重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题（解析版）

重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、 对称、旋转、折叠问题 目 录 题型01 二次函数平移问题 题型02 二次函数翻折问题 题型03 二次函数对称问题 题型04 二次函数旋转问题 题型05 二次函数折叠问题 题型01 二次函数平移问题 1 二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ y=(x-+) 2+k 左加 向右平移个单位 y=(x-)2+b(x-)+ y=(x--)2+k 右减 向上平移个单位 y=x2+bx++ y=(x-)2+k+ 上加 向下平移个单位 y=x2+bx+- y=(x-)2+k- 下减 2 平移与增加性变化 如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值 只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值 只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值 1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a x 2−2ax−3 (a≠0)与x轴交于 点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF ⊥直线AP，垂足为 点F，如果tan∠PEF=1 2，求平移后抛物线的表达式． 【答】(1)y = x 2−2 x−3 (2)P( 5 3 ,−4 3) (3)y=(x+ 17 9 ) 2 −4 【分析】（1）设点A的横坐标为x A，点B的横坐标为xB，根据对称轴，AB=4，列式 x A+xB 2 =1, xB−x A=4，利用根与系数关系计算确定a值即可． （2） 过点C作AC ⊥MN于点C，交AC右侧的AP的延长线于点M，交AC左侧的AP的延长线于点N， 利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可． （3）设抛物线向左平移了t个单位，则点E (1−t ,−4 )，过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点 H，交过点E和y轴的平行线于点G， 证明Rt △FGE∽Rt △PHF，根据相似三角形的性质得出 ¿ HF =GF HP = EF FP = 1 tan∠PEF =2即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y=a x 2−2ax−3 (a≠0)与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4， ∴x A+xB 2 =1, xB−x A=4， 解得xB=3, x A=−1， ∴−3 a =3× (−1)， 解得a=1， 故抛物线的解析式为y = x 2−2 x−3． （2）过点C作AC ⊥MN于点C，交AC右侧的AP的延长线于点M， ∵∠PAC=45°， ∴AC=CM， 过点M作MT ⊥y轴于点T， ∴∠ACO=90°−∠ECM=∠CMT ∵¿， ∴△AOC ≌△CTM (AAS)， ∴AO=CT ,OC=EM， ∵抛物线的解析式为y = x 2−2 x−3，xB=3, x A=−1， ∴AO=CT=1,OC=TM=3，A (−1,0),C (0,−3),B (3,0)， ∴OE=2,TM=3 ∴M (3,−2)， 设AM的解析式为y=kx+b，BC的解析式为y=px+q ∴¿， 解得¿ ∴AM的解析式为y=−1 2 x−1 2，BC的解析式为y=x−3， ∴¿， 解得¿， 故P( 5 3 ,−4 3)； （3）∵y=x 2−2 x−3=(x−1) 2−4，点D (1,−4 ), 设抛物线向左平移了t个单位，则点E (1−t ,−4 )， 过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G， 由（2）知，直线AP的表达式为：y=−1 2 x−1 2，P( 5 3 ,−4 3) 设F(m,−1 2 m−1 2) ∵∠EFP=90°， ∴∠GFE+∠HFP=90°， ∵∠GFE+∠GEF=90°， ∴∠GEF=∠HFP， ∴Rt △FGE Rt ∽ △PHF， ∴¿ HF =GF HP = EF FP = 1 tan∠PEF =2， ∵¿= yF−y E=−1 2 m−1 2 +4，HF=xP−xF=5 3−m，GF=xF−xG=m−(1−t )， HP= yF−yP=−1 2 m−1 2 + 4 3 ， ∴ −1 2 m−1 2 +4 5 3−m = m−(1−t ) −1 2 m−1 2 + 4 3 =2， 解得：t=26 9 ， ∴y=(x−1+ 26 9 ) 2 −4=(x+ 17 9 ) 2 −4． 【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助 线是解题的关键． 2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线y= ❑ √3 6 x 2+ 4 ❑ √3 3 x+2❑ √3与x 轴交于点，B（在B 左边）， 与y 轴交于点，连AC，点D 与点关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE∥AC交抛物线于点E，交y 轴 于点P． (1)点F 是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直 线DE上有一动点M，直线AC上有一动点，满足MN ⊥AC，连GM，NO，求GM +MN +NO的最小值； (2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH ⊥x轴于点交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点与 点重合，从而得到△A ' H ' L '（点，，L 分别对应点A '，H '，L '），再将△A ' H ' L '绕点H '逆时针旋转 α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A ' L '所在直线交直线DE于Q，交y 轴于点R，求当△PQR为等腰三角 形时，直接写出PR的长． 【答】(1)4+ 2❑ √397 5 (2)17 ❑ √3 3 −3或8 ❑ √3 3 【分析】（1）作FH ∥y轴交DE于．设F(m, ❑ √3 6 m 2+ 4 ❑ √3 3 m+2❑ √3)，求出直线DE的解析式，联立方 程得到x=−3时，FH的值最大，求出答；作点G 关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接¿交AC于， 作NM ⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM +MN +NO的值最小，求出答即可； （2）当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，易知直线RQ与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y=❑ √3 x+3−❑ √3，进而求出答，当△QPR是等腰三角形，同理求出答． 【详解】（1）如图1 中，作FH ∥y轴交DE于．设F(m, ❑ √3 6 m 2+ 4 ❑ √3 3 m+2❑ √3)． 由题意可知A(−6,0)，B(−2,0)，C(0,2❑ √3)， ∵抛物线的对称轴x=−4，，D 关于直线x=−4对称， ∴D(−8,2❑ √3)， ∴直线AC的解析式为y= ❑ √3 3 x+2❑ √3， ∵DE∥AC， ∴直线DE的解析式为y= ❑ √3 3 x+ 14 ❑ √3 3 ， 由¿，解得¿或¿， ∴E(2, 16 ❑ √3 3 )，H (m, ❑ √3 3 m+ 14 ❑ √3 3 )， ∵S△≝¿=S△DEG+S△EFG¿，△DEG的面积为定值， ∴ △DEG的面积最大时，△EFG的面积最大， ∵FH的值最大时，△≝¿的面积最大， ∵FH的值最大时，△EFG的面积最大， ∵FH=−❑ √3 6 m 2−❑ √3m+ 8 ❑ √3 3 ， ∵a<0．开口向下， ∴x=−3时，FH的值最大，此时F(−3,− ❑ √3 2 )． 如图2 中，作点G 关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接¿交AC于，作NM ⊥DE于M，连接TM， GM，此时GM +MN +NO的值最小． ∵直线DF的解析式为：y=−❑ √3 2 x−2❑ √3， 由¿， 解得¿， ∴G(−24 5 , 2❑ √3 2 )， ∵TG⊥AC， ∴直线GR的解析式为y=−❑ √3 x−22❑ √3 5 ， 由¿，解得¿， ∴R(−34 5 , 12❑ √3 5 )， ∴RG=4 ,∨¿ 2❑ √397 5 ， ∵GM=TM=RN， ∴GM +MN +ON=RN +ON +RG=RG+ON=4+ 2❑ √397 5 ． ∴ GM +MN +NO的最小值为4+ 2❑ √397 5 ． （2）如图3 中，如图当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，PQ=PR 易知直线RQ与x 轴的夹角为60°，L '(3− ❑ √3 2 ,2❑ √3+ 3 2 )， 直线RQ的解析式为y=❑ √3 x+3−❑ √3， ∴R(0,3−❑ √3)， ∴PR=14 ❑ √3 3 −(3−❑ √3)=17 ❑ √3 3 −3． 如图4 中，当△QPR是等腰三角形， ∵∠QPR=60°， ∴ △QPR是等边三角形， 同法可得R(0,2❑ √3)， ∴PR=OP−OC=14 ❑ √3 3 −2❑ √3=8 ❑ √3 3 综上所述，满足条件的PR 的值为17 ❑ √3 3 −3或8 ❑ √3 3 ． 【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二 次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题． 3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 2 x 2+bx+c与x 轴交于 A(−2,0),B(4,0)两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，连接AC 、BC，点P 为直线BC上方抛物线 上一动点，连接OP交BC于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ 的最大值； (3)把抛物线y=−1 2 x 2+bx+c沿射线AC方向平移❑ √5个单位得新抛物线y '，M 是新抛物线上一点，是新抛 物线对称轴上一点，当以M、、B、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标，并把求其中一 个点坐标的过程写出来． 【答】(1)抛物线的函数表达式为y=−1 2 x 2+x+4 (2)当m=2时，PQ OQ 取得最大值1 2，此时，P(2,4) (3)点的坐标为N 1(2, 5 2), N 2 (2,−11 2 ), N 3(2,−5 2).其中一个点坐标的解答过程见解析 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答； （2）运用待定系数法求得直线BC的解析式为y ¿−x+4，如图1，过点P作PD∥y轴交BC于点D，设 P(m,−1 2 m 2+m+4)，则D(m,−m+4)，证明△PDQ∽△OCQ，得出：PQ OQ = PD OC =¿ −1 2 m 2+2m 4 =−1 8 (m−2) 2+ 1 2 ，运用求二次函数最值方法即可得出答； （3）设M(t−1 2 t 2+2t+ 9 2), N (2,s)，分三种情况：当BC为▱BC N 1 M 1的边时；当BC为▱BC M 2 N 2 的边时；当BC为▱B M 3C N 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答． 【详解】（1）∵抛物线y=−1 2 x 2+bx+c与x轴交于A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B的左侧)， ∴¿ 解得：¿， ∴抛物线的函数表达式为y=−1 2 x 2+x+4； （2）∵抛物线y=−1 2 x 2+x+4与y轴交于点C， ∴C(0,4)， ∴OC=4， 设直线BC的解析式为y=kx+d，把B(4,0),C (0,4)代入， 得：¿ 解得：¿， ∴直线BC的解析式为y=−x+4， 如图1，过点P作PD∥y轴交BC于点D， 设P(m,−1 2 m 2+m+4)，则D(m,−m+4)， ∴PD=−1 2 m 2+2m， ∵PD∥OC， ∴△PDQ∽△OCQ， ∴PQ OQ = PD OC = −1 2 m 2+2m 4 =−1 8 (m−2) 2+ 1 2 , ∴当m=2时，PQ OQ 取得最大值1 2，此时，P(2,4)． （3）如图2，沿射线AC方向平移❑ √5个单位，即向右平移1 个单位，向上平移2 个单位， ∴新的物线解析式为y '=−1 2 ( x−2) 2+ 13 2 =−1 2 x 2 +2 x+ 9 2，对称轴为直线x=2， 设M(t ,−1 2 t 2+2t+ 9 2), N (2,s)， 当BC为▱BC N 1 M 1的边时， 则BC ∥MN ,BC=MN， ∴¿ 解得：¿， ∴N 1(2, 5 2); 当BC为▱BC M 2 N 2的边时， 则BC ∥MN ,BC=MN， ∴¿ 解得：¿， ∴N 2(2,−11 2 ); 当BC为▱B M 3C N 3的对角线时， 则¿， 解得：¿， ∴N 3(2,−5 2); 综上所述，N点的坐标为：N 1(2, 5 2), N 2 (2,−11 2 ), N 3(2,−5 2). 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边 形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思 想是解题关键． 4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合： (1)平面直角坐标系中，抛物线C1：y1=x 2+bx+c的对称轴为直线x=3，且经过点(6,3)，求抛物线C1的解 析式，并写出其顶点坐标； (2)将抛物线C1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C2：y2=x 2−2mx+m 2−1， ①如图1，设自变量x在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y2的最小值始终等于−1．此时，若y2的最大值比 最小值大1 2 m，求m的值； ②如图2，直线l：y=−1 2 x+n (n>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平 行线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C2与x轴交于E、F两点（点E在左边）．现将图中的 △CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8≤n≤12时，若要使点M始终能够落在线段EF （包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线C1在向抛物线C2平移时，沿x轴的方向上需要向左还是 向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？ 【答】(1)抛物线C1的解析式为y1=x 2−6 x+3，抛物线C1的顶点坐标为(3,−6) (2)①m的值为2或9−❑ √15 4 ；②抛物线C1在向抛物线C2平移时，沿x轴的方向上需要向右平移，最少平移2 个单位，最多平移7个单位 【分析】（1）根据对称轴为直线x=3，可得b=−6，再把把(6,3)代入，即可求解； （2）①根据配方可得当x=m时，函数有最小值−1，再由自变量x在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y2的 最小值始终等于−1，可得1≤m≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点，的坐标，可得点B 的坐 标，再根据图形折叠的性质可得CM=AM，在Rt △COM中，根据勾股定理可得CM= 5 4 n，从而得到点 M 的坐标，继而得到的取值范围，然后根据点M始终能够落在线段EF（包括两端点）上，可得m 取值范 围，即可求解． 【详解】（1）解：∵y1=x 2+bx+c的对称轴为直线x=3， ∴−b 2=3， 解得：b=−6， 把(6,3)代入y1=x 2−6 x+c，得3=6 2−6×6+c， 解得：c=3， ∴抛物线C1的解析式为y1=x 2−6 x+3， 当x=3时，y1=3 2−6×3+3=−6， ∴抛物线C1的顶点坐标为(3,−6)； （2）解：①∵y2=x 2−2mx+m 2−1=(x−m) 2−1， ∴抛物线C2的对称轴为直线x=m， 当x=m时，函数有最小值−1， ∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y2的最小值始终等于−1， ∴1≤m≤2， 当1≤m≤3 2时，x=2时y2有最大值为m 2−4 m+3， ∴m 2−4 m+3+1=1 2 m， 解得m=9± ❑ √15 4 ， ∴m=9−❑ √15 4 ； 当3 2 ≤m≤2时，x=1时y2有最大值为m 2−2m， ∴m 2−2m+1=1 2 m， 解得m=2或m=1 2 (舍)， 综上所述：m的值为2或9−❑ √15 4 ； ②直线l：y=−1 2 x+n与x轴的交点A (2n,0)，与y轴的交点C (0,n)， ∴B (2n,n)， ∵△CBA沿直线l折叠， ∴∠BCA=∠ACM， ∵∠BCA=∠CAM， ∴∠ACM=∠MAC， ∴CM=AM， 在Rt △COM中，C M 2=C O 2+O M 2，即C M 2=n 2+(2n−CM ) 2， 解得CM= 5 4 n， ∴OM= 3 4 n， ∴M( 3 4 n,0)， ∵8≤n≤12， ∴6≤3 4 n≤9， 当x 2−2mx+m 2−1=0时，解得：x=m+1或x=m−1， ∴E (m−1,0)，F (m+1,0)， ∵点M始终能够落在线段EF上， ∴m+1≥6，m−1≤9， ∴5≤m≤10， ∵y1=x 2−6 x+3=(x−3) 2−6，y2=(x−m) 2−1， 当m=5时，抛物线C1沿x轴向右平移2个单位，向上平移5个单位， 当m=10时，抛物线C1沿x轴向右平移7个单位，向上平移5个单位， ∴抛物线C1在向抛物线C2平移时，沿x轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对 称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x 2−4 x+c的图象与 y 轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D 与原点重合，顶点，分别在x 轴，y 轴上， 顶点B 的坐标为(1,5)． (1)求的值及顶点M 的坐标， (2)如图2，将矩形ABCD沿x 轴正方向平移t 个单位(0<t<3)得到对应的矩形A ' B 'C ' D '．已知边C ' D '， A ' B '分别与函数y=x 2−4 x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P 作PG⊥A ' B '于点G． ①当t=2时，求QG的长； ②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不 存在，请说明理由． 【答】(1)c=5，顶点M 的坐标是(2,1) (2) 1 ①；②存在，t=1 2或5