12 三角形中的最值问题与分类讨论问题

三角形中的最值问题与分类讨论问题 三角形中的最值问题（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹问题）、胡不归模 型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难 的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是： ①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变 换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。特殊三角 形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有 比较清晰的认识。 1、三角形中的最值问题：将军饮马模型 【解题技巧】 将军 饮马 模型 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 ，B 为定点，l 为定直 线，P 为直线l 上的一个 动点，求P+BP 的最小 值 ，B 为定点，l 为定直线，M 为直线l 上 的一条动线段，求M+B 的最小值 ，B 为定点，l 为定直 线，P 为直线l 上的一个 动点，求|P-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定 直线l 的对称点 先平移M 或B 使M，重合，然后作其 中一个定点关于定直线l 的对称点 作其中一个定点关于定 直线l 的对称点 例1．（2021·湖北省江夏区初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△B 的顶点在x 轴上，点 的坐标为（4，0），∠B=30°，点E 的坐标为（1，0），点P 为斜边B 上的一个动点，则 P+PE 的最小值为_____． 【答】 【分析】作关于B 的对称点D，连接ED 交B 于P，连接P，过D 作D⊥于，则此时P+P 的 值最小，求出M 和D，再求出D、E，根据勾股定理求出ED，即可得出答． 【解析】作关于B 的对称点D，连接ED 交B 于P，连接P，过D 作D⊥于， 则此时P+P 的值最小，∵DP=P，∴P+PE=PD+PE=ED， ∵点的坐标为（4，0），∠B=30°，∴=4，∴M= =2，∴D=2×2=4， ∠ ∵ MB=90°，∠B=60°，∴∠BM=30°， ∠ ∵ D=∠B=90°，∴D∥B，∴∠D=∠BM=30°， = ∴ D=2，由勾股定理得：D= = =2 ， ∵E（1，0），∴E=4﹣1﹣2=1，在Rt△DE 中，由勾股定理得：DE= = = ， 即P+P 的最小值是 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30 度角的直角三角形 的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P 的位置以及表示P+PE 的最小值的线段是解题的关键． 变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△B 中，E 为边的中点，D 垂直平分 B，P 是D 上的动点．若D=6，则EP+P 的最小值为_______________． 【答】6 【分析】要求EP+P 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，P 的值，从而找出其最小值 求解． 【详解】解：作点E 关于D 的对称点F，连接F， △ ∵B 是等边三角形，D 是B 边上的中垂线， ∴点E 关于D 的对应点为点F，∴F 就是EP+P 的最小值． △ ∵B 是等边三角形，E 是边的中点，∴F 是B 的中点， ∴F=D=6，即EP+P 的最小值为6，故答为6． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性 质是本题的关键． 变式2．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在 中， ，直线EF 是B 的垂直平分线，D 是B 的中点，M 是EF 上一个动点， 的面积为12， ，则 周长的最小值是______． 【答】8 【分析】连接D，M，由EF 是线段B 的垂直平分线，得到M=BM，则△BDM 的周长 =BD+BM+DM=M+DM+BD，要想△BDM 的周长最小，即要使M+DM 的值最小，故当、 M、D 三点共线时，M+DM 最小，即为D，由此再根据三线合一定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接D，M，∵EF 是线段B 的垂直平分线，∴M=BM， △ ∴BDM 的周长=BD+BM+DM=M+DM+BD，∴要想△BDM 的周长最小，即要使M+DM 的 值最小， ∴当、M、D 三点共线时，M+DM 最小，即为D， ∵B=，D 为B 的中点，∴D⊥B， ，∴ ， ∴D=6，∴△BDM 的周长最小值=D+BD=8，故答为：8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根 据题意得到当、M、D 三点共线时，M+DM 最小，即为D． 变式3．（2021·重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P 到直线l1 的距离为6，点Q 到直线l2的距离为4，PQ=4√30 ，在直线l1上有一动点，直线l2上有一 动点B，满足B⊥l2，且P+B+BQ 最小，此时P+BQ=______． 【答】16． 【详解】 作PE⊥l1于E 交l2于F，在PF 上截取P=8，连接Q 交l2于B，作B⊥l1于，此时P+B+BQ 最 短．作QD⊥PF 于D．在Rt△PQD 中，∵∠D=90°，PQ= ，PD=18，∴DQ= = ，∵B=P=8，B∥P，∴四边形BP 是平行四边形，∴P=B，D=10， ∴P+BQ=B+BQ=Q= = =16．故答为16． 例2．（2021·上虞市初二月考）如图，点P 是∠B 内任意一点，P=6m，点M 和点分别是射 线和射线B 上的动点，若△PM 周长的最小值是6 m，则∠B 的度数是（ ） ．15 B．30 ．45 D．60 【答】B 【分析】分别作点P 关于、B 的对称点、D，连接D，分别交、B 于点M、，连接、D、 PM、P、M，由对称的性质得出PM=DM，P=，∠=∠P；P=D，P=D，∠DB=∠PB，得出 ∠B= ∠D，证出△D 是等边三角形，得出∠D=60°，即可得出结果． 【解析】分别作点P 关于、B 的对称点、D，连接D， 分别交、B 于点M、，连接、D、PM、P、M，如图所示： ∵点P 关于的对称点为D，关于B 的对称点为，∴PM=DM，P=D，∠D=∠P； ∵点P 关于B 的对称点为，∴P=，P=，∠B=∠PB，∴=P=D，∠B= ∠D， △ ∵PM 周长的最小值是6m，∴PM+P+M=6，∴DM++M=6， 即D=6=P，∴=D=D，即△D 是等边三角形，∴∠D=60°，∴∠B=30°，故选：B． 【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴 对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键． 变式4．（2021·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽 象出数学模型： 直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB  的值最小．解法：如 图1，作点A 关于直线l 的对称点A，连接A B  ，则A B  与直线l 的交点即为P ，且 PA PB  的最小值为A B  ． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，ABC  中， 90 C   ， 2 AC BC  ，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE  的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，ABC  中， 2 AC ， 30 A   ，若在AB 、AC 上各取一点 M 、N 使CM MN  的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 【答】（1）10 ；（2）3 ，图和理由见解析 【分析】（1）作点关于B 的对称点′，连接′E 交B 于P，此时P+PE 的值最小．连接B′，先 根据勾股定理求出B′的长，再判断出∠′B=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点关 于直线B 的对称点′，作′⊥于交B 于M，连接′，根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：（1）如图2 所示，作点关于B 的对称点′，连接′E 交B 于P，此时P+PE 的值 最小．连接B′．由勾股定理得，B′=B= 2 2 BC AC  = 2 2 2 2  =2 2 ， ∵E 是AB 的中点，∴BE= 1 2 B= 2 ， ∵ 90 C   ， 2 AC BC  ，∴∠′B=∠B=45°，∴∠′B=90°， ∴P+PE 的最小值=′E= 2 2 ' A B BE  =     2 2 2 2 2  = 10 ．故答为：10 ； （2）如图3，作点关于直线B 的对称点′，作′⊥于交B 于M，连接′，则′==2， ∠′B=∠B=30°，∴△′为等边三角形，∴∠′=30°，∴= 1 2 ′=1， ∴M+M 的最小值为′= 2 2 2 1  = 3 ． 【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含 30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数 学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 变式5．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形BD 中，∠BD＝50°，∠B＝∠D＝ 90°，在B、D 上分别取一点M、，使△M 的周长最小，则∠M＝_____°． 【答】80 【分析】作点关于B、D 的对称点1、2，根据轴对称确定最短路线问题，连接1、2分别交 B、D 于点M、，利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，再根据轴对称的性质和角的和 差关系即可得∠M． 【详解】如图，作点关于B、D 的对称点1、2，连接1、2分别交B、D 于点M、，连接 M、，则此时△M 的周长最小， ∠ ∵ BD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∠ ∴ 1+∠2＝180°﹣130°＝50°，∵点关于B、D 的对称点为1、2，∴＝2，M＝M1， ∠ ∴ 2＝∠D，∠1＝∠MB，∴∠D+∠MB＝∠1+∠2＝50°， ∠ ∴ M＝∠BD﹣（∠D+∠MB）＝130°﹣50°＝80°，故答为：80． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间 线段最短问题是解决本题的关键． 变式6．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△B 沿D 折叠使得顶点恰好落在B 边上的 点M 处，D 在B 上，点P 在线段D 上移动，若＝6，D＝3，BD＝7，则△PMB 周长的最小 值为 ___． 【答】18 【分析】首先明确要使得△PMB 周长最小，即使得PM+PB 最小，再根据翻折的性质可知 PM=P，从而可得满足P+PB 最小即可，根据两点之间线段最短确定B 即为最小值，从而求 解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，M=，PM=P，∴M 点为B 上一个固定点，则BM 长度固 定， ∵△PMB 周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB 周长最小，即使得PM+PB 最小， ∵PM=P，∴满足P+PB 最小即可，显然，当P、B、三点共线时，满足P+PB 最小，如图所 示， 此时，P 点与D 点重合，P+PB=B，∴△PMB 周长最小值即为B+BM， 此时，作DS⊥B 于S 点，DT⊥延长线于T 点，Q⊥B 延长线于Q 点， 由题意，D 为∠B 的角平分线，∴DS=DT，∵ ， ， ∴ ，即： ，∴ ，解得：B=14， ∵M==6，∴BM=14-6=8，∴△PMB 周长最小值为B+BM=3+7+8=18，故答为：18． 【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分 线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键． 2、三角形中的最值问题：瓜豆原理 （动点轨迹问题） 【解题技巧】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接 后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。②当某动点到某条直线的距离不变时，该动 点的轨迹为直线。③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则 点的轨迹为直线。 如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨 迹是？ 当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为 P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条 直线． 例1．（2021·成都市石室天府中学八年级月考）如图，在 中， ，点 分别在 上， 将 沿 翻折，点 落在 处，则线段 ' BA 长度的最小值为_____． 【答】2 39 2 3  【分析】过B 作BH CA  交CA 延长线于H ，连结BN ，由题意易得 1 3 3 2 AH AB   ， 2 2 9 BH AB AH   ，进而可得B、 ' 2 3 AN A N   ，然后 根据三角不等关系可进行求解 ' BA 最小值． 【详解】解：过B 作BH CA  交CA 延长线于H ，连结BN 120 , BAC     180 60 , BAH BAC      , BH AC   90 , 30 BHA ABH     ， 6 3, AB AC    1 3 3 2 AH AB    ， 2 2 9 BH AB AH    ， 1 3 AN AC   ， 2 3, AN   5 3, HN AH AN     2 2 2 39, BN HB HN     AMN   沿MN 翻折得到 ' , A MN  ' 2 3, AN A N    ' ' BA BN A N    ，当且仅当 , ', B A N 三点共线时，线段 ' BA 长度取得最小值， ' BA  的最小值为2 39 2 3  ．故答为：2 39 2 3  ． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及折叠的性质，关键是根 据折叠的性质及三角不等式得到线段的最值，进而求解即可． 变式1．（2021·广东·八年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝6， ，点 F 在边上，并且F＝2，点E 为边B 上的动点，将△EF 沿直线EF 翻折，点落在点P 处，则 点P 到边B 距离的最小值是 。 【答】 ﹣2． 【分析】先依据勾股定理求得B 的长，然后依据翻折的性质可知PF＝F，故此点P 在以F 为圆心，以2 为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥B 时，点P 到B 的距离最短，然 后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示：当PE∥B． 在Rt△B 中，∵∠＝90°，＝6， ，∴B=12， 由翻折的性质可知：PF＝F＝2，∠FPE＝∠＝90°．F=4, ∵PE∥B，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD 有最小值．FD= ∴PD＝DF﹣FP＝ ﹣2． 例2 （2021·重庆八年级月考）在 中， ， ， ，点D 是直 线B 上一动点，连接D，在直线D 的右恻作等边 ，连接E，当线段E 的长度最小时， 则线段D 的长度为_______． 【答】3 【详解】解：如图，以为边向左作等边三角形F，连接DF， ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， 当 时，DF 的长是最小的，即E 的长最小， ∵ ， ，∴ ， ， ∴当线段E 的长度最小时，则线段D 的长度为3． 故答是：3． 变式2．（2021·东北师大附属明达学校九年级二模）数学兴趣活动课上，小致将等腰 ABC  的底边BC 与直线l 重合．（1）如图(1)，在ABC  中， 4, 120 AB AC BAC     ，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到 直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________． （2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图(2)，在 ABP △ 中，作AD 平分 , BAP  交BP 于点 , D 点E F 、 分别是边AD AP 、 上的动点，连 结 , PE EF 、 小致尝试探索PE EF  的最小值，小致在AB 上截取 , AN 使得 , AN AF  连 结 , NE 易证 AEF AEN V V ≌ ，从而将PE EF  转化为 , PE EN  转化到（1）的情况，则 PE EF  的最小值为 ； （3）解决问题：如图(3)，在ABC  中， 90 , 30 , 6 ACB B AC      o ，点D 是边 CB 上的动点，连结 , AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段 , AP 连结CP ，求 线段CP 的最小值． 【答】（1）2；（2）3 ；（3）3． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；（2）根据小致的思路，把将PE EF  转 化为 , PE EN  即P，E，三点共线且PN AB  时PE EF  的值最小；（3）在AB 上取 一点K ，使得AK AC  ，连接CK ，DK ．由 PAC DAK △ ≌△ ，推出PC DK  ，易知 KD BC  时，KD 的值最小，求出KD 的最小值即可解决问题． 【详解】（1）如图，过点作  AP BC ，此时P 的值最小． ∵ 4, 120 AB AC BAC     ， 30 ABC   ， 1 2 2 AP AB   ，故答为：2． （2）根据小致的思路作出图形，可知当PN AB  时PE EF  的值最小，如图： ∵ 30 ABC   ， 1 2 2 AP AB  ，∴ 2 3 BP  ， ∵1 1 2 2 BP AP AB PN    ，∴ 3 PN  ，故答为：3 ． （3）如图3 中，在AB 上取一点K ，使得AK AC  ，连接CK ，DK ． 90 ACB     ， 30 B   ， 60 CAK   ， PAD CAK   ， PAC DAK   ， PA DA   ，CA KA  ， ( ) PAC DAK SAS  △ ≌△ ， PC DK   ， KD BC   时，KD 的值最小，最小值为3， PC  的最小值为3． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形 的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 变式3