模型35 垂美四边形模型（解析版）

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD 中，⊥BD，若B＝5 ，D＝5 ，D＝12，则B＝ 13 ． 解：设，BD 交于点， ∵⊥BD，B＝5 ，D＝5 ，D＝12， ∴2+B2＝75，2+D2＝50，D2+2＝144，B2＝B2+2， ∴2+B2+D2+2﹣（2+D2）＝B2+2＝169，即B2＝169， ∴B＝13． 故答为：13． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，D，BE 分别是B，边上的中线，且D⊥BE，垂足为点F， 设B＝，＝b，B＝，则下列关系式中成立的是（ ） ．2+b2＝52 B．2+b2＝42 ．2+b2＝32 D．2+b2＝22 解：连接DE，如图， 例题精讲 设EF＝x，DF＝y， ∵D，BE 分别是B，边上的中线， ∴DE 为△B 的中位线， ∴DE∥B，DE＝ B， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴F＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x， ∵D⊥BE， ∴∠FB＝∠FE＝∠BFD＝90°， 在Rt△FB 中，4x2+4y2＝2，① 在Rt△EF 中，x2+4y2＝ b2，② 在Rt△BFD 中，4x2+y2＝ 2，③ ②+③得5x2+5y2＝ （2+b2）， 4 ∴x2+4y2＝ （2+b2），④ ①﹣④得2﹣ （2+b2）＝0， 即2+b2＝52． 故选：． 【变式1-2】．如图，四边形BD 是圆的内接四边形，请回答下列问题： （1）若B∥D，求证：弧BD＝弧 （2）若⊥BD，D＝4，圆的半径为3，求B 的长； （3）在（2）的条件下求P2+PB2+P2+PD2的值． （1）证明：∵B//D， ∴∠B＝∠D， ∴ ， ∴ ， ∴弧BD＝弧； （2）解：过点作E⊥D 于点E，作直径F，连接F，FD，如图： ∵E⊥D 于点E， ∴E 为D 中点，E＝DE＝ D ×4＝2， ∵圆的半径为3， ∴E＝ ＝ ＝ ， ∵为F 中点，E 为D 中点， ∴DF＝2E＝2 ， ∵F 是⊙直径， ∴∠F＝90°，即⊥F， ∵⊥BD， ∴BD∥F． ∴∠DB＝∠FD， ∴ ＝ ， ∴B＝DF＝2 ； （3）解：∵⊥BD 于点P， ∴B2＝P2+PB2，D2＝P2+PD2， ∴P2+PB2+P2+PD2＝B2+D2， 由（2）知B＝2 ，D＝4， ∴B2+D2＝（2 ）2+42＝36， ∴P2+PB2+P2+PD2＝36． 【例2】．已知点P 是矩形BD 内的一点，且P＝2，PB＝3，P＝4，则PD＝ ． 证明：过点P 作EF⊥B 交D 于点F，D 于点E；过点P 作G⊥D 交D 于点G，B 于点． 则F＝DE，FP＝B，＝EP，P＝E． ∴P2+P2＝F2+FP2+2+P2 ＝DE2+B2+EP2+P2 ＝PB2+PD2， ∴P2+P2＝PB2+PD2， 2 ∴2+42＝32+PD2， ∴PD＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ 23 ． 解：∵⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠D＝∠B＝90°， ∴B2+2＝B2，2+D2＝D2，B2+2＝B2，2+D2＝D2， ∴B2+D2＝B2+2+2+D2＝B2+D2， ∵D＝ ，B＝3 ， ∴B2+D2＝（3 ）2+（ ）2＝18+5＝23， ∴B2+D2＝23， 故答为：23． 【变式2-2】．如图，在△B 中，＝3，B＝4，若，B 边上的中线BE，D 垂直相交于点，则 B＝ ． 解：∵D、BE 为，B 边上的中线， ∴BD＝ B＝2，E＝ ＝ ，点为△B 的重心， ∴＝2D，B＝2E， ∵BE⊥D， ∴B2+D2＝BD2＝4，E2+2＝E2＝ ， ∴B2+ 2＝4， B2+2＝ ， ∴ B2+ 2＝ ， ∴B2+2＝5， ∴B＝ ＝ ． 故答为 ． 1．两个矩形，小矩形绕着公共点任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2 的 值． 解：∵∠BD＝∠KE＝90°， ∴∠BK＝∠DE， 又∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△BK∽△DE， ∴∠BK＝∠DE， ∵∠BK+∠KBD+∠BD＝90°， ∴∠DE+∠KBD+∠BD＝90°， ∴∠DB＝90°， ∴K2+D2＝DK2，B2+E2＝BE2， ∴BE2+DK2＝K2+E2+D2+B2＝BD2+KE2＝B2+D2+KF2+KE2＝36+64+36+2025＝15625． 2．如图，在四边形BD 中，对角线分别为，BD，且⊥BD 于点，若D＝2，B＝6，则B2+D2 ＝ 40 ． 解：在Rt△B 与Rt△D 中，由勾股定理得， B2＝B2+2， D2＝2+D2， ∴B2+D2＝B2+2+2+D2， 在Rt△B 与Rt△D 中，由勾股定理得， B2＝B2+2， D2＝2+D2， ∴B2+D2＝B2+D2＝62+22＝40， 故答为：40． 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，M、是B 边上的点，BM＝M＝，如果M＝4，＝3，则M ＝ ． 解：过M，分别作的垂线MD 和E，作⊥M，D、E、为垂足，则MD＝2E，E＝2D，如 图， 可得M2＝D2+MD2，2＝E2+E2， 解得D2＝ ，E2＝ ， ∵E 为△DM 的中位线，所以MD＝2E， ∵⊥M，MD⊥ED， ∴四边形DE 为平行四边形，即D＝E， ∴M＝E，＝DE， ∴M＝ ＝ ＝ ． 故答为 ． 4．如图，在边长为2 的正方形BD 中，点E、F 分别是边B，B 的中点，连接E，FD，点 G、分别是E，FD 的中点，连接G，则G 的长度为 ． 解：连接并延长交D 于P，连接PE， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠＝90°，D∥B，B＝D＝B＝2， ∵E，F 分别是边B，B 的中点， ∴E＝F＝ ×2＝1， ∵D∥B， ∴∠DP＝∠F， ∵∠DP＝∠F， ∵D＝F， ∴△PD≌△F（S）， ∴PD＝F＝1， ∴P＝D﹣PD＝1， ∴PE＝ ＝ ， ∵点G，分别是E，FD 的中点， ∴G＝ EP＝ ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方 形BDE，连结E，BG，GE．已知＝4，B＝5，求GE 的长． 解：（1）四边形BD 是垂美四边形． 理由如下：如图2，连接、BD， ∵B＝D， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∵B＝D， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线是线段BD 的垂直平分线， ∴⊥BD，即四边形BD 是垂美四边形； （2）B2+D2＝D2+B2， 理由如下： 如图1 中， ∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得，D2+B2＝2+D2+B2+2， B2+D2＝2+B2+2+D2， ∴D2+B2＝B2+D2； （3）如图3，连接G、BE， ∵正方形FG 和正方形BDE， ∴G＝，B＝E，∠G＝∠BE＝90°， ∴∠G+∠B＝∠BE+∠B，即∠GB＝∠E， 在△GB 和△E 中， ， ∴△GB≌△E（SS）， ∴∠BG＝∠E， ∵∠E+∠ME＝90°， ∴∠BG+∠ME＝90°， ∵∠ME＝∠BM， ∴∠BG+∠BM＝90°， 即E⊥BG， ∴四边形GEB 是垂美四边形， 由（2）得，G2+BE2＝B2+GE2， ∵＝4，B＝5， ∴B＝ ＝ ＝3， ∵G＝ ＝ ＝4 ，BE＝ ＝ ＝5 ， ∴GE2＝G2+BE2﹣B2＝（4 ）2+（5 ）2 3 ﹣2＝73， ∴GE＝ ． 6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形BD 中，⊥BD．垂足为，求证：B2+D2＝D2+B2． （2）解决问题：已知B＝5 ．B＝4 ，分别以△B 的边B 和B 向外作等腰Rt△BE 和 等腰Rt△BD； ①如图2，当∠B＝90°，连接DE，求DE 的长； ②如图3．当∠B≠90°，点G、分别是D、中点，连接G．若G＝2 ，则S△B＝ ． 解：（1）如图1，∵四边形BD 中，⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠B＝∠D＝90°， ∴B2＝2+B2，D2＝2+D2，B2＝B2+2，D2＝2+D2， ∴B2+D2＝2+B2+2+D2，B2+D2＝B2+2+2+D2， ∴B2+D2＝D2+B2； （2）如图2，延长B 交DE 于M，过点D 作D⊥B 于， 又∵等腰Rt△BE 和等腰Rt△BD，B＝5 ，B＝4 ，∠B＝90°， ∴∠B＝∠BD＝∠BE＝∠BD＝∠EB＝90°，B＝BD＝5 ，B＝BE＝4 ， ∴∠B+∠B＝90°，∠B+∠DB＝90°，＝ ＝3 ， ∴∠B＝∠DB， 在△B 和△BD 中， ， ∴△B≌△BD（S）， ∴B＝D＝BE＝4 ，＝B＝3 ， 在△DM 和△EBM 中， ， ∴△DM≌△EBM（S）， ∴M＝MB＝ B＝ ×3 ＝ ，MD＝ME＝ DE， 在Rt△DM 中，∠MD＝90°， ∴MD＝ ＝ ＝ ， ∴DE＝2MD＝ ； （3）如图3，∠B≠90°，分别过点、D 作M⊥B 于点M，D⊥B 于点，连接D， 又∵等腰Rt△BE 和等腰Rt△BD，B＝5 ，B＝4 ， ∴∠MB＝∠BD＝∠BE＝∠BD＝90°，B＝BD＝5 ，B＝BE＝4 ， ∴∠B+∠BM＝90°，∠B+∠DB＝90°， ∴∠BM＝∠DB， 在△MB 和△BD 中， ， ∴△MB≌△BD（S）， ∴BM＝D，M＝B， 设M＝B＝x，则＝B+B＝4 +x， ∵点G、分别是D、中点，连接G、D，G＝2 ， ∴D＝2G＝4 ， 在Rt△D 和Rt△DB 中，由勾股定理得： D2＝DB2﹣B2，D2＝D2﹣2， ∴DB2﹣B2＝D2＝D2﹣2，即（5 ）2﹣x2＝（4 ）2﹣（4 +x）2， 解得：x＝ ，即M＝B＝x＝ ， ∴S△B＝ B•M＝ ×4 × ＝ ． 7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中 是垂美四边形的是 菱形，正方形 ． （2）性质探究：如图2，已知四边形BD 是垂美四边形，试探究其两组对边B，D 与 B，D 之间的数量关系，并写出证明过程． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方 形BDE，连接E，BG，GE，E 交B 于点M，已知＝4，B＝5，求GE 的长． 解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答为：菱形，正方形； （2）猜想：D2+B2＝B2+D2． 理由如下：连接，BD 交于点， ∵四边形BD 是垂美四边形， ∴⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理，得D2+B2＝2+D2+B2+2， B2+D2＝2+B2+2+D2， ∴D2+B2＝B2+D2； （3）连接G，BE， ∵∠G＝∠BE＝90°， ∴∠G+∠B＝∠BE+∠B，即∠GB＝∠E， 在△GB 和△E 中，G＝，∠GB＝∠E，B＝E， ∴△GB≌△E（SS）， ∴∠BG＝∠E， 又∵∠E+∠ME＝90°， ∴∠BG+∠ME＝90°， 又∵∠BM＝∠ME， ∴∠BG+∠BM＝90°， ∴E⊥BG． ∴四边形GEB 是垂美四边形， 由（2）可知G2+BE2＝B2+GE2， ∵＝4，B＝5， ∴由勾股定理，得B2＝9，G2＝32，BE2＝50， ∴GE2＝G2+BE2﹣B2＝73， ∴GE＝ ． 8．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图1，在四边形BD 中，D∥B，⊥BD，过点D 作BD 垂线交B 的延长 线于点E，且∠DB＝45°，证明：四边形BD 是垂等四边形． （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用： 在图2 中，面积为24 的垂等四边形BD 内接于⊙中，∠BD＝60°．求⊙的半径． 解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； ②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形； ③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形； ④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：④； （2）∵⊥BD，ED⊥BD， ∴∥DE， 又∵D∥B， ∴四边形DE 是平行四边形， ∴＝DE， 又∵∠DB＝45°， ∴△BDE 是等腰直角三角形， ∴BD＝DE， ∴BD＝， 又∵BD⊥， ∴四边形BD 是垂等四边形； （3）如图，过点作E⊥BD，连接D， ∵四边形BD 是垂等四边形， ∴＝BD， 又∵垂等四边形的面积是24， ∴ •BD＝24， 解得，＝BD＝4 ， 又∵∠BD＝60°， ∴∠DE＝60°， 设半径为r，根据垂径定理可得： 在△DE 中，D＝r，DE＝ ， ∴r＝ ＝ ＝4， ∴⊙的半径为4． 9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的 中心． （1）写出一种你学过的和美四边形 正方形 ； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是 ． ．矩形 B．菱形 ．正方形 D．无法确定 （3）如图1，点是和美四边形BD 的中心，E、F、G、分别是边B、B、D、D 的中点， 连接E、F、G、，记四边形E、BEF、GF、DG 的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示 S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由） （4）如图2，四边形BD 是和美四边形，若B＝3，B＝2，D＝4，求D 的长． 解：（1）正方形是学过的和美四边形， 故答为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 故选：． （3）由和美四边形的定义可知，⊥BD， 则∠B＝∠B＝∠D＝∠D＝90°，又E、F、G、分别是边B、B、D、D 的中点， ∴△E 的面积＝△BE 的面积，△BF 的面积＝△F 的面积，△G 的面积＝△DG 的面积，△D 的面积＝△的面积， ∴S1+S3＝△E 的面积+△F 的面积+△G 的面积+△的面积＝S2+S4； （4）如图2，连接、BD 交于点，则⊥BD， ∵在Rt△B 中，2＝B2﹣B2，Rt△D 中，D2＝D2﹣2，B＝3，B＝2，D＝4， ∴可得D2＝2+D2＝B2﹣B2+D2﹣2＝B2+D2﹣B2＝32+42 2 ﹣2＝21， 即可得D＝ ． 10．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）写出2 个所学的特殊四边形是垂美四边形： 菱形 ， 正方形 ． （2）性质探究： 已知：如图1，四边形BD 是垂美四边形，对角线、BD 相交于点．猜想：B2+D2 与 D2+B2有什么关系？并证明你的猜想． （3）问题解决： 如图2，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作等腰Rt△G（∠G＝90°）和等腰 Rt△BE（∠BE＝90°），连接GE，GB，E，已知＝2，B＝5．求GE 的长． 解：（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴菱形和正方形都是垂美四边形， 故答为：菱形，正方形； （2）B2+D2＝D2+B2，理由如下： ∵四边形BD 是垂美四边形， ∴⊥BD， ∴2+B2＝B2，D2+2＝D2， ∴2+B2+D2+2＝D2+B2， ∴D2+B2＝D2+B2； （3）∵∠G＝∠BE， ∴∠GB＝∠E， ∵＝G，B＝E， ∴△GB≌△E（SS）， ∴∠BG＝∠E， 设E 与BG 交于点，E 与B 交于点， ∵∠E＝∠B， ∴∠B＝∠E＝90°， ∴BG⊥E， ∴四边形BGE 是垂美四边形， ∴G2+BE2＝B2+EG2， ∵＝2，B＝5． 由勾股定理得，G2＝8，BE2＝50，B2＝21， ∴EG2＝8+50 21 ﹣ ＝37， ∵EG＞0， ∴EG＝ ． 11．如图1，分别以直角三角形B 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表 示，则不难证明S1＝S2+S3． （1）如图2，分别以直角三角形B 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、 S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明） （2）如图3，分别以直角三角形B 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明． （3）四边形BD 的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积 分别为S1、S2、S3、S4．则S1、S2、S3和S4之间的关系是 S 1+ S 3＝ S 2+ S 4 ． 解：（1）如图（2），分别以Rt△B 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、 S2、S3表示，那么S1＝S2+S3， 理由为：在Rt△B 中，利用勾股定理得：B2＝2+B2， ∴ B2＝ 2+ B2，即S1＝S2+S3； （2）如图（3），分别以Rt△B 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、 S3表示，S1、S2、S3之间的关系为S1＝S2+S3， 理由为：在Rt△B 中，利用勾股定理得：B2＝2+B2， ∴ B2＝ 2+ B2，即S1＝S2+S3． （3）由（2）可知：S1+S3＝S2+S4 故答为：S1+S3＝S2+S4． 12．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 正方形 ； （2）如图1，在等腰Rt△B 中，∠B＝90°，经过点、B 的圆交边于点D，交B 边于点E， 连结DE．若四边形BED 为圆美四边形，求 的值； （3）如图2，在△B 中，经过、B 的圆交边于点D，交B 于点E，连结E，BD 交于点 F．若在四边形BED 的内部存在一点P，使得∠PB＝∠DP，连结PE 交BD 于点G，连结 P，若P⊥PD，PB⊥PE