模型34 两圆中垂构造等腰三角形（解析版）(1)

【模型】已知点，B 是平面内两点，再找一点，使得△B 为等腰三角形 【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点，使 △B 为等腰三角形，你能否将点的坐标表示出来？ 解：∵点、B 的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴B＝2 ， ①若＝B，以为圆心，B 为半径画弧与x 轴有2 个交点（含B 点），即1（0，0）、 （4，0）（舍去）； 模型介绍 例题精讲 ②若B＝B，以B 为圆心，B 为半径画弧与x 轴有2 个交点（点除外）：（4 2 ﹣ ，0） （4+2 ，0），即满足△B 是等腰三角形的点有2 个； ③若＝B，作B 的垂直平分线与x 轴，y 轴各有一个有1 个交点，分别为（2，0）， （0，﹣2）； 将点的坐标表示出来，如图： 综上所述：点在x 轴上，△B 是等腰三角形，符合条件的点共有5 个． 变式训练 【变式1-1】．直线y＝﹣x+2 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+2 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 （ 0 ， 2 ），（ 1 ， 1 ），（ 2﹣ ， ），（ 2+ ，﹣ ） ． 解：依题意得（2，0），B（0，2），△P 为等腰三角形，有三种情况： 当点为顶点，为腰时；以为半径画弧交直线B 于点P，P（0，2）符合题意； 当点为顶点，为腰时，以点为圆心，为半径画弧交直线B 于两点，过P 点作x 轴的垂线， 由解直角三角形得点P 坐标是（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）； 当为底时，作线段的中垂线交直线B 于P 点，则P（1，1）． 故答为：（0，2），（1，1），（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝3，点P 为边B 上一动点，连接P，DP． 当△DP 为等腰三角形时，P 的值为 1 或 25 或 4 ． 解：在矩形BD 中，D＝B＝5， ①当D＝P＝5 时，过点P 作PQ⊥D 于点Q， ∴PQ＝D＝3， Q＝ ＝4， ∴BP＝4， ∴P＝1； ②当D＝DP＝5 时，同①可得P＝4， ③当DP＝P 时，可知P 为B 的中点，P＝25． 故答为：1 或25 或4． 【例2】．如图，已知点（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接并延长交双曲线 的另一分支于点B，点P 是x 轴上一动点；若△PB 是等腰三角形，则点P 的坐标是 （﹣ 3 ， 0 ）或（ 5 ， 0 ）或（ 3 ， 0 ）或（﹣ 5 ， 0 ） ． 解：∵反比例函数y＝ 图象关于原点对称， ∴、B 两点关于对称， ∴为B 的中点，且B（﹣1，﹣2）， ∴当△PB 为等腰三角形时有P＝B 或PB＝B， 设P 点坐标为（x，0）， ∵（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴B ＝ ＝2 ，P ＝ ，PB ＝ ， 当P＝B 时，则有 ＝2 ，解得x＝﹣3 或5，此时P 点坐标为（﹣3， 0）或（5，0）； 当PB＝B 时，则有 ＝2 ，解得x＝3 或﹣5，此时P 点坐标为 （3，0）或（﹣5，0）； 综上可知P 点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 变式训练 【变式2-1】．直线y＝﹣x+4 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+4 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 （ 2 ， 2 ），（ 0 ， 4 ），（ 4 2 ﹣ ， 2 ），（ 4+2 ，﹣ 2 ）． ． 解：依题意得（4，0），B（0，4）， ∴＝B＝4， ∴△B 为等腰直角三角形，有三种情况： （1）当点为顶点，为腰时；以为半径画弧交直线B 于点B，B（2，2）符合题意； （2）当点为顶点，为腰时，以点为圆心，为半径画弧交直线B 于两点，过P 点作x 轴 的垂线，由解直角三角形得点P 坐标是（4 2 ﹣ ，2 ），（4+2 ，﹣2 ）； （2）当为底时，作线段的中垂线交直线B 于P 点，则P（2，2）． 故本题答为：（2，2），（0，4），（4 2 ﹣ ，2 ），（4+2 ，﹣2 ）． 【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， 与x 轴交于点． （1）求点B 的坐标． （2）若点在x 轴上，且△B 是以B 为腰的等腰三角形，求点的坐标． 解：（1）∵直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， ∴ 解得 ∴B（﹣1，3）； （2）∵直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B，与x 轴交于点． ∴（3，0），B（﹣1，3）， ∴B＝ ＝5， 设点（m，0）， 2＝（3﹣m）2＝m2 6 ﹣m+9，B2＝（m+1）2+32＝m2+2m+10， 当＝B 时，m2 6 ﹣m+9＝52，解得：m＝8 或﹣2； 当B＝B 时，m2+2m+10＝52，解得：m＝﹣5 或3（与点重合，舍去）； 故点的坐标为（﹣5，0），（﹣2，0），（8，0）． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点，使 得△B 是等腰三角形，则这样的点有（ ） ．4 个 B．5 个 ．6 个 D．7 个 解：由题意可知：以、B 为腰的三角形有3 个； 以、B 为腰的三角形有2 个； 以B、B 为腰的三角形有2 个． 故选：D． 2．如图，已知函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点P 是x 轴上一 点，若△PB 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） ．（﹣3 2 ﹣ ，0）B．（3，0） ．（﹣1，0） D．（2 ，0） 解：如下图所示： ∵函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 在y＝ x+ 中，令y＝0 可得x＝﹣3，令x＝0 可得y＝ ， ∴（﹣3，0），B（0， ）， ∴B＝ ＝2 ， （1）当B＝BP 时，点P 与P1 重合，则P1 （3，0）； （2）当P＝BP 时，点P 与点P2重合，如图②所示： 过B 的中点作x 轴的垂线，垂足为D， 由题意知：D2＝D•PD， ∵点的坐标为（﹣ ， ），设点P 的坐标为（，0） ∴（ ）2＝（﹣ +3）（+ ） 解之得：＝﹣1 即：点P 的坐标为（﹣1，0） （3）当B＝P 时，点P3重合，则P3（﹣3 2 ﹣ ，0）或（﹣3+2 ，0） 综上所述：若△PB 为等腰三角形，则点P 的坐标可能是（3，0）、（﹣1，0）、（﹣3 2 ﹣ ，0），（﹣3+2 ，0） 故选：D． 3．在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为（0，2），点B 的坐标为（ ，0），点在x 轴 上．若△B 为等腰三角形时，∠B＝30°，则点的坐标为（ ） ．（﹣2 ，0），（ ，0），（ ﹣4，0） B．（﹣2 ，0），（ ，0），（4+ ，0） ．（﹣2 ，0），（ ，0），（ ，0） D．（﹣2 ，0），（1，0），（4﹣ ，0） 解：∵点的坐标为（0，2），点B 的坐标为（ ，0）， ∴＝2，B＝2 ， ∴B＝ ＝ ＝4，t∠B＝ ＝ ＝ ， ∴∠B＝30°， ∵∠B＝30°， ∴点在点B 的左边． ①若B＝＝4， 又∵⊥B， ∴＝B＝2 ， ∴点1坐标为（﹣ ，0）； ②若B＝B＝4， 又∵点B 的坐标为（ ，0）， ∴点2坐标为（2 4 ﹣，0）； ③若＝B，则在线段B 的垂直平分线上． 设＝x，则＝B＝B﹣＝2 ﹣x． 在直角△中，∵∠＝90°， ∴2+2＝2，即22+x2＝（2 ﹣x）2， 解得x＝ ． ∴点3坐标为（ ，0）． 综上所述：点坐标为（﹣2 ，0）或（2 4 ﹣，0）或（ ，0）． 故选：． 4．已知平面直角坐标系中有（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点，使△B 为等腰 三角形，则满足条件的点的个数是（ ） ．5 个 B．6 个 ．7 个 D．8 个 解：如图： 当B＝时，以点为圆心，B 长为半径画弧，交y 轴于点1，2， 当B＝B 时，以点B 为圆心，B 长为半径画弧，交x 轴于点3，4， 当＝B 时，作B 的垂直平分线，交x 轴于点5，交y 轴于点6， ∵点，B，2三个点在同一条直线上， ∴满足条件的点的个数是5， 故选：． 5．如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与y 轴交于点，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物 线上有一点P，若△PD 是以D 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（ ） ．1+ B．1﹣ ． ﹣1 D．1﹣ 或1+ 解：令x＝0，则y＝﹣3， 所以，点的坐标为（0，﹣3）， ∵点D 的坐标为（0，﹣1）， ∴线段D 中点的纵坐标为 ×（﹣1 3 ﹣）＝﹣2， ∵△PD 是以D 为底边的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为﹣2， ∴x2 2 ﹣x 3 ﹣＝﹣2， 解得x1＝1﹣ ，x2＝1+ ， ∵点P 在第四象限， ∴点P 的横坐标为1+ ． 故选：． 6．在平面直角坐标系xy 中，已知点（2，﹣2），在y 轴上确定点P，使△P 为等腰三角形， 则符合条件的有 4 个． 解：分二种情况进行讨论： 当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以为圆心为半径的 圆弧与y 轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与y 轴有一个交点． ∴符合条件的点一共4 个． 故答为：4． 7．如图，已知点，B 的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点，使△B 是等 腰三角形，则符合条件的点共有 8 个． 解：如图，当B＝时，以点为圆心，B 为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B 点除外）， 当B＝B 时，以点B 为圆心，B 为半径画圆，与坐标轴有三个交点（点除外）， 当＝B 时，画B 的垂直平分线与坐标轴有2 个交点， 综上所述：符合条件的点的个数有8 个， 故答为：8． 8．已知直线y＝﹣ x+3 与坐标轴分别交于点，B，点P 在抛物线y＝﹣ （x﹣ ）2+4 上，能使△BP 为等腰三角形的点P 的个数有 3 个． 解：以点B 为圆心线段B 长为半径做圆，交抛物线于点、M、点，连接、B，如图所示． 令一次函数y＝﹣ x+3 中x＝0，则y＝3， ∴点的坐标为（0，3）； 令一次函数y＝﹣ x+3 中y＝0，则﹣ x+3＝0， 解得：x＝ ， ∴点B 的坐标为（ ，0）． ∴B＝2 ． ∵抛物线的对称轴为x＝ ， ∴点的坐标为（2 ，3）， ∴＝2 ＝B＝B， ∴△B 为等边三角形． 令y＝﹣ （x﹣ ）2+4 中y＝0，则﹣ （x﹣ ）2+4＝0， 解得：x＝﹣ ，或x＝3 ． ∴点M 的坐标为（﹣ ，0），点的坐标为（3 ，0）． △BP 为等腰三角形分三种情况： ①当B＝BP 时，以B 点为圆心，B 长度为半径做圆，与抛物线交于、M、三点； ②当B＝P 时，以点为圆心，B 长度为半径做圆，与抛物线交于、M 两点，； ③当P＝BP 时，作线段B 的垂直平分线，交抛物线交于、M 两点； ∴能使△BP 为等腰三角形的点P 的个数有3 个． 故答为：3． 9．在平面直角坐标系中，已知（5，0），B（0，12），且B＝13，在x 轴上取一点P，使 得△PB 是以B 为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P 的坐标 （﹣ 5 ， 0 ）， （﹣ 8 ， 0 ），（ 18 ， 0 ） ． 解：如图， ①若B＝BP，则＝P＝5，则点P1（﹣5，0）； ②若B＝P，则点P2（﹣8，0）；点P3（18，0）； ∴符合条件的点P 的坐标分别为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）． 故答为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）． 10．如图，在平面直角坐标系xy 中，点在第一象限内，∠B＝50°，B⊥x 轴于B，点在y 轴 正半轴上运动，当△为等腰三角形时，顶角的度数是 40° 或 100° ． 解：分三种情况： 当＝时，∠＝90°﹣∠B＝40°， 当＝时，∠＝180° 2×40° ﹣ ＝100°， 当＝时，∠＝180° 2×40° ﹣ ＝100°， 综上所述，当△为等腰三角形时，顶角的度数为40°或100°， 故答为：40°或100°． 11．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线l 分别交x 轴、y 轴于、B 两点，＜ B，且、B 的长分别是一元二次方程x2 7 ﹣x+12＝0 的两根． （1）求直线B 的函数表达式； （2）若在y 轴上取一点P，使△BP 是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P 的 坐标． 解：（1）由x2 7 ﹣x+12＝0，得x1＝3，x2＝4， ∵＜B，∴＝3，B＝4． ∴（3，0）B（0，4） 设直线B 的函数表达式y＝kx+b， 则 ∴ ∴ （2）满足条件的P 的坐标：（0，9）（0， ）（0，﹣1）（0，﹣4） 因为＝3，B＝4 所以B＝5， 以B 为圆心，以B 为半径作弧，交y 轴与两点， 这两点的坐标分别是（0，9）、（0，﹣1） 这两点与、B 都构成的△BP 是等腰三角形． 根据轴对称的意义，当P（0，﹣4）时， △BP 是等腰三角形． 当点P 在B 的垂直平分线与y 轴的交点上时， 设P（0，m） 则（4﹣m）2＝m2+32 解得，m＝ 所以点P 的坐标为：（0，9）（0， ）（0，﹣1）（0，﹣4） 12．如图1，在平面直角坐标系中，点、点B 的坐标分别为（4，0）、（0，3）． （1）求B 的长度． （2）如图2，若以B 为边在第一象限内作正方形BD，求点的坐标． （3）在x 轴上是否存在一点P，使得△BP 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵（4，0），B（0，3）， ∴＝4，B＝3， ∴B＝ ＝5， （2）如图，过点作E⊥B 于E， ∴∠BE+∠BE＝90°， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B，∠B＝90°， ∴∠BE+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BE， 在△B 和△BE 中， ， ∴△B≌△BE， ∴BE＝＝4，E＝B＝3， ∴E＝B+BE＝7， ∴（3，7）； （3）设P（，0）， ∵（4，0），B（0，3）， ∴P＝| 4| ﹣，PB2＝2+9，B＝5， ∵△BP 是等腰三角形， ∴①当P＝B 时， | 4| ∴﹣＝5， ∴＝﹣1 或9， ∴P（﹣1，0）或（9，0）， ②当P＝PB 时， ∴（﹣4）2＝2+9， ∴＝ ， ∴P（ ，0）， ③当PB＝B 时， ∴2+9＝25， ∴＝4（舍）或＝﹣4， ∴P（﹣4，0）． 即：满足条件的点P 的坐标为（﹣1，0）、（﹣4，0）、（9，0）、（ ，0）． 13．抛物线y＝x2+bx 3 ﹣（≠0）与直线y＝kx+（k≠0）相交于（﹣1，0）、B（2，﹣3）两 点，且抛物线与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求出、D 两点的坐标 （3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PD 是以D 为底边的等腰三角形，求出点P 的 坐标． 解：（1）把（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 y＝x2+bx 3 ﹣可得 解得 ∴y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣ （2）把x＝0 代入y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣中可得y＝﹣3∴（0，﹣3） 设y＝kx+b，把（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 解得 ∴y＝﹣x 1 ﹣ ∴D（0，﹣1） （3）由（0，﹣3），D（0，﹣1）可知D 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x2 2 ﹣x 3 ﹣＝﹣2 解得：x＝1± ，∵x＞0∴x＝1+ ． ∴P（1+ ，﹣2） 14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+（＞0）的图象与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左 侧），与y 轴交于点，且B＝＝3，顶点为M． （1）求二次函数的解析式； （2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ，垂足为Q，若Q＝m， 四边形PQ 的面积为S，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围； （3）探索：线段BM 上是否存在点，使△M 为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标； 如果不存在，请说明理由． 解：（1）∵B＝＝3， ∴B（3，0），（0，3） ∴ ， 解得 1 分 ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x 1 ﹣）2+4，M（1，4） 设直线MB 的解析式为y＝kx+， 则有 解得 ∴直线MB 的解析式为y＝﹣2x+6 ∵PQ⊥x 轴，Q＝m， ∴点P 的坐标为（m，﹣2m+6） S 四边形PQ＝S△+S 梯形PQ＝ •+ （PQ+）•Q ＝ ×1×3+ （﹣2m+6+3）•m＝﹣m2+ m+ （1≤m≤3）． （ 3 ） M ＝ ， ＝ ， M ＝ ①当M＝时， ， 解得x1＝ ，x2＝1（舍去） 此时（ ， ） ②当M＝M 时， ， 解得x1＝1+ ，x2＝1﹣ （舍去）， 此时（1+ ，4﹣ ） ③当＝M 时， ＝ 解得x＝2，此时（2，2） 综上所述：线段BM 上存在点（ ， ），（2，2），（1+ ，4﹣ ）使△M 为等腰三角形． 15．直线y＝kx 4 ﹣与x 轴、y 轴分别交于B、两点，且 ＝ ． （1）求点B 的坐标和k 的值； （2）若点时第一象限内的直线y＝kx 4 ﹣上的一动点，则当点运动到什么位置时，△B 的 面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P，使△P 是等腰三角形？若存在，求出 点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线y＝kx 4 ﹣与x 轴、y 轴分别交于B、两点， ∴点（0，﹣4）， ∴＝4， ∵ ＝ ， ∴B＝3， ∴点B（3，0）， 3 ∴k 4 ﹣＝0， 解得：k＝ ； （2）设的纵坐标为， ∵S△B＝ B•＝6，且B＝3， ∴＝4， ∵直线B 的解析式为：y＝ x 4 ﹣， ∴当y＝4 时，4＝ x 4 ﹣， 解得：x＝6， ∴点（6，4）， ∴当点运动到（6，4）时，△B 的面积是6； （3）存在．