数轴中的动点问题 数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素 养要求较高。 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t 的代数式表示，向右运动用“+”表示，向 左运动用“-”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1 单动点问题 例1（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知，B（B 在的左侧）是数轴上的两点，点 对应的数为8，且B＝12，动点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动， 在点P 的运动过程中，M，始终为P，BP 的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论 中正确的有（ ） ①B 对应的数是－4；②点P 到达点B 时，t＝6；③BP＝2 时，t＝5；④在点P 的运动过程 中，线段M 的长度不变 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点 P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，由题意求出P 的长，再利用路程除以速度即可；④ 分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题 【专题说明】 动点轨迹问题是中考的重要压轴点受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学 生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞掌握该压轴点的基本图形,构建问题 解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述动点轨迹基本类 型为直线型和圆弧型 【知识精讲】 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不 变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。 如图，P 如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 【引例】如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ=90°且P=Q，当点P 在直线B 上运动时，求Q

瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题 【专题说明】 动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中， （1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。 （2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最 值。 【知识精讲】 所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形 成的夹角以及主、 成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形 时，从动点轨迹必然也是． 【精典例题】 1、如图，在反比例函数 的图像上有一个动点，连接并延长交图像的另一支于点B，在第 一象限内有一点，满足=B，当点运动时，点始终在函数 的图像上运动，若t∠B=2，则k 的值为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【分析】∠=90°且:=1:2，显然点的轨迹也是一条双曲线，分别作M、垂直x 1、如图，在△B 中，∠=90°，=4，B=2，点、分别在x 轴、y 轴上，当点在x 轴上运动时，点随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） ．6 B． ． D． 【答】D 【解析】 解：如图，取的中点D，连接D、BD， 则D=D= = ×4=2， 由勾股定理得，BD= =2 ， 当、D、B 三点共线时点B 到原点的距离最大， 所以，点B 到原点的最大距离是2+2

二次函数中的动点有关的综合问题 1、如图①，已知抛物线y＝x2 4 ﹣mx+3m2（、m 为参数，且＞0，m＞0）与x 轴交于、B 两点（在B 的左 边），与y 轴交于点． （1）求点B 的坐标（结果可以含参数m）； （2）连接、B，若（0，3m），求t∠B 的值； （3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P 是抛物线上的一个动点，F 是抛物 线的对称轴l 上 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△PF 成为以点P 为直角顶点的的等腰直角三角形． 若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】（1）B（3m，0）；（2）t∠B＝ ； （3）点P 的坐标是：（ ）或（ ）或（ ）或（ ）． 【解析】 解：（1）令y＝0，则有x2 4 ﹣mx+3m2＝0， 解得：x1＝m，x2＝3m， ∵m＞0，在B 的左边， ∴B（3m，0）； ∴B（3m，0）； （2）如图1，过点作D⊥B，垂足为点D， 由（1）可知B（3m，0），则△B 为等腰直角三角形， ∵＝B＝3m， ∴B＝3 m， 又∵∠B＝45°， ∴∠DB＝45°， ∴D＝BD， ∵B＝2m， ∴ m，D＝2 m， t ∴∠B＝ ； （3）∵由题意知x＝2 为对称轴， 2 ∴m＝2， 即m＝1， ∵在（2）的条件下有（0，3m）， 3 ∴m＝3m2，

点动型 类型一：单动点 【例1】如图，点 是菱形 边上的一动点，它从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ，设 的面积为 ， 点的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为 ． B． ． D． 【解答】解：分三种情况： ①当 在 边上时，如图1， 设菱形的高为 ， ， 随 的增大而增大， 不变， 随 的增大而增大， 故选项 和 不正确； ②当 在边 上时，如图2， ， 和 和 都不变， 在这个过程中， 不变， 故选项 不正确； ③当 在边 上时，如图3， ， 随 的增大而减小， 不变， 随 的增大而减小， 点从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项 正确； 故选： ． 【变式训练1】如图，正方形 的边长为4， 为正方形边上一动点，运动路线是 ， 设 点经过的路程为 ，以点 、 、 为顶点的三角形的面积是 ，则下列图象能大致反映 【解答】解：当点 由点 向点 运动，即 时， ； 当点 在 上运动，即 时， ，是一个定值； 当点 在 上运动，即 时， 随 的增大而减小． 故选： ． 【变式训练2】如图，点 是长方形 边上一动点，沿 的路径移动，设 点经过 的路径长为 ， 的面积是 ，则下列能大致反映 与 的函数关系的图象是 ． B． ． D． 【解答】解：点 沿 运动， 的面积逐渐变大； 点 沿 移动， 的面积不变；

瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题 【专题说明】 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和， 最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is 【知识精讲】 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系？ 考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 始终共线可得：、M、三点共线， 由Q 为P 中点可得：M=1/2． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q

专题45 线段中的动点问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题 的所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段B＝24，动点P 从出发，以 每秒2 个单位的速度沿射线B 运动，M 为P 的中点． (1)出发3 秒后，M＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） 差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P 在线段B 上时，②当点P 在B 延长线上时，根据题意列出方程 求解即可； （3）P＝2x，M＝PM＝x，PB＝2x−24，P＝1 2PB＝x−12，分别表示出M，M＋P 的长度， 即可作出判断． （1） 解：出发3 秒后，M＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答为：3；18． （2） 解：分两种情况：①当点P 在线段B 上时，设出发t 上时，设出发t 秒后，P＝2t，BP＝24−2t， ∵P＝3BP， 2 ∴t＝3（24−2t）， 1 解得t＝9； ②当点P 在B 延长线上时，设出发t 秒后，P＝2t，BP＝2t−24， ∵P＝3BP， 2 ∴t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9 秒或18 秒后，P＝3BP． （3） 解：是，理由如下： 设运动时间为x 秒， 则有P＝2x，M＝PM＝x，PB＝2x−24，P＝1

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造 【专题说明】 近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。 很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。 动点轨迹问题是中考的重要压轴点受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学 生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞掌握该压轴点的基本图形,构建问题 是中考专题复习的一个重要途径本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述动点轨迹基本类 型为直线型和圆弧型 其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2 种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返 探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3 处以上的点来确定轨迹类型 进而求出答，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点 束条件，跟着主动点动），当主动点 运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 1. 两“动”，一“定”； 2. 两动点与定点的连线夹角是定角 3. 两动点到定点的距离比值是定值。 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹 长度的比和它们到定点的距离比相同。 【引例】（选讲） 如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ=90°且P=Q，当点P 在直线B 上运动时，求 Q 点轨迹？ 【分析】当P

专题45 线段中的动点问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题 的所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段B＝24，动点P 从出发，以 每秒2 个单位的速度沿射线B 运动，M 为P 的中点． (1)出发3 秒后，M＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） 的长度是否为定值，若是，请给出证明； 若不是，请说明理由． 2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有， B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且AB=12．若有一动点P 从数轴上点出发， 以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长 度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒． (1)当t=1秒时，写出数轴上点B，P、Q ____、_______________； (2)若点P，Q 分别从，B 两点同时出发，当点P 与点Q 重合时，求t 的值； (3)若M 为线段AQ的中点，点为线段BP的中点．当点M 到原点的距离和点到原点的距离 相等时，求t 的值． 3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式\(a+10\) x 3+20 x 2-5 x +3是关于 x 的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点，B 对应的数分别为，b．

轴分别交于点和点B，点、D 分别为线段B、B 的中点，点P 为上一动点，P+PD 值最小时点P 的坐标为________ 解：当x＝0 时，y＝ ×0+4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y＝0 时， x+4＝0， 解得：x＝﹣6， ∴点的坐标为（﹣6，0）． ∵点、D 分别为线段B、B 的中点， ∴点的坐标为（﹣3，2），点D 坐标为（0，2）． 作点关于x 轴的对称点′，连接′D 轴的对称点′，连接′D 交x 轴于点P，此时P+PD 的值最小，如图所示． ∵点的坐标为（﹣3，2）， ∴点′的坐标为（﹣3，﹣2）． 设直线′D 的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b 得： ， 例题精讲 解得： ， ∴直线′D 的解析式为y＝ x+2． 当y＝0 时， x+2＝0， 解得：x＝﹣ ， ∴点P 的坐标为（﹣ ，0）， 即点P 的坐标为（﹣15，0）． 的坐标为（﹣15，0）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y ＝ （x＞0）上的一个动点，PB⊥y 轴于点B，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形PB 的面积将会（ ） ．逐渐增大 B．不变 ．逐渐减小 D．先增大后减小 解：设点P 的坐标为（x， ）， ∵PB⊥y 轴于点B，点是x 轴正半轴上的一个定点， ∴四边形PB 是个直角梯形，