若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点，使 △B 为等腰三角形，你能否将点的坐标表示出来？ 故答为：（0，2），（1，1），（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝3，点P 为边B 上一动点，连接P，DP． 当△DP 为等腰三角形时，P 的值为 1 或 25 或 4 ． 解：在矩形BD 中，D＝B＝5， ①当D＝P＝5 时，过点P 作PQ⊥D 于点Q， ∴PQ＝D＝3， Q＝ ＝4， ）； （2）当为底时，作线段的中垂线交直线B 于P 点，则P（2，2）． 故本题答为：（2，2），（0，4），（4 2 ﹣ ，2 ），（4+2 ，﹣2 ）． 【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， 与x 轴交于点． （1）求点B 的坐标． （2）若点在x 轴上，且△B 是以B 为腰的等腰三角形，求点的坐标． 解：（1）∵直线y＝﹣ x+ 与直线y＝

若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点，使 △B 为等腰三角形，你能否将点的坐标表示出来？ 故答为：（0，2），（1，1），（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝3，点P 为边B 上一动点，连接P，DP． 当△DP 为等腰三角形时，P 的值为 1 或 25 或 4 ． 解：在矩形BD 中，D＝B＝5， ①当D＝P＝5 时，过点P 作PQ⊥D 于点Q， ∴PQ＝D＝3， Q＝ ＝4， ）； （2）当为底时，作线段的中垂线交直线B 于P 点，则P（2，2）． 故本题答为：（2，2），（0，4），（4 2 ﹣ ，2 ），（4+2 ，﹣2 ）． 【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， 与x 轴交于点． （1）求点B 的坐标． （2）若点在x 轴上，且△B 是以B 为腰的等腰三角形，求点的坐标． 解：（1）∵直线y＝﹣ x+ 与直线y＝

若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点，使 △B 为等腰三角形，你能否将点的坐标表示出来？ 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+2 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 ． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝3，点P 为边B 上一动点，连接P，DP． 当△DP 为等腰三角形时，P 的值为 ． 【例2】．如图，已知点（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接并延长交双曲线 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 ． 【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， 与x 轴交于点． （1）求点B 的坐标． （2）若点在x 轴上，且△B 是以B 为腰的等腰三角形，求点的坐标． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点，使 得△B 是等腰三角形，则这样的点有（

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 线上，交点为 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙的直径B 垂直弦D 于点P，且P 为半径B 的中 点，若D＝6，则直径B 的长为（ ） ．2 B．6 ．4 D．6 【答】 【分析】根据垂径定理可知B 垂直平分D，连接，根据勾股定理即可求出半径，最后求出直径即可． 【详解】解：如图，连接， ∵B 为⊙的直径，B⊥D， ∴ ， 设⊙的半径为r， 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解 题的关键． 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径D 垂直弦B 于点，若 ， ，则 的半径 为（ ） ． B．3 ．4 D．5 【答】D 【分析】根据垂径定理可得 ,再利用勾股定理直接求得 的长，即可得出答． 【详解】解：设 半径为， ， ， 根据垂径定理得：

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙的直径B 垂直弦D 于点P，且P 为半径B 的中 点，若D＝6，则直径B 的长为（ ） ．2 B．6 ．4 D．6 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径D 垂直弦B 于点，若 ， ，则 的半径 为（ ） ． B．3 语学校九年级阶段练习）如图， 是⊙ 的直径，弦 于 点 ， ，⊙ 的半径为，则弦 的长为（ ） ．3 B． ． D．9 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中， ， ，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 B 的长为（ ） ． B． ． 或 D． 或 2．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，B 是⊙的直径，弦D⊥B

专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578 模型 模型1、垂美四边形模型 规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 图1 图2 图3 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论： 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。 【变形1】 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 【变形2】 条件：如图3，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意一点，连接P、BP，P，DP；结论：P2+P2=DP2+BP2 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，对角线、BD 交于点．若D=3，B=5，则 ____________． 【答】34 【分析】在Rt△B 和Rt△B 中，根据勾股定理得B2+2=B2，D2+2=D2，进一步得B2+2+D2+2=9+25，再根据 B2=B2+2，D2=2+D2，最后求得B2+D2=34．

专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578 模型 模型1、垂美四边形模型 规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 图1 图2 图3 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论： 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。 【变形1】 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 【变形2】 条件：如图3，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意一点，连接P、BP，P，DP；结论：P2+P2=DP2+BP2 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，对角线、BD 交于点．若D=3，B=5，则 ____________． 例2．（2023 秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若 ， ， 则 的长为（ ） ．25 B．3 ．4 D． 例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】...................... ..................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】................... ................ 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】......................

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD 【例1】．如图，在四边形BD 中，⊥BD，若B＝5 ，D＝5 ，D＝12，则B＝ 13 ． 解：设，BD 交于点， ∵⊥BD，B＝5 ，D＝5 ，D＝12， ∴2+B2＝75，2+D2＝50，D2+2＝144，B2＝B2+2， ∴2+B2+D2+2﹣（2+D2）＝B2+2＝169，即B2＝169， ∴B＝13． 故答为：13． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，D，BE 分别是B，边上的中线，且D⊥BE，垂足为点F， 设B＝，＝b，B＝，则下列关系式中成立的是（ ） ．2+b2＝52 B．2+b2＝42 ．2+b2＝32 D．2+b2＝22 解：连接DE，如图， 例题精讲 设EF＝x，DF＝y， ∵D，BE 分别是B，边上的中线， ∴DE 为△B 的中位线， ∴DE∥B，DE＝ B， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴F＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】...................... ..................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】................... ................ 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】......................