初中数学•图形变换模型之翻折(折叠)模型答案

专题 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ， ，则点 的坐标是 ． 【答】 【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而得出 ， 在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ∵折叠，∴ ，在 中， ∴ ，∴设 ，则 ， ∵折叠，∴ ，在 中， ， ∴ ，解得： ，∴ ，∴ 的坐标为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 例2．（2023 春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，E 是 的中点， 将 沿直线 翻折，点落B 在点F 处，连结 ，则 的长为（ ） ．6 B． ． D． 【答】B 【分析】连接 交 于点 ，根据三角形的面积公式求出 ，得到 ，根据直角三角形的判定得到 ，根据勾股定理求出答． 【详解】解：连接 交 于点 ， 将 沿直线 翻折，点落 在点 处， 点 、 关于 对称， ， ， ，点 为 的中点， ， 又 ， ， ，则 ， ， ， ．故选：B． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ， 交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 【答】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到 ，则 ，进而证 明 ，再由平行线的性质证明 即可证明 ； （2）如图，延长 交于点 ．证明 得到 ， ， 设 ，则 ， ．由 ，得到 ．则 ．由勾股定理建立方程 ，解方程即可得到 ． 【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得， ． ∴ ．∴ ，即 ， ∵四边形 是正方形，∴ ．∴ ．∴ ． （2）解：如图，延长 交于点 ．∵ ，∴ ． 又∵ ，正方形 边长为3，∴ ∴ ， ∴ ， ，设 ，则 ，∴ ． ∵ ，即 ，∴ ．∴ ． 在 中， ，∴ ．解得： （舍）， ．∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股 定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 例4．（2023 春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ．点为矩形 的 对称中心，点E 为边 上的动点，连接 并延长交 于点F．将四边形 沿着 翻折，得到四 边形 ，边 交边 于点G，连接 ，则 的面积的最小值为（ ） ．18－3 B． ． D． 【答】D 【分析】在 上截取 ，连接 ，证明 ，所以 ，即可得 最短时， 也就最短，而当 时， 最短，且 ，再过点 作 ，得 ，又因为 ，就可以根据勾股定理计算 、 的长，从而计算出最小面积． 【详解】解：在 上截取 ，连接 ， 由折叠得： ，又 ， ， ， 最短时， 也就最短，而当 时， 最短， 此时， 点 为矩形 的对称中心， ，即 的最小值是4， 在 中， 点 为矩形 的对称中心， 长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值， 度数也不变，是定值， 当 最小值时， 面积最小．过点 作 ， 点 为矩形 的对称中心， ， 中， ， 中， ， ， 面积的最小值是 ．故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到 最小 值． 例5．（2023 春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片 中， ， ，点E、G 分 别在 上，将 、 分别沿 翻折，翻折后点与点F 重合，点B 与点P 重合．当、 P、F、E 四点在同一直线上时，线段 长为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】据矩形的性质得到 ， ， ，据折叠的性质得到 ， ， ，根据勾股定理得到 ，设 ，由勾股定理列方程 得到 ，由折叠的性质得到 ， ， ，求得 ，设 ，则 ，据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：在矩形纸片 中， ， ，∴ ， ， ， 本号资料全部来源于*：数学第#六感 ∵将 沿 翻折，翻折后点与点F 重合， ∴ ， ， ，∴ ， 设 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，解得： ，∴ ， ∵将 沿 翻折，翻折后点B 与点P 重合， ∴ ， ， ，∴ ，设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴线段GP 长为 ，故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题关键． 例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在对角线 上，点 的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， 【活动猜想】（1）如图2，当点 与点 重合时，四边形 是哪种特殊的四边形？答：_________ 【问题解决】（2）如图3，当 ， ， 时，求证：点 ， ， 在同一条直线上 【深入探究】（3）如图4，当 与 满足什么关系时，始终有 与对角线 平行？请说明理由 （4）在（3）的情形下，设 与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段 ， ， 之间满足 的等量关系，并说明理由 【答】（1）菱形；（2）证明见解答；（3） ，证明见解析；（4） ，理由见 解析 【分析】（1）由折叠可得： ， ，再证得 ，可得 ，利用菱形 的判定定理即可得出答；（2）设 与 交于点 ，过点 作 于 ，利用勾股定理可得 ，再证明 ，可求得 ，进而可得 ，再由 ，可求 得 ， ， ，运用勾股定理可得 ，运用勾股定理逆定理可得 ，进而可得 ，即可证得结论； （3）设 ，则 ，利用折叠的性质和平行线性质可得： ， 再运用三角形内角和定理即可求得 ，利用解直角三角形即可求得答； （4）过点 作 于 ，设 交 于 ，设 ， ，利用解直角三角形可得 ， ，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点 与点 重合时，四边形 是菱形． 理由：设 与 交于点 ，如图， 由折叠得： ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 四边形 是菱形．故答为：菱形． （2）证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 ， ， 在同一条直线上． （3）当 时，始终有 与对角线 平行． 理由：如图，设 、 交于点 ， 四边形 是矩形， ， ， ， 设 ，则 ，由折叠得： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ； （4） ，理由如下：如图，过点 作 于 ，设 交 于 ， 由折叠得： ， ， ，设 ， ， 由（3）得： ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等 腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉 及知识点多，综合性强，难度较大． 模型2 正方形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形 的边长为4，点F 为 边的中点，点P 是 边上 不与端点重合的一动点，连接 ．将 沿 翻折，点的对应点为点E，则线段 长的最小值为 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先确定线段EF 的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可 求出答． 【详解】连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F 在同一条直线上时，EF 的长度有最小值，如图 由翻折的性质，BE=B=4，在正方形BD 中，B=D=4，∠=90°， ∵点F 为 边的中点，∴F=2，∴ ， ∴ ；故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识， 正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题． 例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形BD 的边B 上取一点E，连接E，将△BE 沿E 翻折， 点B 恰好与对角线上的点F 重合，连接DF，若BE＝2，则△DF 的面积是（ ） ．1 B．3 ．6 D． 【答】B 【分析】由折叠可得EF＝BE＝2，∠FE＝∠B＝90°，且∠FE＝45°可得F＝2，E＝2 ，即可求对角线BD 的长， 则可求△DF 面积 【详解】如图连接BD 交于， BD ∵ 为正方形，∴∠B＝90°，B＝B，⊥BD，D＝B，∠B＝45°， BE ∵△ 沿E 翻折，∴BE＝EF＝2，B＝F，∠EF＝90°， B ∵∠＝45°，∠EF＝90°，∴∠EF＝∠EF＝45°，∴F＝EF＝2，∴E＝2 ， B ∴＝2 +2＝B＝F，∴BD＝ B＝4+2 ，∴D＝2+ ，∵S△DF＝ ×F×D＝3 +4，故选B． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 熟练应用所学知识解决问题． 例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E 在边 上，且 ．将 沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ； ② ③ ；④G//F；其中正确的有 （填序号）． 【答】①②③④ 【分析】根据折叠，得到D=F，∠D=∠FE=90°，推出B=F，∠FG=∠B=90°，可证明Rt△BG Rt ≌ △FG，即可 判断①正确；根据 ，进而可得 ，根据三角形内角和定理即可得 ∠EF+∠DF＝135°，得到∠GB+∠ED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF＝x，则G＝6﹣x，EG＝x+2， E ＝4，在Rt△EG 中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得 ，即可判断③正 确；根据BG=FG=3，得到G=B-BG=6-3=3，得到G=FG，推出∠GF=∠GF，根据∠GB=∠GF，得到 ∠BGF=2∠GF=2∠GF，得到∠GF=∠GF，推出G∥F，即可判断④正确 【详解】∵四边形 是正方形，∴ ，B＝B＝D=D＝6， ∵ ，∴DE＝2，∴E＝4， ∵将△DE 沿E 对折至△FE， ∴∠FE＝∠DE＝90°，F＝D，EF＝DE＝2，∴∠FG＝∠BG＝90°，F＝B， 在Rt△BG 和Rt△FG 中， ，∴Rt△BG Rt ≌ △FG（L），∴①正确； ∵将△DE 沿E 对折至△FE，∴ ，∵Rt△BG Rt ≌ △FG，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴∠EF+∠DF＝135°，∴∠GB+∠ED＝135°，∴②正确； 设BG＝GF＝x，则G＝6﹣x， EG＝x+2， ∵E＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确； ∵BG=FG=3,∴G=B-BG=6-3=3，∴G=FG，∴∠GF=∠GF， ∵∠GB=∠GF，∴∠BGF=2∠GF=2∠GF，∴∠GF=∠GF，∴G∥F ④ ∴ 正确； 故答为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理， 勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F 分别在边 上，将正方形沿着 翻折，点B 恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积 比为3 5 ∶，那么线段 的长为 ． 【答】 【分析】连接 ，过点 作 于点 ，设 ，则 ，则 ，根据已知条件， 分别表示出 ，证明 ，得出 ，在 中， ，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ， ∵正方形 的边长为1，四边形 与四边形 的面积比为3 5 ∶， ∴ ，设 ，则 ，则 ∴ 即 ∴ ∴ ，∴ ， ∵折叠，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 又 , ∴ ，∴ 在 中， 即 解得： ，故答为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知 识是解题的关键． 例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩 形称为 阶奇妙矩形．（1）概念理解：当 时，这个矩形为1 阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学 习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ； 第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ； 第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ． 试说明：矩形 是1 阶奇妙矩形． （3）方法迁移：用正方形纸片 折叠出一个2 阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作 简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图 （4），点 为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、 第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析 【分析】（1）将 代入 ，即可求解．（2）设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 ，设 ，则 ，在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2 阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形 的周长与矩形 的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当 时， ，故答为： ． （2）如图（2），连接 ， 设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 设 ，则 根据折叠，可得 ， ， 在 中， ，∴ ， 在 中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形 是1 阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ； 第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ； 第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ． 矩形 是2 阶奇妙矩形， 理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ， 设 ，则 根据折叠，可得 ， ， 在 中， ，∴ ， 在 中， ∴ 解得： ∴ 当 时， ∴矩形 是2 阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ， 设 ，则 根据折叠，可得 ， ， 在 中， ，∴ ， 在 中， ∴ 整理得， ∴四边形 的边长为 矩形 的周长为 ，∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 模型3 菱形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在 对角线 上的点 处不与 、 重合，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】作 于 ，根据折叠的性质得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到 为等边三角形，得到 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：作 于 ，由折叠的性质可知， ，由题意得， ， 四边形 是菱形， ， ， 为等边三角形， ，设 ，则 ， 在 中， ， ，在 中， ， 即 ，解得， ，即 ，故答为： ． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对 称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2 的菱形BD 中，∠=60°，点M 是D 边的中点，点是B 边上 一动点，将△M 沿M 所在的直线翻折得到△’M，连结’，则’长度的最小值是（ ） ． B． ． D．2 【答】B 【分析】根据题意，在的运动过程中′在以M 为圆心、D 为直径的圆上的弧D 上运动，当′取最小值时，由 两点之间线段最短知此时M、′、三点共线，得出′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出′的长即可． 【详解】如图所示： M ∵ ′是定值，′长度取最小值时，即′在M 上时，过点M 作MF D ⊥ 于点F， ∵在边长为2 的菱形BD 中，∠=60°，M 为D 中点，∴2MD=D=D=2，∠FDM=60°， FMD=30° ∴∠ ，∴FD= MD= ，∴FM=DM×s30°= ， M= ∴ ，∴′=M-M = ′ -1．故选B． 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， ，将菱形纸 片翻折，使点落在 的中点 处，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，则 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】连接 、 ，根据菱形的性质可知 是等边三角形，由 是 中点，可求得 ， ， 又因为D B ∥，可得 ，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 、 ， 四边形 为菱形， ， ， ， 是等边三角形， 是 中点， ， ， ， ， ∵D B ∥， ，由折叠可得 ， ， ， ．故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的