模型19 轴对称——海盗埋宝模型-原卷版

轴对称 模型（十九）——海盗埋宝模型 【结论】如图 ，△D 和△BE 是等腰直角三角形，，B 为直角顶点，F 为DE 的中点，连 接F，FB，则△FB 是等腰直角三角形 【特征】⑴两等腰直角三角形 ⑵一组底角共顶点 ⑶另一组底角顶点相连取中点 【证明】 （方法一：倍长中线法） 如图，延长 F 至点P 使得 FP=F，连接 PE，PB，延长 PE 交于点Q 在△DF 和△EPF 中，DF=EF, ∠DF=∠EFP, F=PF, ∴△DF≌△EPF(SS)，∴D=EP,∠DF=∠EPF ∴D∥EP ∴∠EQ＝∠DQ＝90° 在四边形 EQB 中， ∠EQ＋∠EB＝90°＋90°＝180°， ∴∠QEB＋∠QB＝360°-180°=180° 又∵∠QEB＋∠PEB＝180°， ∴∠QB＝∠PEB 在△B 和△PEB 中，=PE, ∠B＝∠PEB, B=BE, △B △PEB(SS) ∴ ≌ B=PB ∴ ，∠B＝∠PBE ∠B ∴ ＋∠BE＝∠PBE＋∠BE,即∠BP＝∠BE=90° △BP ∴ 是等腰直角三角形又∵F 是P 的中点，∴BF⊥P,BF=F △FB ∴ 是等腰直角三角形，F 为直角顶点 （方法二∶构造手拉手模型） 将△D 沿 对称，得△P，将△EB 沿 B 对称，得△QB，连接EP，DQ 易证△PE≌△DQ（手拉手模型）， ∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的结论） ∵F 是△DPE 的中位线，BF 是△DQE 的中位线 ， ∴F＝ 1 2 PE，F∥PE，BF＝ 1 2 DQBF∥DQ， F=BF ∴ ，F⊥BF， ∴△FB 是等腰直角三角形，F 为直角顶点 1．（山东省莱城区（五四学制）2017-2018 学年八年级上学期期末数学试题）如图，两个等腰 和 ， 点 在 上， ，连接 ，取 的中点 ，连接 求证： 1．（湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021 学年八年级下学期期中数学试题）某研究性学习小组在探究矩形 的折纸问题时，将一块直角三角板的直角项点绕矩形BD（B＜B）的对角线的交点旋转（图①⇒图②），图中的 M、分别为直角三角形的直角边与矩形BD 的边D、B 的交点． （1）如图①，当三角板一直角边与D 重合时，该学习小组成员意外的发现：B2＝D2+2，请你说明理由； （2）试探究图②中B、、M、DM 这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； （3）如图③，若D＝8，B＝6，E 为矩形外的一点，且E⊥E，F 为E 的中点，为的中点，取的中点G，连接BG， 当F 在线段BG 上时，则BF 的值为 ． 1．（专题32 图形的变化（翻折与旋转变换）-解答题专项训练-备战2022 年中考数学临考题号押题（全国通 用））如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝α，点D 在边上（不与点，重合），连接BD，点K 为线段BD 的中点， 过点D 作DE⊥B 于点E，连接K，EK，E． (1)如图1，若α＝45°，则△EK 的形状为 ． (2)在（1）的条件下，若将图1 中△DE 绕点顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），使得D，E，B 三点共线， 点K 为线段BD 的中点，如图2 所示．求证：BE﹣E＝2K． (3)若B＝8，＝15，点D 在边上（不与点，重合），D＝2D，将线段D 绕点旋转，点K 始终为BD 的中点，则线段 K 长度的最大值是多少？请直接写出结果． 2．（2019 年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级一模数学试题）如图，在 中，∠8=90°，∠B=，点D 在边上（不 与点、重合）连接BD，点K 为线段BD 的中点，过点D 作 于点E，连结K，EK，E，将△DE 绕点顺时针 旋转一定的角度（旋转角小于90 度) (1)如图1．若=45 ，则 的形状为__________________； (2)在（1)的条件下，若将图1 中的三角形DE 绕点旋转，使得D，E，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2 所示，求证： ； (3)若三角形DE 绕点旋转至图3 位置时，使得D，E，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE， E，K 三者之间的数量关系（用含的三角函数表示） 3．（【万唯原创】2017 年安徽省中考数学-逆袭卷-特训18）如图，在 和 中， ， ， ，连接 ，点 是 的中点，连接 、 ． （1）如图①，当点 在 上时，求证： ； （2）如图②，若 ， ， ，求 的长； （3）如图③，若 ， ，求 的值．