小学奥数思维训练：年龄问题与周期问题图形化解析 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 小明今年6 岁，爸爸34 岁。几年后爸爸年龄是小明的3 倍？ A. 6 年B. 8 年C. 10 年D. 12 年 2. 姐姐5 年前的年龄等于弟弟3 年后的年龄。姐姐今年12 岁，弟弟 今年几岁？ A. 4 岁B. 5 岁C. 6 岁D. 7 11:48。当时钟显示下午2 点时，标准时间是？ A. 14:12 B. 14:16 C. 14:20 D. 14:24 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 11. 关于年龄问题，正确说法有： A. 年龄差永远不变 B. 年龄和每年增加2 岁 C. 年龄倍数可能随时间减小 D. 两人年龄和等于年份差的2 倍 12. 哥哥今年年龄可能是： → 岁 哥哥15 岁 C. 弟弟今年10 岁，哥哥年龄是弟弟1.5 → 倍 哥哥15 岁 D. 明年年龄和是28 岁，今年差6 → 岁 哥哥16 岁 13. 周期问题中，2025 年1 月1 日是周三，则： A. 1 月8 日周三B. 1 月31 日周五 C. 2 月1 日周六D. 2025 年有53 个星期日 14. △□○△□○…

最大角——米勒问题 一、方法突破 【问题描述】 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点、B 直线l 的同一侧，在直线l 上取一点P，使得∠PB 最大，求P 点位置． P B A l 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠PB 这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． C D A B O P 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． C D A B O P 如图， ． 换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角． 【问题解决】 结论：当点P 不与、B 共线时，作△PB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． l A B O P M 证明：在直线l 上任取一点M（不与点P 重合），连接M、BM， ∠MB 即为圆的圆外角， ∴∠PB>∠MB，∠PB 最大． ∴当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． 特别地，若点、B

线段之差最值问题 内容导航 方法点拨 （1）在直线l 同侧有两点、B，在直线L 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （2）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （3）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最小． （1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 例题演练 1．如图，抛物线y＝﹣

截长补短模型证明问题 【专题说明】 截长补短法在初中几何学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿 着整个几何学的始终那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短截长就是在 较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条 件或结论中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法 于是∠BD= FB ∠ ，又∠= BF=45° ∠ ， 所以△BD BF ∽△ ， 所以BF=F=DF+D=DF+G 经过上述分析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。 截长补短模型证明问题 1．如图，在△B 中，∠＝60°，BD，E 分别平分∠B 和∠B，BD，E 交于点，试判断BE，D，B 的数量关系， 并加以证明． [来源:Z#xx#km] 证明：在B 上截取BF＝BE，连接F[]

探究动态几何问题 【命题趋势】 数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题， 以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的 动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变” 性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 【满分技巧】 【满分技巧】 1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的 和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、 面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为(1) 动点类(点在 线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点； (2) 动直线类；(3)动图形问题。 2）解决动态几 2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中 求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从 而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结 论。解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制 动。解决运动型试题需要用运

动点引起的角度问题 【一题多解 · 典例剖析】 【角度等于具体度数】 例题1（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点的对应点恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M 使得 ，则点M 的坐标 为_________． 【答】（ ，1） 【解析】解：如图，过点作E⊥y 轴于E，过点M 作MF⊥x 轴， 由题意可知：∠B=∠D=∠MF=30°，E=1，

二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数： 是矩形，点的坐标为（3，0），点的坐标为（0，6），点P 从点 出发，沿以每秒1 个单位长度的速度向点出发，同时点Q 从点出发，沿B 以每秒2 个单位 长度的速度向点B 运动，当点P 与点重合时运动停止．设运动时间为t 秒． 问题：当t=1 时，抛物线 经过P、Q 两点，与y 轴交于点M，抛物线的顶点 为K，如图2 所示，问该抛物线上是否存在点D，使 ？若存在，求出所 有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由． K

矩形的存在性问题 一、方法突破 矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形． 【题型分析】 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比 起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3 个等式： （为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3 个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3 个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2 个动点，多则可以有3 个． 题型如下： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点； （2）1 个定点+3 个半动点． 【解析思路】 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4 个点中任取3 个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3 个点构造直角三角形，再确定第4 个点．对“2 定+1 半动+1 全动”尤其适用． D1 D2 C2 x O y B A C4 x O y B A C3 x O y B A A B y O x C1 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此． 思路2：先平行，再矩形 当为对角线时，、B、、D 满足以下3 个等式，则为矩形： 其中第1、2 个式子是平行四边形的要求，再加上式3

菱形的存在性问题 一、方法突破 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个 “对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形BD 是菱形， 则其4 个点坐标需满足： 在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3 个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3 个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2 个动点，多则有3 个动点，可细分如下两大类 题型： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点 （2）1 个定点+3 个半动点 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“+=B+D”（、BD A x y O D C B A x y O C D B A x y O 思路2：先等腰，再菱形 先求点，点满足由、B、构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确 定，再确定D 点． （1）当B=时， 点坐标为 ，对应D 点坐标为 ； 点坐标为 ，对应D 点坐标为 ． （2）当B=B 时， 点坐标为（8，0），对应D 点坐标为（4，-3）；

将军饮马模型与最值问题 【模型引入】 什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】 如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使 得路程最短？ A B 将军 军营 河 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P 使得P+PB 使得P+PB 最小？ P B A 这个问题的难点在于P+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需 转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 转化为P’M+M，即过点P’作 B 垂线分别交、B 于点M、，得PM+M 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上一个动 点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ） ． B． ． D．