面积比例问题 一、方法突破 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比 例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B、D、三点共线，考虑△BD 和△D 面积之比． D C B A 转化为底： 共高，面积之比化为底边之比：则 共高，面积之比化为底边之比：则 ． H A B C D 更一般地，对于共边的两三角形△BD 和△D，连接B，与D 交于点E，则 ． M N E D C B A 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值 比如常见有：“”字型线段比、“8”字型线段比． “”字型线段比： ． M D C B A “8”字型线段比： ． M D C B 轴交B 边于点G，则 ，又=3，故点G 满足DG=2 即可．这个问 题设D 点坐标即可求解． 也可以构造水平“8”字，过点D 作DG∥x 轴交B 于点G，则 ，又B=3，∴DG=2 即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议． G F y x O D C B A 其实本题分析点的位置也能解： 思路3：设点D 坐标为 ， 根据F：DF=3：2，可得F 点坐标为

三角形中的最值问题与分类讨论问题 三角形中的最值问题（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹问题）、胡不归模 型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难 的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是： ①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变 对称变换、旋转变 换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。特殊三角 形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有 比较清晰的认识。 1、三角形中的最值问题：将军饮马模型 【解题技巧】 将军 饮马 模型 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 D=2，由勾股定理得：D= = =2 ， ∵E（1，0），∴E=4﹣1﹣2=1，在Rt△DE 中，由勾股定理得：DE= = = ， 即P+P 的最小值是 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30 度角的直角三角形 的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P 的位置以及表示P+PE 的最小值的线段是解题的关键． 变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△B

等角存在性问题 一、方法突破 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型， 根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； 考虑到B、点坐标的特殊性，可以发现，过点B 作BM⊥x 轴，易得△BM 是等腰直 角三角形，即有∠MB=∠MB， N M y x D C B A P O O P A B C D x y 可转化问题“∠PB=∠BD”为“∠PB+∠BM=∠BD+∠BM”， 即∠PBM=∠DM． 由题意得： ，故 ， 转化为直线BP 的条件即为“ ”， 可得直线BP 解析式为： ， 联立方程： ，解得：

最大角——米勒问题 一、方法突破 【问题描述】 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点、B 直线l 的同一侧，在直线l 上取一点P，使得∠PB 最大，求P 点位置． P B A l 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠PB 这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． C D A B O P 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． C D A B O P 如图， ． 换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角． 【问题解决】 结论：当点P 不与、B 共线时，作△PB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． l A B O P M 证明：在直线l 上任取一点M（不与点P 重合），连接M、BM， ∠MB 即为圆的圆外角， ∴∠PB>∠MB，∠PB 最大． ∴当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． 特别地，若点、B

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 解析式为：y=-x+1， 联立方程： ，解之即可． 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点作B 的平行线，与抛物线交点即为所求P 轴上方的抛物线上是否存在点 （不与 点重合），使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C O x y 【分析】 （1）抛物线解析式为：y=-x²+2x+3； （2）将军饮马问题，作点关于对称轴的对称点’（2,3），连接’，与对称轴交点即为所 求P 点，可得P 点坐标为（1,2），△P 的周长亦可求． P C' y x O C B A （3）过点作P 平行线与抛物线交点即为M

线段之差最值问题 内容导航 方法点拨 （1）在直线l 同侧有两点、B，在直线L 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （2）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （3）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最小． （1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 例题演练 1．如图，抛物线y＝﹣

截长补短模型证明问题 【专题说明】 截长补短法在初中几何学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿 着整个几何学的始终那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短截长就是在 较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条 件或结论中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法 于是∠BD= FB ∠ ，又∠= BF=45° ∠ ， 所以△BD BF ∽△ ， 所以BF=F=DF+D=DF+G 经过上述分析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。 截长补短模型证明问题 1．如图，在△B 中，∠＝60°，BD，E 分别平分∠B 和∠B，BD，E 交于点，试判断BE，D，B 的数量关系， 并加以证明． [来源:Z#xx#km] 证明：在B 上截取BF＝BE，连接F[]

探究动态几何问题 【命题趋势】 数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题， 以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的 动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变” 性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 【满分技巧】 【满分技巧】 1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的 和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、 面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为(1) 动点类(点在 线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点； (2) 动直线类；(3)动图形问题。 2）解决动态几 2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中 求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从 而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结 论。解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制 动。解决运动型试题需要用运

最值问题隐圆模型（全国通用） 一、单选题 1．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B，B＝4m，D 是中线，点E、F 同时从点D 出发，以相 同的速度分别沿D、DB 方向移动，当点E 到达点时，运动停止，直线E 分别与F、B 相交 于G、，则在点E、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ） ．2 B．π ．2π D． π 【答】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：如图， ∴∠PQ=∠PQ，而 ， ∴∠PQ=∠QP， ∴∠QP=∠PQ， ∴Q=P=7． 故选：B． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，求圆外一点 到圆的距离的最值问题，解决本题的关键是确定点′在P 上时，′的值最小． 5．如图， 的半径是 ，P 是 上一动点，是 内部一点，且 ，则下列说 法正确的是（ ） ①P 的最小值为 ；②P 的最大值为 ；③当 ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∵ ， P=MP= ∴ =1， BP=4-1=3 ∴ ， 在 中， ， ∴ ． B ∴ 的最小值为 ． 故选：． 【点睛】 本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的 知识解决． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x 轴、y 轴相交于点、B，点E、F 分别是正方形D 的边D、上的动点，且 ，过原点作

面积等量问题的存在性 方法点拨 面积转化 例题演练 1．抛物线y＝﹣ x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，连接B． （1）如图1，求直线B 的表达式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接P，PB，当△PB 面积最大 时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点处，最后到达线段B ，0）； 6．如图，抛物线l1：y＝﹣x2平移得到抛物线l2，且经过点（0，0）和点（4，0），l2的顶 点为点B，它的对称轴与l2相交于点，设l1、l2与B 围成的阴影部分面积为S，解答下列 问题： （1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标． （2）求点的坐标，并直接写出S 的值． （3）在直线上是否存在点P，使得S△P＝ S？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请 说明理由．