模型34 两圆中垂构造等腰三角形（原卷版）(1)

【模型】已知点，B 是平面内两点，再找一点，使得△B 为等腰三角形 【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点，使 △B 为等腰三角形，你能否将点的坐标表示出来？ 变式训练 模型介绍 例题精讲 【变式1-1】．直线y＝﹣x+2 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+2 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 ． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝3，点P 为边B 上一动点，连接P，DP． 当△DP 为等腰三角形时，P 的值为 ． 【例2】．如图，已知点（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接并延长交双曲线 的另一分支于点B，点P 是x 轴上一动点；若△PB 是等腰三角形，则点P 的坐标是 ． 变式训练 【变式2-1】．直线y＝﹣x+4 与x 轴、y 轴的正半轴分别交、B 两点，点P 是直线y＝﹣ x+4 上的一点，当△P 为等腰三角形时，则点P 的坐标为 ． 【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B， 与x 轴交于点． （1）求点B 的坐标． （2）若点在x 轴上，且△B 是以B 为腰的等腰三角形，求点的坐标． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点，使 得△B 是等腰三角形，则这样的点有（ ） ．4 个 B．5 个 ．6 个 D．7 个 2．如图，已知函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点P 是x 轴上一 点，若△PB 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） ．（﹣3 2 ﹣ ，0）B．（3，0） ．（﹣1，0） D．（2 ，0） 3．在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为（0，2），点B 的坐标为（ ，0），点在x 轴 上．若△B 为等腰三角形时，∠B＝30°，则点的坐标为（ ） ．（﹣2 ，0），（ ，0），（ ﹣4，0） B．（﹣2 ，0），（ ，0），（4+ ，0） ．（﹣2 ，0），（ ，0），（ ，0） D．（﹣2 ，0），（1，0），（4﹣ ，0） 4．已知平面直角坐标系中有（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点，使△B 为等腰 三角形，则满足条件的点的个数是（ ） ．5 个 B．6 个 ．7 个 D．8 个 5．如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与y 轴交于点，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物 线上有一点P，若△PD 是以D 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（ ） ．1+ B．1﹣ ． ﹣1 D．1﹣ 或1+ 6．在平面直角坐标系xy 中，已知点（2，﹣2），在y 轴上确定点P，使△P 为等腰三角形， 则符合条件的有 个． 7．如图，已知点，B 的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点，使△B 是等 腰三角形，则符合条件的点共有 个． 8．已知直线y＝﹣ x+3 与坐标轴分别交于点，B，点P 在抛物线y＝﹣ （x﹣ ）2+4 上，能使△BP 为等腰三角形的点P 的个数有 个． 9．在平面直角坐标系中，已知（5，0），B（0，12），且B＝13，在x 轴上取一点P，使 得△PB 是以B 为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P 的坐标 ． 10．如图，在平面直角坐标系xy 中，点在第一象限内，∠B＝50°，B⊥x 轴于B，点在y 轴 正半轴上运动，当△为等腰三角形时，顶角的度数是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线l 分别交x 轴、y 轴于、B 两点，＜ B，且、B 的长分别是一元二次方程x2 7 ﹣x+12＝0 的两根． （1）求直线B 的函数表达式； （2）若在y 轴上取一点P，使△BP 是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P 的 坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，点、点B 的坐标分别为（4，0）、（0，3）． （1）求B 的长度． （2）如图2，若以B 为边在第一象限内作正方形BD，求点的坐标． （3）在x 轴上是否存在一点P，使得△BP 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 13．抛物线y＝x2+bx 3 ﹣（≠0）与直线y＝kx+（k≠0）相交于（﹣1，0）、B（2，﹣3）两 点，且抛物线与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求出、D 两点的坐标 （3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PD 是以D 为底边的等腰三角形，求出点P 的 坐标． 14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+（＞0）的图象与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左 侧），与y 轴交于点，且B＝＝3，顶点为M． （1）求二次函数的解析式； （2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ，垂足为Q，若Q＝m， 四边形PQ 的面积为S，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围； （3）探索：线段BM 上是否存在点，使△M 为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标； 如果不存在，请说明理由． 15．直线y＝kx 4 ﹣与x 轴、y 轴分别交于B、两点，且 ＝ ． （1）求点B 的坐标和k 的值； （2）若点时第一象限内的直线y＝kx 4 ﹣上的一动点，则当点运动到什么位置时，△B 的 面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P，使△P 是等腰三角形？若存在，求出 点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 16．抛物线y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点（0， ﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．