重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题（原卷版）

重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、 对称、旋转、折叠问题 目 录 题型01 二次函数平移问题 题型02 二次函数翻折问题 题型03 二次函数对称问题 题型04 二次函数旋转问题 题型05 二次函数折叠问题 题型01 二次函数平移问题 1 二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ y=(x-+) 2+k 左加 向右平移个单位 y=(x-)2+b(x-)+ y=(x--)2+k 右减 向上平移个单位 y=x2+bx++ y=(x-)2+k+ 上加 向下平移个单位 y=x2+bx+- y=(x-)2+k- 下减 2 平移与增加性变化 如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值 只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值 只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值 1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a x 2−2ax−3 (a≠0)与x轴交于 点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF ⊥直线AP，垂足为 点F，如果tan∠PEF=1 2 ，求平移后抛物线的表达式． 2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线y= ❑ √3 6 x 2+ 4 ❑ √3 3 x+2❑ √3与x 轴交于点，B（在B 左边）， 与y 轴交于点，连AC，点D 与点关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE∥AC交抛物线于点E，交y 轴 于点P． (1)点F 是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直 线DE上有一动点M，直线AC上有一动点，满足MN ⊥AC，连GM，NO，求GM +MN +NO的最小值； (2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH ⊥x轴于点交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点与 点重合，从而得到△A ' H ' L '（点，，L 分别对应点A '，H '，L '），再将△A ' H ' L '绕点H '逆时针旋转 α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A ' L '所在直线交直线DE于Q，交y 轴于点R，求当△PQR为等腰三角 形时，直接写出PR的长． 3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 2 x 2+bx+c与x 轴交于 A(−2,0),B(4,0)两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，连接AC 、BC，点P 为直线BC上方抛物线 上一动点，连接OP交BC于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ 的最大值； (3)把抛物线y=−1 2 x 2+bx+c沿射线AC方向平移❑ √5个单位得新抛物线y '，M 是新抛物线上一点，是新抛 物线对称轴上一点，当以M、、B、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标，并把求其中一 个点坐标的过程写出来． 4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合： (1)平面直角坐标系中，抛物线C1 ：y1=x 2+bx+c的对称轴为直线x=3，且经过点 (6,3)，求抛物线C1 的解 析式，并写出其顶点坐标； (2)将抛物线C1 在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C2 ：y2=x 2−2mx+m 2−1， ①如图1，设自变量x在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y2的最小值始终等于−1．此时，若y2的最大值比 最小值大1 2 m，求m的值； ②如图2，直线l：y=−1 2 x+n (n>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平 行线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C2与x轴交于E、F两点（点E在左边）．现将图中的 △CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8≤n≤12时，若要使点M始终能够落在线段EF （包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线C1在向抛物线C2平移时，沿x轴的方向上需要向左还是 向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？ 5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x 2−4 x+c的图象与 y 轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D 与原点重合，顶点，分别在x 轴，y 轴上， 顶点B 的坐标为(1,5)． (1)求的值及顶点M 的坐标， (2)如图2，将矩形ABCD沿x 轴正方向平移t 个单位(0<t<3)得到对应的矩形A ' B 'C ' D '．已知边C ' D '， A ' B '分别与函数y=x 2−4 x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P 作PG⊥A ' B '于点G． ①当t=2时，求QG的长； ②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不 存在，请说明理由． 6．（2023·江苏·统考中考真题）如图，二次函数y=1 2 x 2+bx−4的图像与x 轴相交于点A(−2,0)、B， 其顶点是． (1)b=¿_______； (2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接D，tan∠AOD=5 2 ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线 经过点D，过点(k ,0)作x 轴的垂线l．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P 落在原抛物线上，连接 P、Q、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P 的坐标． 7．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，过原点的抛物线y1=ax( x−2n)(a≠0,a,n为常数)与x轴交于 另一点A，B是线段OA的中点，B (−4,0)，点M (−3,3)在抛物线y1上． (1)点A的坐标为______； (2)C为x轴正半轴上一点，且CM=CB． ①求线段BC的长； ②线段CM与抛物线y1相交于另一点D，求点D的坐标； (3)将抛物线y1向右平移(4−t )个单位长度，再向下平移16 5 个单位长度得到抛物线y2，P，Q是抛物线y2 上两点，T是抛物线y2的顶点．对于每一个确定的t值，求证：矩形TPNQ的对角线PQ必过一定点R，并 求出此时线段TR的长． 题型02 二次函数翻折问题 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可 能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 8．（2023·广东潮州·一模）如图，直线y=−2 x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=−x 2+bx+c经 过A ，C两点，且A (−1，0)． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH ⊥BC于H，求PH +2 HB的最大值． (3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M '恰好落在抛 物线上，求M点坐标． 9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则 称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(−1,−1)是函数y=2 x+1的图象的“等值点”． (1)分别判断函数y=x+2，y=x 2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； 如果不存在，说明理由； (2)设函数y=3 x ( x>0)，y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC ⊥x轴，垂足为C． 当△ABC的面积为3时，求b的值； (3)若函数y=x 2−2 (x ≥m)的图象记为W 1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W 2，当W 1，W 2两部分组 成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 10．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，将二次函数y=x 2+2 x+1的图象沿x 轴翻折， 然后向右平移1 个单位长度，再向上平移4 个单位长度得到二次函数y=a x 2+bx+c的图象，函数 y=x 2+2 x+1的图象的顶点为，函数y=a x 2+bx+c的图象的顶点为B，和x 轴的交点为，D（点D 位于点 左侧）． (1)求函数y=a x 2+bx+c的解析式； (2)从，，D 三点中任取两点和点B 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； (3)点M 是线段BC上的动点，是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt △AMN，使△AMN 的面积为△ABC面积的1 3 ？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由． 11．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线y=a x 2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐 标原点，点A (3,−3)，点B在第一象限内，对称轴是直线x= 9 4 ，且△OAB的面积为18 (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点B的坐标； (3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应 点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合 条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023·辽宁鞍山·校考一模）抛物线与坐标轴交于A (−1,0)，B (4,0)，C (0,2) (1)求抛物线的解析式； (2)点D 是x 轴上的一点，过点D 作EF ∥AC，交抛物线于E、F，当EF=3 AC时，求出点D 的坐标； (3)点D 是x 轴上的一点，过点D 作DE∥AC，交线段BC于E，将△DEB沿DE翻折，得到△DE B '，若 △DE B '与△ABC重合部分的面积为S，点D 的横坐标为m，直接写出S 与m 的函数关系式并写出取值范 围． 题型03 二次函数对称问题 二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=(x-)²+k 绕顶点旋转180° y= -(x-)²+k 变号，、k 均不变 绕原点旋转180° y= -(x+)²-k 、、k 均变号 沿x 轴翻折 y= -(x-)²-k 、k 变号，不变 沿y 轴翻折 y= (x+)²+k 、不变，变号 13．（2023·湖南岳阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线C1 ：y=2 x 2−(m+1)x+m绕原点旋转 180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） ．m≥5 B．m≤5 ．m≥−5 D．m≤−5 14．（2023·广东河源·统考一模）抛物线y=2 x 2−4 x−5的图象先向左平移3 个单位，再向上平移4 个单 位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ． 15．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，抛物线y=x 2+bx+c与x 轴交于点A (1,0)，B (5,0)，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标； (2)如图，把原抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x 轴上方的部 分记作图形M，在图形M 中，回答： ①点，B 之间的函数图象所对应的函数解析式为_______； ②当3 2 ≤x≤4时，求y 的取值范围； ③当m≤x ≤m+2，且m> 3 2 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为15 4 ，直接写出m 的值． 16．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A(−4,0)， B(2,0)，与y 轴交于点C(0,−4)． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象． 当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB沿y 轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点 H，过点F作FG⊥CH于点G，若DF HG =2❑ √5．求点F的坐标． 17．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−a x 2+5ax+2 (a>0)交y 轴 于点，过点作x 轴的平行线交该抛物线于点D． (1)求点，D 的坐标； (2)当a=1 3 时，如图1，该抛物线与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上 一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x 轴于点M (4,0)，求点P 的坐标； (3)坐标平面内有两点E( 1 a ,a+1), F (5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH． ①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为5 2 时，求的值． 18．（2023·河南新乡·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a x 2−2ax+a−1经过原点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)将该抛物线在y 轴右侧的部分记作，将绕原点顺时针旋转180°得到W '，与W '组成一个新的函数图像， 记作G． ①点M，为图像G 上两点（点M 在点的左侧），且到y 轴的距离分别为2 个单位长度和3 个单位长度，点 Q 为图像G 上点M，之间（含点M，）的一个动点，求点Q 的纵坐标yQ的取值范围； ②若点(m, y1)，(m+1, y2)在图像G 上，且y1< y2，请直接写出m 的取值范围． 19．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数y=−x 2+2mx−m 2+9的图象与x轴交于 A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求A、B两点的坐标（用含m的式子表示）； (2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当 −3≤x ≤−1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围； (3)已知直线l：y=1，点C在二次函数y=−x 2+2mx−m 2+9的图象上，点C的横坐标为2m，二次函数 y=−x 2+2mx−m 2+9的图象在C、B之间的部分记为M（包括点C，B），图象M上恰有一个点到直线l 的距离为2，直接写出m的取值范围． 20．（2023·河北·统考二模）如图，函数y1=−a (x+1) 2+3 (x ≤0)的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函 数y2的图象，把函数y1与y2的图象合并后称为函数L的图象 (1)a的值为__________；函数y2的解析式为_______________（注明x的取值范围）； (2)对于函数L，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________； (3)当直线y=x+b与函数L的图象有3个公共点时，求b的值 21．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知抛物线y=a x 2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于 A (1，0)、B (3，0)两点，交y轴于C (0，3)，将该抛物线位于直线y=m（m为常数，m≥0）下方的部 分沿直线y=m翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像W ”． (1)求该抛物线的解析式； (2)若m=0时，直线y=x+n与图像W 有三个交点，求n的值； (3)若直线y=x与图像W 有四个交点，直接写出m的取值范围． 题型04 二次函数旋转问题 22．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知抛物线y=a x 2+bx−3与x轴交于A (−3,0)，B (1,0)两点， 与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)求△PBC周长的最小值； (3)将线段PC绕点P旋转90°，得到线段PQ，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，求点Q的坐标． 23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=1 3 x 2+bx+c的图象经过 点A (0,2)，与x轴的交点为点B (❑ √3,0)和点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=❑ √3OE．以线段OD，OE为邻边作矩 形ODFE，连接GD，设OE=a． ①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值； ②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将 △GFH绕点F按顺时针方向旋转α(0°<α ≤180°)后得到△G ' F H '，点G，H的对应点分别为G '、H '， 连接DE．当△G ' F H '的边与线段DE垂直时，请直接写出点H '的横坐标． 24．（2023·河南周口·校联考二模）如图1，抛物线y1=a x 2+bx+c分别交x轴于A (−1,0)，B (3,0)两点， 且与y轴交于点C (0,−3)． (1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标． (2)如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180°． ①求旋转后的抛物线的表达式． ②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的 面积． 25．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们 一起研究某条抛物线y=a x 2 (a<0)的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原 点，两直角边与该抛物线交于、B 两点，请解答以下问题： (1)如图1，若测得OA=OB=2❑ √2，求的值； (2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2 所示位置时，过B 作BF ⊥x轴于点F，测得OF=1， 求此时点、B 的坐标； (3)对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、B 的连线段总经过一个固定的点， 试说明理由并求出该点的坐标． 题型05 二次函数折叠问题 26．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线y= 3 4 x−9与x轴、y轴分别 交于B，C两点，抛物线y= 1 4 x 2+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求B，C两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标； (2)如图1，点D在线段OB上运