模型20 轴对称——婆罗摩笈多模型-原卷版

轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型 一、垂直 中点 【结论1】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，M 经过点B， 若M⊥E，则①点是D 的中点，②SΔCBE＝SΔ ABD，③E＝2B 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过作P⊥M，垂足为P，过D 作DQ⊥M 交M 的延长线于Q， 易证：△BP △BM,P ≌ ＝BM,△DQB △BME,DQ ≌ ＝BM P ∴＝DQ 易证：△P △DQ ≌ ∴＝D ②如图，由①知，SΔCBM ＝SΔBAP ，SΔ EBM ＝SΔBDQ，SΔ APN ＝SΔ DQN S ∴ Δ ABD＝SΔ ABN ＋SΔ DBN ＝SΔBAP＋SΔ APN ＋SΔBDQ－SΔ DQN ＝SΔBAP＋SΔBDQ＝SΔCBM ＋SΔ EBM ＝SΔCBE,即SΔCBE＝SΔ ABD，得证 ③如图，由①得，P＝Q， E ∴＝M＋EM＝BP＋BQ＝B－P＋B＋Q＝2B，得证 二、中点 垂直 【结论2】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，点P 是E 的中点，PB 的延长 线交D 于点Q，则①PQ⊥D，②SΔCBE＝SΔ ABD, D=2BP ③ 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BP 至点M，使PM＝BP，连结ME， 易证：△PB PME ≌ B ∴＝ME，B∥ME B ∵＝ B ∴＝EM， B∥ME ∵ ， ∠BE ∴ ＋∠BEM＝180°， 又∵∠B＝∠DBE＝90° ∠BE ∴ ＋∠BD＝180°， ∠BD ∴ ＝∠MEB， 易证：△BD △MEB ≌ ， ∠2 ∴ ＝∠1， ∠1 ∵ ＋∠3＝90° ∠2 ∴ ＋∠3＝90° ∠DQP ∴ ＝90° ②如图，由①知SΔCBE＝SΔCBP＋SΔ EBP＝SΔ EMP＋SΔ EBP＝SΔ MEB＝SΔ ABD,得证 ③如图，由①知D＝MB＝2BP，得证。 婆罗摩笈多定理： 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个 定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理 ” （又译“卜拉美古塔定理”）。 拓展1：如图，△B 和△D 是等腰直角三角形，M 过点， ⑴若M⊥D，则点M 是B 的中点，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M ⑵若M 是B 的中点，则①M⊥D，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M 拓展2：如图，△B 和△D 是等腰三角形，∠B＋∠D=180º，M 过点在D 延长线 上 ⑴若∠M＝∠B，则M 是B 的中点，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M ⑵若M 是B 的中点，则②∠M＝∠B，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M 拓展3：如图，△B △D ≌ 且∠B＝∠D=180º，M 过点 ⑴若M 是B 的中点，则①D＝2M，②SΔ AOD＝SΔBOC ⑵若是D 的中点，则①B＝2，②SΔ AOD＝SΔBOC 拓展4：如图，在△B、△D 中， AO BO = CO DO ，且∠B＋∠D=180º，则SΔ AOD＝S ΔBOC 1．（江西省南昌市第十九中学2019-2020 学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，B＝E，B E ⊥， D＝，D⊥，点M 为B 的中点， 求证：DE＝2M 1．（河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020 学年八年级上学期期末数学试题）阅读情境：在综合实 践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题” 如图1， ，其中 ， ，此时，点 与点 重合， 操作探究1:（1）小凡将图1 中的两个全等的 和 按图2 方式摆放，点 落在 上， 所在直 线交 所在直线于点 ，连结 ，求证： ． 操作探究2:（2）小彬将图1 中的 绕点 按逆时针方向旋转角度 ，然后，分别延长 ， ，它们相交于点 ．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ① 时，求证： 为等边三角形； ②当 __________时， ．（直接回答即可） 操作探究3:（3）小颖将图1 中的 绕点 按顺时针方向旋转角度 ，线段 和 相 交于点 ，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当 时，直接写出线段 的长为_________． ②如图5，当旋转到点 是边 的中点时，直接写出线段 的长为____________． 2．（重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022 学年九年级下学期5 月月考数学试题）已知 ， ， ，点 线段 中点，连接 ． 为平面内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 交于点 ，若 ， ，求 的面积； (2)如图2，若点 在 的内部连接 、 ，线段 交线段 于点 ，当 时， 求证： ； (3)如图3，过 作 的平行线，交直线 于点 ．连接 ．将 沿 翻折得到 ，当线 段 最短时，直接写出此时 的值． 1．（2021 年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试题）我们定义：如图1，在△B 中，把B 绕点顺 时针旋转α（0°＜α＜180°）得到B'，把绕点逆时针旋转β 得到′，连接B''，当+β＝180°时，我们称△B''是△B 的“旋补三角形”，△B'边B''上的中线D 叫做△B 的“旋补中线”． (1)[特例感知]在图2，图3 中，△B'′是△B 的“旋补三角形”，D 是△B 的“旋补中线”． ①如图2，当△B 为等边三角形，且B＝6 时，则D 长为 ． ②如图3，当∠B＝90°，且B＝7 时，则D 长为 ． (2)[猜想论证]在图1 中，当△B 为任意三角形时，猜想D 与B 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到 证明思路，可以考虑延长D 或延长B'，…） (3)[拓展应用]如图4，在四边形BD 中，∠BD＝150°，B＝12，D＝6，以D 为边在四边形BD 内部作等边 △PD，连接P，BP．若△PD 是△PB 的“旋补三角形”，请直接写出△PB 的“旋补中线”长及四边形BD 的 边D 长． 2．（2020 年湖北省随州市曾都区九年级升学适应性考试数学试题）我们定义：如图1，在 中，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋 补中线”． 【特例感知】 （1）在图2，图3 中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”． ①如图2，当 为等边三角形，且 时，则 长为 ． ②如图3，当 ，且 时，则 长为 ． 【猜想论证】 （2）在图1 中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到 证明思路，可以考虑延长 或延长 ，……） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形 中， ， ， ，以 为边在四边形 内部作等 边 ，连接 ， ．若 是 的“旋补三角形”，请直接写出 的“旋补中线”长及 四边形 的边 长．