 ❑ √3

重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、 对称、旋转、折叠问题 目 录 题型01 二次函数平移问题 题型02 二次函数翻折问题 题型03 二次函数对称问题 题型04 二次函数旋转问题 题型05 二次函数折叠问题 题型01 二次函数平移问题 1 二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ 如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值 只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值 只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值 1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a x 2−2ax−3 (a≠0)与x轴交于 点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标； '，L '），再将△A ' H ' L '绕点H '逆时针旋转 α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A ' L '所在直线交直线DE于Q，交y 轴于点R，求当△PQR为等腰三角 形时，直接写出PR的长． 3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 2 x 2+bx+c与x 轴交于 A(−2,0),B(4,0)两点（点在点B 的左侧），与y

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+ =180° ∠ ∠ ∠ ∠ ，又∵在△BD 中， ∠1+ 2+ ∠ ∠DB=180°，∴∠DB= 3+ 4+ ∠ ∠ ∠， 即∠DB=∠D+∠BD+∠． 方法二：如图 3，连接 D 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ ，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，E 与 BF 交于 G， 若∠DB=150°，∠GB=110°， 请你直接写出∠ 的大小． 【答】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 结论：F＝F 【证明】由折叠可知D＝ ＝4，∠D＝ ∵四边形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 1．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形 B 中，点 的坐标为（0，8)，点 D 的纵 坐标为 3，若将矩形沿直线 D 折叠，则顶点 恰好落在边 B 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( ) ．30 B．32 ．34 D．36 【答】 【分析】根据、D 的纵坐标即可求得D 的长，根据勾股定理即可求得BE 的长，然后在直角△E 中，利用勾 股定理即可得到方程求得的长，则根据 即可求解．

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+ =180° ∠ ∠ ∠ ∠ ，又∵在△BD 中， ∠1+ 2+ ∠ ∠DB=180°，∴∠DB= 3+ 4+ ∠ ∠ ∠， 即∠DB=∠D+∠BD+∠． 方法二：如图 3，连接 D 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ ，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，E 与 BF 交于 G， 若∠DB=150°，∠GB=110°， 请你直接写出∠ 的大小． 例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1

专题 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 结论：F＝F 【证明】由折叠可知D＝ ＝4，∠D＝ ∵四边形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 折叠得△FE，∴△FD △FE ≌ E ∴＝D，EF＝DF， E= ∴ －D＝－E，F=D－DF＝D－EF 1．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形 B 中，点 的坐标为（0，8)，点 D 的纵 坐标为 3，若将矩形沿直线 D 折叠，则顶点 恰好落在边 B 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( ) ．30 B．32 ．34 D．36 2

专题 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，