专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 与 的 度数之间的关系，说明理由． 【变式训练1】已知∠B＝∠D＝90°，E 平分∠B． (1)如图，若∠＝30°，则∠DE 的度数是______；(直接写出答) (2)将(1)中的条件“∠＝30°”改为“∠是锐角”，猜想∠DE 与∠的关系，并说明理由； (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【变式训练2】如图，以直线B (1)如图1，当 ， 重合时， 度； (2)若将 的从图1 的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ． ①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由； ②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答． 【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将 三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 (1)将三角形纸片绕点

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 ∠F＋180°−2∠DE＝90°． 化简，得2∠DE− ∠F＝90°． 【变式训练1】已知∠B＝∠D＝90°，E 平分∠B． (1)如图，若∠＝30°，则∠DE 的度数是______；(直接写出答) (2)将(1)中的条件“∠＝30°”改为“∠是锐角”，猜想∠DE 与∠的关系，并说明理由； (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【答】(1)60°；(2) (1)如图1，当 ， 重合时， 度； (2)若将 的从图1 的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ． ①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由； ②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答． 【答】(1) ；(2)① ；② 时， ； 时， 【解析】(1) ， 重合， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ； (2)① ；理由如下：

专题06 整式中的两种规律探索问题 类型一、数字类规律探索 例观察：(x 1)( ﹣ x+1)＝x2 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x2+x+1)＝x3 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x3+x2+x+1)＝x4 1 ﹣，据此规律， 当(x 1)( ﹣ x5+x4+x3+x2+x+1)＝0 时，代数式x2019 1 ﹣的值为 _____． 【变式训练1】是不为1 的有理数，我们把 称为的差倒数，如2 这2021 个数的和 是______． 【变式训练3】有一列数 ，…，那么第个数为______． 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图， 观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则 的展开式中从左起第三项为______． 类型二、图形类规律探索 例如图，两条直线相交，有1 个交点，三条直线相交最多有3 个交点，四条直线相交最多 有______个交 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和相等， 例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则 与 的和是( ) ．9 B．10 ．11 D．12 5．如图，按此规律，第6 行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020． 6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中

专题06 整式中规律探索的三种考法 类型一、单项式规律性问题 例．有一列式子，按一定规律排列成 ， ， ， ， ，…，第个式子为 （为正整数）． 【答】 【分析】通过观察发现：每项前面的系数是前一项的系数乘以 ，每一项的次数是 ． 【详解】解：每项前面的系数是前一项的系数乘以 ， ∴第项的系数是 ， 每一项的次数是 ， ∴第个式子为 ． 故答是： ． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是能够找出这列式子的规律． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循 环问题的方法求解． 【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表： （1）上表中，第九行有 个算式，第九行最中间的算式是 ． （2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15 个数是 ， 【答】 ， 【分析】（1）根据规律第9 “兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等 领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第个数记为 ，则 与斐波那契数列中的第 个数相同． 【答】2022 【分析】由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列 中的1 可记作2，这样 ， ，…，依次化简，结论可得． 【详解】解：∵斐波那契数列中 ， 1= ∴ ， ∴ …… 故答为：2022

专题05 整式中的两种规律探索问题 类型一、数字类规律探索 例观察：(x 1)( ﹣ x+1)＝x2 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x2+x+1)＝x3 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x3+x2+x+1)＝x4 1 ﹣，据此规律， 当(x 1)( ﹣ x5+x4+x3+x2+x+1)＝0 时，代数式x2019 1 ﹣的值为 _____． 【答】0 或﹣2 【详解】解：根据题意得∶ (x 1)( ﹣ ， ， ，…… 由此发现：第个数为 ． 故答为： 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图， 观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则 的展开式中从左起第三项为______． 【答】 【详解】解：根据题意， = ， ∴ 的展开式中从左起第三项为 ， 故答为： ． 类型二、图形类规律探索 例如图，两条直线相交，有1 个交点，三条直线相交最多有3 ∴竖排的一行的长方形的个数为3÷b=(3×2b)÷b=6， =3×2+6×2=6+12=18 ∴ ． 故选：． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和相等， 例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则 与 的和是( ) ．9 B．10 ．11

专题06 整式中与参数有关的两种考法 类型一、直接求参数 例．已知 是关于 ， 的五次单项式，则这个单项式是 【答】 / 【分析】根据单项式的定义列出方程求出的值，再代入求解即可． 【详解】解： 是关于 ， 的五次单项式 ，且 整理得： 且 解得： （舍） 把 代入单项式中 单项式为： ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了单项式的知识，熟练掌握单项式的定义且考虑全面是解题的关键． ， 解得： ， 当 时， 原式 ，符合题意， 故答为：4 或2． 【点睛】本题考查了多项式．解题的关键是要明确相关概念（组成多项式的每个单项式叫 做多项式的项；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；多项式中不含字母的项叫 常数项）． 【变式训练1】已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y 的七次单项式，求m2 3 ﹣m+1 的值． 【答】1 或41 【分析】直接利用单项式的系数和次数确定方法分析得出答． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的概念是解题关键． 【变式训练1】若关于x 的多项式 与多项式 的次数相同，则式子 的值为 ． 【答】2 或8 【分析】分 和 两种情况，再分别利用多项式的次数的定义求出的值，然后代入 即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）当 时，关于x 的多项式 的次数是2， 关于x 的多项式 与多项式 的次数相同， ， 则 ； （2）当 时，关于x 的多项式 的次数是4，

专题06 整式中规律探索的三种考法 类型一、单项式规律性问题 例．有一列式子，按一定规律排列成 ， ， ， ， ，…，第个式子为 （为正整数）． 【变式训练1】观察下列单项式： 按此规律，可以得到第2020 个 单项式是 ． 【变式训练2】有一组单项式依次为 根据它们的规律，第个 单项式为 ． 类型二、数字类规律探索 例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺 次跳后它停的点所对应的数为 （ ） ．5 B．3 ．2 D．1 【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表： （1）上表中，第九行有 个算式，第九行最中间的算式是 ． （2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15 个数是 ， 【变式训练2】将正整数按如图所示的规律排列，有序数对 表示第 【变式训练3】斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为 “兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等 领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第个数记为 ，则 与斐波那契数列中的第 个数相同． 【变式训练4】观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第个数记为 ， 且满足 ．则 ，

专题05 整式中加减无关型的三种考法 类型一、不含某一项的问题 例．已知多项式 不含 和 的项，试写出这个多项式，再 求当 时该多项式的值． 【答】多项式为 ，4 【分析】根据题意可知 ，求出m 和的值，然后将 代入计算即可． 【详解】∵多项式 不含 和 的项， ∴ ， ∴ ， ∴多项式为 ， 当 时，多项式为 ． 【点睛】本题考查了多项式中的无关项，解题的关键是理解题意，确定m，的值． (2)若多项式 中不含 项，求 的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知 ，然后根据整式的运算法则计算即 可求出答． （2）根据整式的运算法则计算 ，然后令含y 的项的系数为0，即可求出的值． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ． ∵多项式 中不含 项， ． 解得： ． 【点睛】本题考查整式的加减运算，整式加减中的无关型问题．熟练掌握整式的加减运算 【变式训练2】已知关于x，y 的两个多项式 与 的和中不含二次 项，则m＝ ． 【答】3 【分析】先将两个多项式相加，然后合并同类项，根据二次项系数为0，求出m 的值即可 【详解】 ∵和中不含二次项， 解得 故答为：3 【点睛】本题主要考查了整式的加减要理解：和中不含二次项即二次项系数为0，是解题 的关键 【变式训练3】若关于，b 的多项式 中不含有 项，则

专题06 整式中与参数有关的两种考法 类型一、直接求参数 例．已知 是关于 ， 的五次单项式，则这个单项式是 例2 关于x 的多项式 （为正整数）是二次三项式，则 ． 【变式训练1】已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y 的七次单项式，求m2 3 ﹣m+1 的值． 【变式训练2】若多项式 是关于x，y 的三次多项式，则 ． 【变式训练3】已知p=（m+2） ﹣（﹣3）xy||﹣1

专题07 整式加减中取值无关型的两种考法 类型一、不含某一项问题 例1．多项式 中不含 项，求 的 值． 【答】 【分析】先把 合并同类项，再根据多项式 中不含 项，得关于m 方程，求解得出m 的值，然后把 合并同类项化简，最后代入计算即可． 【详解】解：∵ 又∵多项式 中不含 项， ∴ ， 解得： ． ∴ 当 时， ． ∴ 的值为 ． 【点睛】本题考查合并同类项， 【点睛】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中 不含某一项的理解． 例2．已知 ． (1)求 ； (2)当 时，求 的值： (3)若 的值与y 的取值无关，求m 的值． 【答】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）对已化简的 进行提公因数，然后将 整体代入，即可求解； （3）将 进行去括号，合并为 ，代数式的值与y 的取值无 (2)若代数式 值与x 的取值无关，求出 、 的值． 【答】(1) (2) ， 【分析】（1）先根据去括号的方法去括号，再应用合并同类项的法则合并同类项，即可得 出答． （2）根据（1）中的结论代入 ，先合并同类项，根据题意可得 ， ，计算即可得出答． 【详解】（1） ， （2） ， ， ∵代数式 的值与x 的取值无关， ∴ ， ． ∴ ， ． 【点睛】本题主要考查了整式