卷）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） ．❑ √12 B．❑ √x 2+1 ．❑ √ 1 5 D．❑ √a 2 2．(3 分）（云南省昆明市五华区2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）实数，b 在 数轴上的位置如图所示，则化简❑ √a 2− ❑ √b 2− ❑ √(a−b) 2的结果是（ ） ．−2b B．−2a ．2b−2a D．0 3．(3 分）（2022 '处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）． ．124° B．114° ．104° D．56° 6．(3 分）（浙江省杭州市杭州江南实验学校2022-2023 学年八年级上学期期中数学试题） 1 如图，在等腰直角中△ABC，∠BAC=90°，AD是△ABC的高线，E 是边AC上一点， 分别作EF ⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了 BG 2+C G 分）（浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023 学年八年级上学期期中数学试题）如 图，在Rt △ABC中，点D，E 分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD=AE， 已知BC=6，AB=8，则BD+CE的最小值是（ ） ．❑ √136 B．10 ．96 D．5+❑ √45 8．(3 分）（河南省驻马店市驿城区实验中学2022-2023 学年八年级上学期期末数学试题） 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点顺时针旋转到△A

2b−3、2c−3的平均数是___________． 【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023 学年七年级上学期期末数学试题）如果m个 数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______． 【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）将一组 数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为( ) ) ．31 B．30 ．1 D．29 【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023 学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数 据1，2，3，4 的平均数为k1；数据5，6，7，8 的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据 1，2，3，4，5，6，7，8 的平均数为m，那么k 与m 的关系是（ ） ．k>m B．k=m ．k数学试题） 某同学求30 个数据的平均数时，漏加了一个数据50，正确计算出这29 个数据的平均数为 20，则实际30 个数据的平均数为__________． 【变式5-2】（2022·上海浦东新·模拟预测）某班在统计全班33

ΔBOC 1．（江西省南昌市第十九中学2019-2020 学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，B＝E，B E ⊥， D＝，D⊥，点M 为B 的中点， 求证：DE＝2M 1．（河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020 学年八年级上学期期末数学试题）阅读情境：在综合实 践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题” 如图1， ，其中 ， ，此时，点 时，直接写出线段 的长为_________． ②如图5，当旋转到点 是边 的中点时，直接写出线段 的长为____________． 2．（重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022 学年九年级下学期5 月月考数学试题）已知 ， ， ，点 线段 中点，连接 ． 为平面内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 交于点 ，若 ， ，求 的面积； 内部作等边 △PD，连接P，BP．若△PD 是△PB 的“旋补三角形”，请直接写出△PB 的“旋补中线”长及四边形BD 的 边D 长． 2．（2020 年湖北省随州市曾都区九年级升学适应性考试数学试题）我们定义：如图1，在 中，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋 补中线”． 【特例感知】

的△PQR 的面积是△B 的面积的（ ） ． B． ． D． 3．（广东2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为D，E 为 的中点， 与 交于点F，则 的长为 ． 4．（2022 年山西中考一模数学试题）如图，在 中， ， ， ． 是 边上的中线．将 沿 方向平移得到 ． 与 相交于点 ，连接 并延长，与边 相 交于点 ． 5．（2022 年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图， 为 的直径，为 上一点， 的 切线 交 的延长线于点D，E 为 的中点， 交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长为 ． 6．（2023 年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在□BD 中，对角线，BD 相交于点， ， ， ， 的平分线分别交，B 于点E，F．则线段E 至点E，使得E＝D，过点E 作EF⊥D 于点F，再延长EF 交B 于点 M．（1）若D 为B 的中点，B＝4，求D 的长；（2）求证：BM＝ D． 15．（2023 年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图， 为 的直径，为 上一点， 的 切线 交 的延长线于点D，E 为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点F． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．

的长为 ． 8．（山东2022-2023 学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形BD 中，点E、F、分别是B、B、D 的中点，E、DF 交于G，连接G、G．下列结论：①G=D；②G⊥G；③∠DG=60°；④∠GE=∠BE．其中正 确的有 ． 9．（江西2023-2024 学年九年级月考数学试题）在矩形纸片 中， ， ，将纸片折叠． (1)如图1，若沿 对折，使点恰好落在 上得到点E，求 的长． (2)如图2，若沿对角线 折叠，使点落在点F 处， 与 交于点E，求 的长． (3)如图3，若沿 折叠，使点与点重合，求折痕 的长． 10．（2023 年成都市中考三模数学试题）已知正方形 的边长为6，动点 分别在边 上运 动，连接 ．(1)如图1，过 作 交边 于点 ，交 于点 ．）若 为 的中点， 为 的中点，求 的长；ⅱ）探索线段 之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2， 的距离 ，求 的长；ⅱ）点 到 的距离是否存在最 大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 11．（四川省成都市2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形 中，E 为边 上一点（不与点B、重合），过点D 作垂直于 的一条直线 ，垂足为G，交 于点F．小明发现可以通过证明： 得 （不需证明） 【模型探究】（1）如图2，在正方形

∴△FB 是等腰直角三角形，F 为直角顶点 1．（山东省莱城区（五四学制）2017-2018 学年八年级上学期期末数学试题）如图，两个等腰 和 ， 点 在 上， ，连接 ，取 的中点 ，连接 求证： 1．（湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021 学年八年级下学期期中数学试题）某研究性学习小组在探究矩形 的折纸问题时，将一块直角三角板的直角项点绕矩形BD（B＜B）的对角线的交点旋转（图①⇒图②），图中的 (3)若B＝8，＝15，点D 在边上（不与点，重合），D＝2D，将线段D 绕点旋转，点K 始终为BD 的中点，则线段 K 长度的最大值是多少？请直接写出结果． 2．（2019 年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级一模数学试题）如图，在 中，∠8=90°，∠B=，点D 在边上（不 与点、重合）连接BD，点K 为线段BD 的中点，过点D 作 于点E，连结K，EK，E，将△DE 绕点顺时针 旋转一定的角度（旋转角小于90

（3）边角关系： ， ， 【知识点2 解直角三角形的类型和解法】 【题型1 格中解直角三角形】 【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023 学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由 6 个形状、大小完全相同的菱形组成的格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠） 为120°，、B、都在格点上，则t∠B 的值是________________． 已知条件 图形 已知一直角边和 一个锐角 已知斜边和一个 锐角 已知两直角边 已知斜边和一条 直角边 对 边 邻边 斜边 B b 1 【变式1-1】（2022 年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，，B，，D 均 为格图中的格点，线段B 与D 相交于点P，则∠PD 的正切值为_______． 【变式1-2】（2022 年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△B 的三个顶点在边长为1 y=3 4 x+3 上，若点在第二象 限内，则t∠的值为（ ） 1 ．1 7 B．1 6 ．1 5 D．1 8 【变式2-1】（2022 年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面 直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x 轴交于 点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在x 轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3

【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023 学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国 古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100 元记作+100 元，则-50 元表示（ ） ．支出50 元 B．收入50 元 ．支出60 元 D．收入60 元 【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023 学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的 水位高于正常水位4m 时，记作+4m，那么低于正常水位5m ．+1 5m D．-1 5m 【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023 学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯 上升5米，记作+5 米，那么-3 米表示 _______________________________ ． 【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在 一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店西边100米处，小明 D．玩具店西边60米 1 【考点2 有理数的概念及分类】 【例2】（2022·湖北·公安县学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它 所属于的集合圈内． −3 4 ，1，35，0，−2，4 【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在2 3，−4.3， 025，0，123，101001000100001…，π 2 中，非负有理数的数有___________________．

【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的特征： 根号下不含有可开方是因数，根号下不含有分母． 2．(3 分）（云南省昆明市五华区2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）实数，b 在 数轴上的位置如图所示，则化简❑ √a 2− ❑ √b 2− ❑ √(a−b) 2的结果是（ ） ．−2b B．−2a ．2b−2a D．0 【答】 【分析】先根据数轴判断出、b 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形 直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键． 6．(3 分）（浙江省杭州市杭州江南实验学校2022-2023 学年八年级上学期期中数学试题） 如图，在等腰直角中△ABC，∠BAC=90°，AD是△ABC的高线，E 是边AC上一点， 分别作EF ⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了 BG 2+C G 2=2(B 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题是关键是 根据三角形的面积求出B D 2+DG 2=15． 7．(3 分）（浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023 学年八年级上学期期中数学试题）如 图，在Rt △ABC中，点D，E 分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD=AE， 已知BC=6，AB=8，则BD+CE的最小值是（ ） ．❑ √136 B．10 ．96 D．5+❑