附7 探究动态几何问题

探究动态几何问题 【命题趋势】 数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题， 以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的 动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变” 性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 【满分技巧】 1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的 和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、 面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为(1) 动点类(点在 线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点； (2) 动直线类；(3)动图形问题。 2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中 求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从 而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结 论。解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制 动。解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其 中的等量关系和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系。 3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括 等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。 全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。 【限时检测】 卷（建议用时：90 分钟） 1．（2020·江苏南通市·中考真题）如图①，E 为矩形BD 的边D 上一点，点P 从点B 出发沿折线B﹣E﹣D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿B 运动到点停止，它们的运动速度都是1m/s．现P，Q 两点同时出发， 设运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（m2），若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形BD 的面积是（ ） ．96m2 B．84m2 ．72m2 D．56m2 【答】 【分析】过点E 作E⊥B，由三角形面积公式求出E=B=6，由图2 可知当x=14 时，点P 与点D 重合，则 D=12，可得出答． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P 运动到点E 时，x＝10，y＝30， 过点E 作E⊥B， 由三角形面积公式得：y＝ ，解得E＝B＝6，∴B=E=8, 由图2 可知当x＝14 时，点P 与点D 重合， ∴ED=4,∴B=D＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．故选：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 2．（2020·四川雅安市·中考真题）已知，等边三角形 和正方形 的边长相等，按如图所示的位 置摆放（点与E 点重合），点 共线， 沿 方向匀速运动，直到B 点与F 点重合．设运 动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为 ，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分点在EF 中点的左侧、点在EF 中点的右侧、点在F 点右侧且B 在EF 中点的左侧，点在F 点右 侧且B 在EF 中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解． 【详解】解：设等边三角形B 和正方形DEFG 的边长都为，运动速度为1， 当点在EF 的中点左侧时，设交DE 于点， 则E=t，E=Et∠B=t× = t，则S=S△E= ×E×E= ×t× t= ， 可知图象为开口向上的二次函数，当点在EF 的中点右侧时，设B 与DE 交于点M， 则E=t，BE=-t，ME= ， ∴S= ，可知图象为开口向下的二次函数； 当点在F 点右侧且B 在EF 中点的左侧时， S= ，可知图象为开口向下的二次函数； 当点在F 点右侧且B 在EF 中点的右侧时， 此时BF=2-t，MF= ，∴ ， 可知图象为开口向上的二次函数；故选： 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进 而求解． 3．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，在菱形 中，P 是对角线 上一动点，过点P 作 于点E． 于点F．若菱形 的周长为20，面积为24，则 的值为（ ） ．4 B． ．6 D． 【答】B 【分析】连接BP，通过菱形 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SB的面积，然后利用 面积法，SBP+SBP=SB，即可求出 的值． 【详解】解：连接BP，∵菱形BD 的周长为20，∴B=B=20÷4=5， 又∵菱形BD 的面积为24，∴SB=24÷2=12， 又SB= SBP+SBP∴SBP+SBP=12，∴ ， ∵B=B，∴ ∵B=5，∴PE+PF=12× = ．故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE 的值． 4．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，把某矩形纸片 沿 ， 折叠（点E、在 边 上，点F，G 在 边上），使点B 和点落在 边上同一点P 处，点的对称点为 、D 点的对称点为 ， 若 ， 为8， 的面积为2，则矩形 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】设B=D=x，由翻折可知：P′=B=x，PD′=D=x，因为△′EP 的面积为4，△D′P 的面积为1，推出D′＝ x，由S△D′P= D′P·D′= ′P·D′，可解得x=2 ，分别求出PE 和P，从而得出D 的长 【详解】解：∵四边形B 是矩形，∴B=D，D=B，设B=D=x，由翻折可知：P′=B=x，PD′=D=x， △ ∵′EP 的面积为8，△D′P 的面积为2，又∵ ，∠′PF=∠D′PG=90°， ∠ ∴ ′P D′=90°，则∠′PE+∠D′P=90°，∴∠′PE=∠D′P，∴△′EP∽△D′P， ∴′P2：D′2=8：2，∴′P：D′=2：1，∵′P=x，∴D′= x， ∵S△D′P= D′P·D′= ′P·D′，即 ，∴x=2 （负根舍弃）， ∴B=D=2 ，D′=D= ，D′P=′P=D=2 ，′E=2D′P=4 ， ∴PE= ，P= ， ∴D= = ，故选D 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（2020·湖南邵阳市·中考真题）将一张矩形纸片 按如图所示操作：（1）将 沿 向内折叠， 使点落在点 处，（2）将 沿 向内继续折叠，使点P 落在点 处，折痕与边 交于点M．若 ，则 的大小是（ ） ．135° B．120° ．1125° D．115° 【答】 【分析】由折叠前后对应角相等且 可先求出 ，进一步求出 ，再由折叠可求出 ，最后在 中由三角形内角 和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠，且 ，∴ ，即 ， ∵折叠，∴ ， ∴在 中， ，故选：． 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对 应边相等，对应角相等即可解题． 6．（2020·重庆中考真题）如图，三角形纸片B，点D 是B 边上一点，连接D，把 沿着D 翻折， 得到 ，DE 与交于点G，连接BE 交D 于点F 若 ， ， ， 的面积为 2，则点F 到B 的距离为( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】首先求出 BD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F 到BD 的距离为，根据 •BD•＝ •BF•DF，求出BD 即可解决问题． 【详解】解：∵DG＝GE，∴S△DG＝S△EG＝2，∴S△DE＝4， 由翻折可知， DB≌ DE，BE⊥D，∴S△BD＝S△DE＝4，∠BFD＝90°， ∴ •（F+DF）•BF＝4，∴ •（3+DF）•2＝4，∴DF＝1， ∴DB＝ ＝ ＝ ，设点F 到BD 的距离为， 则 •BD•＝ •BF•DF，∴＝ ，故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 7．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，在 中， ， ，将 绕点 旋转得到 ，使点 的对应点 落在 上，在 上取点 ，使 ，那么点 到 的距离等于（ ）． ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得 的长，进而可得 的长，过点D 作 DM⊥B 于点M，过点 作 于点E， 于点F，如图，则四边形 是矩形，解 Rt△ 可得 的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得 ，然后解Rt△ 可求出DF 的长，进一步即可求出结果． 【详解】解：在 中，∵ ， ，∴=2B=4， ∵将 绕点 旋转得到 ，使点 的对应点 落在 上， ∴ ，∴ ，过点D 作DM⊥B 于点M，过点 作 于点E， 于点 F，交于点，如图，则四边形 是矩形，∴ ， 在Rt△ 中， ，∴FM=1， ∵ ，∴ ， 在Rt△ 中， ，∴ ， 即点 到 的距离等于 ．故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌 握解直角三角形的知识是解题的关键． 8．（2020·浙江九年级一模）如图，已知矩形BD 中，B=6，B=4，点E 为 B 边上的中点，点F 在B 边上， 且BF＝1，动点P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， 经过若干次反弹，当动点P 第一次回到点E 时，动点P 所经过的路程长为（ ） ．8 B．16+8 ．16 D．16+12 【答】 【分析】利用反射角等于入射角画出动点的运动轨迹，再证四边形P5EF 和P2P3P4为菱形，然后利用等角对 等边证出两个菱形的边都相等，再用勾股定理计算即可 【详解】如下图蓝色线为动点的运动轨迹，可发现动点P 第一次回到点E 时共弹出六次 ∵入射角等于反射角，D B ∥，B D 1= 2= 3= 4 ∥ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴ ，∠5= 6 ∠，∠7= 8= 9= 10 ∠ ∠ ∠ ，∠11= FEB ∠ 又∵∠4＋∠5=90°，∠6＋∠7=90°，∠10＋∠11=90° 1= 2= 3= 4= 7= 8= 9= 10 ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，∠5= 6= 11= FEB ∠ ∠ ∠ 由∠1= 8 ∠，∠3= 10 EF P ∠ ∥ ∴ 5P4，P5E P ∥ 2PF 所以四边形 P5EF 为平行四边形， 在△P5E 和△FBE 中 ∴△P5E FBE ≌△ （S）所以E=EF ∴四边形P5EF 为菱形同理可证四边形P2P3P4为菱形 又∵∠2= 8 P ∠∴ 4=F∴两个菱形的边都相等， 在Rt EFB △ 中 故动点P 所经过的路程长为8 故选 【点睛】此题考查的是入射角等于反射角，矩形的性质，菱形的判定及勾股定理 9．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）如图， 中， ， ， ，以 点 为圆心3 为半径的优弧 分布交 ， 于点 ， 点 优弧 上的动点，点 为 的中 点，则 长的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】首先根据勾股定理求得B=8，然后根据 的性质求得E 和E 的长，当点P 在M 处 时，有最小值，此时 ，在 中应用勾股定理即可求解；当P 在点处时，有最大值，根 据 的性质求出F、F、F，然后在 中应用勾股定理即可求解． 【详解】∵=6，B=10，=M=3 M=-M=3 ∴ ∴在 中， 过点作 于点E ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， 当点P 在点M、处时，分别有最小值和最大值；当点P 在M 处时，有最小值 ∵是BP 的中点， ∴ ∴在 中， ∴ 当P 在点处时，有最大值 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 在 中， 综上所述， 故选D． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题 意讨论两种情况是本题的关键． 10．（2020·洛阳市第二外国语学校九年级二模）如图1，在△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，动点P 从点B 开始 沿边B、向点以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边B 向点以恒定的速度移动，两点同时到达点，设 △BPQ 的面积为y（m2）．运动时间为x（s），y 与x 之间关系如图2 所示，当点P 恰好为的中点时，PQ 的 长为（ ） ．2 B．4 ．2 D．4 【答】 【分析】点P、Q 的速度比为3： ，根据x＝2，y＝6 ，确定P、Q 运动的速度，即可求解． 【详解】解：设B＝，∠＝30°，则＝2，B＝ ，设P、Q 同时到达的时间为T， 则点P 的速度为 ，点Q 的速度为 ，故点P、Q 的速度比为3： ， 故设点P、Q 的速度分别为：3v、 v， 由图2 知，当x＝2 时，y＝6 ，此时点P 到达点的位置，即B＝2×3v＝6v，BQ＝2× v＝2 v， y＝ B×BQ＝ 6v×2 v＝6 ，解得：v＝1， 故点P、Q 的速度分别为：3， ，B＝6v＝6＝，则＝12，B＝6 ， 如图当点P 在的中点时，P＝6，此时点P 运动的距离为B+P＝12，需要的时间为12÷3＝4， 则BQ＝ x＝4 ，Q＝B﹣BQ＝6 4 ﹣ ＝2 ，过点P 作P⊥B 于点， P＝6，则P＝Ps＝6× ＝3，同理＝3 ，则Q＝﹣Q＝3 2 ﹣ ＝ ， PQ＝ ＝ ＝2 ，故选：． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进 而求解． 11．（2020·江苏无锡市·九年级其他模拟）如图，动点 从（0，3）出发，沿 轴以每秒1 个单位长度的 速度向下移动，同时动点 从 出发，沿 轴以每秒2 个单位长度的速度向右移动，当点 移动到 点时，点 、 同时停止移动．点 在第一象限内，在 、 移动过程中，始终有 ，且 ．则在整个移动过程中，点 移动的路径长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由题意过P 点作 交于D 点，作 交于E 点，并利用全等三角形判定 ,得出 ，从而分当 时，有 （0，3）， ，设P 点坐标为 以及当 时，有 、（0，0）， 、 ，设P 点坐标为 ，求出P 点坐标，继而由点 移动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点 移动的路径长 【详解】解：由题意过P 点作 交于D 点，作 交于E 点，如图， ∵ ，∴ ,∴ , ∵ ,∴ ,即有 ,由题意可知 ， 当 时，有 （0，3）， ，设P 点坐标为 ， 由 ，即有 ，解得 ，即此时P 点坐标为 ； 当 时，有 、（0，0）， 、 ，设P 点坐标为 ， 由 即图上 ，即有 ， 解得 ，即此时P 点坐标为 ；由图可知点 移动的路径为一条线段， 则点 移动的路径长为： 故选： 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式 是解题的关键 12．（2020·安徽）边长为4、中心为 的正方形 如图所示，动点 从点 出发，沿 以每秒1 个单位长度的速度运动到点 时停止，动点 从点 出发，沿 以每秒2 个单位长度的速度运动一周停止，若点 同时开始运动，点 的运 动时间为 ，当 时，满足 的点 的位置有（ ） ．6 个 B．7 个 ．8 个 D．9 个 【答】B 【分析】依次取 的中点 ，连接 ．由题意可知，当 点 与点 到各自所在边的中点的距离相等时， ，则有六种情况，分类列式计算求出t 的值， 即可解答本题． 【详解】解：依次取 的中点 ，连接 ． 根据题意，得点 运动的路程为，当 时，点 运动的路程为 ． 分析题意可知，当点 与点 到各自所在边的中点的距离相等时， ． 当 时，显然 ； ②当 时，如图（1），点 在 上，点 在 上， ， 由 ，得 ； ③当 时，如图（2），点 在 上，点 在 上， ， 由 ，得 或 ； ④当 时，如图（3），点 在 上，点 在 上， ， 由 ，得 （舍去）或 ； ⑤当 时，如图（4），点 在 上，点 在 上， ， 由 ，得 或 ； ⑥当 时，点 停在点 处，因此当 时， ，只有 时满足 ． 综上，满足条件的点 的位置有7 个，故选：B． 【点睛】本题结合动点考查考生空间想象的能力与分析问题、解决问题的综合能力，体现了逻辑推理、数 学运算的核心素养． 分析题意时，需注意时间的取值范围不含0 和16，第 后点 停止运动，且与点 重合． 13．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）如图，等边 中， ，点 ，点 分别是边 ， 上 的动点，且 ，连接 、 交于点 ，当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径的长 度为_________． 【答】 【分析】如图，作过、B、F 作⊙, 为点F 的轨迹，然后计算出, 的长度即可． 【详解】解：如图：作过、B、F 作⊙,过作G⊥B ∵等边 ∴B=B,∠B=∠=60° ∵ △ ∴BE △ ≌B ∠ ∴ BD=∠BE ∠ ∵ B=∠BE+∠EB=60° ∠ ∴ BE+∠BD=60° ∠ ∴ FB=120° ∠ ∵ FB 是弦B 同侧的圆周角∴∠B=120° ∵G⊥B,=B ∠ ∴ BG=∠G= ∠B=60°,BG= B= ∠ ∴ BG=30° 设B=x，则G= x∴ ，解得x= 或x=- （舍） ∴ 的长度为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30 度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意 确定点F 的轨迹是解答本题的关键． 14．（2020·广西中考真题）如图，在边长为 的菱形 中， ，点 分别是 上的动点，且 与 交于点 当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径长为_____． 【答】 【分析】根据题意证得 ，推出∠BPE =60 ，∠BPD =120 ，得到、B、P、D 四点共圆，知 点 的运动路径长为 的长，利用弧长公式即可求解． 【详解】连接BD，∵菱形 中， ，∴∠=∠=60 ，B=B=D=D， △ ∴BD 和△BD 都为等边三角形，∴BD=D，∠BDF=∠DE=60 ， ∵DF=E，∴ ，∴∠DBF=∠DE， ∠ ∵ BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠DE=∠BDF =60 ，∴∠BPD=180 -∠BPE=120 ， ∠ ∵ =60 ，∴∠+∠BPD =180 ，∴、B、P、D 四点共圆，即⊙是 的外接圆， ∴当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径长为 的长，∴∠BD =2∠BD =120 ， 作G⊥BD 于G，根据垂径定理得：BG=GD= BD= ，∠BG = ∠BD =60 ， ∵ ，即 ，∴ ，从而 点的路径长为 ． 【点睛】