专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（原卷版）

专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型 梅内劳斯（Meelus，公元98 年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的 一个重要定理。 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边B、B、或其延长线交于F、D、E 点，那 么 ．这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E 分别是 的三边B、B、或其延长线的三点，如果 ，则F、D、E 三点共线． 图1 图2 塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678 年发表了一个著名的定理，后 世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△B 内任取一点G，延长G、BG、G 分别交对边于D、E、F， 如图2，则 。 注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是 三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线 段成比例和相似来解决。 例1（2023 浙江九年级期中）如图，在 中，D 为中线，过点任作一直线交B 于点F，交D 于点E， 求证： ． 例2（2023 重庆九年级月考）如图，在 中， ， ．M 为B 边上的中线， 于点D，D 的延长线交B 于点E．求 ． 例3（2023 湖北九年级期中）如图，点D、E 分别在 的边、B 上， ， ，BD 与E 交 于点F， ．求 ． F D E C B A 例4（2023 江苏九年级月考）已知D 是 的高，点D 在线段B 上，且 ， ，作 于点E， 于点F，连接EF 并延长，交B 的延长线于点G，求G． 例5（2023 广东九年级专项训练）如图，在 中， 的外角平分线与边B 的延长线交于点P， 的平分线与边交于点Q， 的平分线与边B 交于点R，求证：P、Q、R 三点共线． 例6．（2023 上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Meelus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳 斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与 的三边 或它们的延长线交于 三点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则有 ， ， ∴ ， ． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： （1）如图3， 三边 的延长线分别交直线于 三点，证明： ． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边 的边长为3，点 为 的中 点，点 在 上，且 与 交于点 ，试求 的长．（3）如图5， 的面积为4，F 为 中点，延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，求四边形 的面积． 例7．（2023 山东九年级月考）如图：P，Q，R 分别是△B 的B，，B 边上的点．若P，BQ，R 相交于一点 M，求证： ． 例8 （2023 浙江九年级期中）如图，在锐角△B 中，D 是B 边上的高线，是线段D 内任一点，B 和的延长线 分别交、B 于E、F，求证：∠ED=∠FD。 例9（2023 北京九年级月考如图，四边形BD 的对边B 和D，D、B 分别相交于L、K，对角线与BD 交 于点M，直线KL 与BD，分别交于F、G，求证： 例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大 的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长，B，分别交对边于D，E，F，则 ． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三 线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点；(2)若 为等边三角 形（图3）， ， ，点D 是B 边的中点，求BF 的长，并直接写出 的面积． 课后专项训练 1．（2023 广东九年级期中）如图，在△B 中，M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，连接EM 并延长，交 B 的延长线于D，则 ＝（ ） ． B．2 ． D． 2（2023 浙江九年级期中）如图，D、E、F 内分正△B 的三边B、B、均为1：2 两部分，D、BE、F 相交成 的△PQR 的面积是△B 的面积的（ ） ． B． ． D． 3．（广东2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为D，E 为 的中点， 与 交于点F，则 的长为 ． 4．（2022 年山西中考一模数学试题）如图，在 中， ， ， ． 是 边上的中线．将 沿 方向平移得到 ． 与 相交于点 ，连接 并延长，与边 相 交于点 ．当点 为 的中点时， 的长为 ． 5．（2022 年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图， 为 的直径，为 上一点， 的 切线 交 的延长线于点D，E 为 的中点， 交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长为 ． 6．（2023 年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在□BD 中，对角线，BD 相交于点， ， ， ， 的平分线分别交，B 于点E，F．则线段E 的长为 ． 7．（2023 下·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，等边△B 的边长为5，D 在B 延长线上，D＝3，点E 在 线段D 上，且E＝B，连接BE 交于F，则F 的长为 ． 8．（2023·重庆·八年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 , ．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ． 9（2023 湖北九年级月考）如图所示， 被通过它的三个顶点与三角形内一点的三条直线分为6 个小 三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则 的面积为 ． 10．（2023 上·河南洛阳·九年级期末）小明在上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解 答．已知△B，延长B 到D，使D=B．取B 的中点F，连结FD 交于点E． (1)求 的值；(2)若B＝，FB＝E，求的长． 11．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图， 三边 ， ， 的延长线分别交直线于 ， ， 三点，证明： ．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式） 12．（2023 上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果 一条直线与 的三边B，B，或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作 ，交DF 的延长线于点G，则有 ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在 中， ， ，点D 为B 的中点，点F 在B 上，且 ，F 与D 交于点E，则 ________． 13．（2021·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 塞瓦（Gvev，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》一书， 塞瓦定理是指如图1，在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于D，F，E，则 ．下面是 该定理的部分证明过程： 如图2，过点作B 的平行线分别交BE，F 的延长线于点M，．则∠＝∠FB，∠F＝∠FB． ∴△F∽△BF．∴ ①． 同理可得△∽△D．∴ ②． 任务一：(1)请分别写出与△M，△ME 相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段； 任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D⊥B， 垂足为D，点E 为D 的中点，连接E 并延长，交B 于点F，连接BE 并延长，交于点G．小明同学自学了上 面定理之后解决了如图3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF 与F 的比是25：16，请你直接写 出△EG 与△EG 面积的比． 14．（重庆2022-2023 学年八年级月考）如图，在等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B，D 是线段B 上一动点 （不与点B、重合），连接D，延长B 至点E，使得E＝D，过点E 作EF⊥D 于点F，再延长EF 交B 于点 M．（1）若D 为B 的中点，B＝4，求D 的长；（2）求证：BM＝ D． 15．（2023 年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图， 为 的直径，为 上一点， 的 切线 交 的延长线于点D，E 为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点F． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．