44 三角形 例 2023 年河北省中考第5 题 四边形BD 的边长如图1 所示，对角线的长度随四边形 形状的改变而变化．当△B 为等腰三角形时，对角线的长为 （ ）． ．2 B．3 ．4 D．5 图1 例 2023 年重庆市中考卷第9 的长为__________． 图1 例 2023 年江西省中考第12 题 如图1，在平行四边形BD 中，∠B＝60°，B＝2B，将B 绕点逆时针旋转角α（0°＜α＜ 360°）得到P，连结P、PD．当△PD 为直角三角形时，旋转角α 的度数为__________． 图1 例 2023 年重庆市中考B 卷第9 题 如图1，在正方形BD 中，为对角线的中点，E 为正方形内一点，连结BE，BE＝B，连 结E 并延长，与∠BE 图1 例 2023 年杭州市中考第10 题 第二十届国际数学家大会会徽的设计基础是1700 多年前中国古代数学家赵爽的“弦 图”．如图1，在由四个全等的直角三角形（△DE，△BF，△BG，△D）和中间一个小正方 形EFG 拼成的大正方形BD 中，∠BF＞∠BF，连结BE．设 ∠BF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFG 与正方形BD 的面积比 为1∶，tα＝t2β，则＝（

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 ， 保持不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应 （填“增 加”或“减少”） 度． 【答】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D、∠E、∠DE 之间的关系，进行计算即可判 断． 【详解】解：∵∠+∠B=50°+60°=110°，∴∠B=180°-110°=70°，∴∠DE=70°， 如图，连接F 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的 关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含 了数形结合的思想方法． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 【答】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠＋

专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型 模型1、双角平分线模型 图1 图2 图3 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BE，F 交于点G；结论： ． 2）两外角平分线的夹角模型 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ． 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 E D C B A h1 h2 h3 E D C B A 条件：如图，BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：D 内一点，且点 到 三 边的距离相等，若 ，则 ． 【答】 【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得 ． 【详解】解：∵点P 到 三边的距离相等， ∴ 平分 ， 平分 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形BDE 中， ，DP，P

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外） ②当AB=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外） 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外） 例1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足 ，那么它的周长是（ ） ．11 B．13 ．11 或13 D．11 或15 【答】 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 、 的值，再根据 、 分别作为等腰三角形的腰，分类求 解． 【详解】解： ， ， ， ， ，解得： ， ， 当 作腰时，三边

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 的平分 线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．①若 ，求 的度数； ②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量 关系． 例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由； (2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证： ； ，连接 ，求证 ． 例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D 落在 的内部，则 （ ）． 235 245 ． B． ． D． 例6．（2023 秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中 虚线剪去 ，则 __________； （2）如图2，在 中，

专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型 模型1、双角平分线模型 图1 图2 图3 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BE，F 交于点G；结论： ． 2）两外角平分线的夹角模型 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是． 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 E D C B A h1 h2 h3 E D C B A 条件：如图，BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：D 交于点．(1)求 证：∠＝90°＋ ∠B；(2)当∠B＝90°时，且＝3D（如图2），判断线段E，D，之间的数量关系，并加以证 明． 例4．（2023 秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点 E，则 ． 例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若 ， ，求 的度数 例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D、BD

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 △周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外） ②当AB=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外） 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足 ，那么它的周长是（ ） ．11 B．13 ．11 或13 D．11 或15 例2．（2023 春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18m，且一边长是4m，则它的 腰长为（ ） ．4m B．7m ．4m 或7m D．全不对 例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（

二次函数背景下的相似三角形的存在性 二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1 先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2 简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3 复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标， 继而用待定系数法求函数解析式； 4 还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5 5 当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边 的数量关系转化到三角形的相似问题； 6 考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。 【备注】： 1 以下每题法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现 一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、 两点， 并与y 轴相交于点，如果B∥x 轴，点的横坐标是2． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设这个二次函数图象的对称轴与B 交于点D，点E 在x 轴的负半轴上，如果以点 E、、B 所组成的三角形与△BD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标； （3）设这个二次函数图象的顶点是M，求t∠M 的值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx﹣2 的图像与y 轴相交于点， ∴点的坐标为（0，﹣2），

1 如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 2 如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠=______°，∠B=_______°，∠＝ _____°。 方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另 外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2 的度数为______ 解：如图所示： 3 ∠＝180° 60° 45° 45° ﹣ ﹣ ＝75°， 因为∠1＝45°， 所以∠2＝180° 1 3 ﹣∠﹣∠＝180° 45° 75° ﹣ ﹣ ＝60°． 变式训练 【变式1-1】．如图，一副三角尺△B 与△DE 的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥， 则∠DFG 的度数为 105° ． 解法一：∵GF∥，∠＝90°， ∴∠FG＝180° 90° ﹣ ＝90°， 又∵D，F 交于一点，∠＝∠D，

三角形 模型（八）——字模型 ◎结论1：如图，∠DB+∠EB=180+∠ 【证明】∵∠DB＝∠＋∠B,∠EB＝∠＋∠B ∴ ∠DB＋∠EB＝∠＋∠B＋∠＋∠B ＝∠＋180° ◎结论2：如图，∠DB+∠EB=180+∠ 【证明】 ∵ ∠＋∠B＋∠B＝180° ∠＋∠D＋∠E＝180° 【答】 【分析】先根据∠D=155°，求出∠B=25°，再根据三角形外角的性质，求出∠1 即可． 【详解】解：∵∠D=155°， ∴∠B=180°-155°=25°， 1= ∴∠ ∠B+∠B=37°+25°=62°． 故选：． 【点睛】本题主要考查了邻补角和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，三角形的一个 外角等于不相邻的两个内角的和． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图， 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点E，则 （ ）． ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据平角的概念计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于 是解题的关键． 3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校七年级期末）如图， 中， ，点 、 分别在边 、