93 最大角——米勒问题

最大角——米勒问题 一、方法突破 【问题描述】 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点、B 直线l 的同一侧，在直线l 上取一点P，使得∠PB 最大，求P 点位置． P B A l 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠PB 这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． C D A B O P 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． C D A B O P 如图， ． 换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角． 【问题解决】 结论：当点P 不与、B 共线时，作△PB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． l A B O P M 证明：在直线l 上任取一点M（不与点P 重合），连接M、BM， ∠MB 即为圆的圆外角， ∴∠PB>∠MB，∠PB 最大． ∴当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． 特别地，若点、B 与P 分别在一个角的两边，如下图，则有 ．（切割线定 理） A B O P 证明：∵∠P=∠BP，∠P=∠BP（弦切角定理） ∴△P∽△PB， ∴ ， ∴ ． 即可通过、B 线段长确定P 长，便知P 点位置． 二、典例精析 例一：练习：如图，在平面直角坐标系中，（1，0）、B（5，0）直线l 经过点（-1， 2），点P 是直线l 上的动点，若∠PB 的最大值为45°，求直线l 的解析式． l x y A B C 【分析】 考虑到直线l 未知但∠PB 的最大值已知为45°，故构造圆． 记△BP 外接圆圆心为M 点，则∠MB=2∠PB=90°， 故可确定M 点位置． M C B A y x P 根据（1，0）、B（5，0），不难求得M 点坐标为（3，2）， 连接M、MP，考虑到圆M 与直线P 相切，故MP⊥P，△PM 是直角三角形． ∵M=4，MP=M= ， ∴ ，即△PM 是等腰直角三角形， 易求P 点坐标为（1，4）， 又点坐标为（-1，2）， 可求直线l 的解析式为y=x+3． 三、中考真题对决 1 如图，抛物线 与 轴交于（-1，0）、 两点，与y 轴交于点，过点作 D⊥y 轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x 轴，垂足为点E，双曲线 经过点D， BD． （1）求抛物线的表达式； （2）动点P 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿方向运动，运动时间为t 秒，当t 为 何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果） 备用图 y x O D C B A A B C D O x y 【分析】 （1）考虑到点D 纵坐标与点相同，为3，代入反比例解析式，可得D 点坐标为（2，3）， 根据、D 坐标可得抛物线解析式： ． （2）求t 即求P 点位置． 思路2：切割线定理 延长BD 交y 轴于M 点，则当 时，∠BPD 最大． 考虑到B（3，0）、D（2，3），可得直线BD 解析式： ， 故直线BD 与y 轴交点M 点坐标为（0，9）， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴P 点坐标为 ， 故t 的值为 P M C O A B D x y