专题28.2 解直角三角形及其应用【九大题型】（原卷版）

专题282 解直角三角形及其应用【九大题型】 【人版】 【题型1 格中解直角三角形】.................................................................................................................................1 【题型2 坐标系中解直角三角形】........................................................................................................................2 【题型3 直接解直角三角形】.................................................................................................................................4 【题型4 化斜为直解非直角三角形】.....................................................................................................................5 【题型5 在四边形中解直角三角形】.....................................................................................................................6 【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】..............................................................................................7 【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】..............................................................................................9 【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】...............................................................................................11 【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】............................................................................................13 【知识点1 直角三角形的边角关系】 （1）两锐角关系： （2）三边关系： （勾股定理） （3）边角关系： ， ， 【知识点2 解直角三角形的类型和解法】 【题型1 格中解直角三角形】 【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023 学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由 6 个形状、大小完全相同的菱形组成的格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠） 为120°，、B、都在格点上，则t∠B 的值是________________． 已知条件 图形 解法 已知一直角边和 一个锐角 已知斜边和一个 锐角 已知两直角边 已知斜边和一条 直角边 对 边 邻边 斜边 B b 1 【变式1-1】（2022 年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，，B，，D 均 为格图中的格点，线段B 与D 相交于点P，则∠PD 的正切值为_______． 【变式1-2】（2022 年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△B 的三个顶点在边长为1 的正方形格的格点上，则s∠BAC=____． 【变式1-3】（2022 年中考数学一轮复习讲练测（北京））如图所示的正方形格中，A，B， C是格线交点，∠CAB的度数为__． 【题型2 坐标系中解直角三角形】 【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线y=3 4 x+3 交x 轴于点，将一块等腰直角 三角形纸板的直角顶点置于原点，另两个顶点M、恰落在直线y=3 4 x+3 上，若点在第二象 限内，则t∠的值为（ ） 1 ．1 7 B．1 6 ．1 5 D．1 8 【变式2-1】（2022 年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面 直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x 轴交于 点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在x 轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3 B3 B4， …都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为__________ _____． 【变式2-2】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xy 中，矩形B 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形BEF 是菱形，且t∠BE=4 3 ．若直线l 把矩形B 和菱形BEF 组成的 图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ） ．y=3 x B．y=−3 4 x+ 15 2 ．y=−2 x+11 D．y=−2 x+12 【变式2-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，B 分别在y 轴和x 轴上， ∠ABO=60° ,CD为△AOB的中位线，过点D 向x 轴作垂线段，垂足为E，可得矩形 1 CDEO．将矩形CDEO沿着x 轴向右平移，设斜边B 所在直线与矩形所围直角三角形的面 积为S．已知点B 的坐标为(6,0)，当S=2❑ √3时，矩形CDEO顶点D 的坐标为__________． 【题型3 直接解直角三角形】 【例3】（2022 年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（四））如图，在 Rt△B 中，∠=90°，∠B=60°，∠B 的角平分线E 与∠B 的角平分线D 相交于点，已知BD=4， =2❑ √2，则E=_________． 【变式3-1】（2022-2023 中考1 年模拟数学分项汇编）如图，在Rt△B 中，B=B=4，以B 为 边作等边三角形BD，使点D 与点在B 同侧，连接D，则D=______． 【变式3-2】（安徽省亳州市2022-2023 学年九年级上学期学质量调研三数学试题）如图， 在Rt△B 中，∠B＝90°，E 是斜边B 上的中线，过点E 作EF⊥B 交于点F．若B＝4， tan∠CEF= 3 4 ，则的长为__________． 1 【变式3-3】（2022·湖北武汉·一模）在Rt△B 中，∠B=90°，点D 为B 上一点． （1）如图1，若D⊥B，求证：2=D·B； （2）如图2，若=B，EF⊥D 交D 于，交于F，且FH HE = 4 9 ，求AD BD 的值； （3）如图3，若=B，点在D 上，∠D=45°，=3D，则t∠的值为________． 【题型4 化斜为直解非直角三角形】 【例4】（福建省泉州市第一中学2022-2023 学年九年级上学期期中考试数学试题）如图， 在等腰△B 中，B=，D 平分∠B，点E 在B 的延长线上，∠E=90°，ED=E，DE 交于点K，若 E=10，t∠ED=1 2，则K=_______． 【变式4-1】（2022·湖北武汉·中考真题）如图．在△B 中，∠B=60°，=1，D 是边B 的中点， E 是边B 上一点．若DE 平分△B 的周长，则DE 的长是_____． 【变式4-2】（2022·江苏省洪泽县黄集中学一模））如图，在△B 中，∠=150°，=4，tB=1 8 ． 1 （1）求B 的长； （2）利用此图形求t15°的值 【变式4-3】（2022·四川广元·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一 条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得 的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线 段叫做这个三角形的“优美分割线”． （1）如图，在△B 中，D 为角平分线，∠＝40°，∠B＝60°，求证：D 为△B 的“优美分割 线”． （2）在△B 中，∠＝46°，D 为△B 的“优美分割线”且△D 为等腰三角形，求∠B 的度数． （3）在△B 中，∠＝30°，＝6，D 为△B 的“优美分割线”，且△D 是等腰三角形，求线段 BD 的长． 【题型5 在四边形中解直角三角形】 【例5】（2022 年广东省深圳市南山区南山外国语学校中考二模质量检测数学试题（5 月））如图，在菱形BD 中，B＝30，∠BCD=120°，点E 在D 上，且DE＝10，BE 交于 点F，连接DF．现给出以下结论：①△ABF △ADF；②AF :CF =3:2；③S△≝¿=30 ❑ √3¿； ④sin∠AFD=5 ❑ √57 19 正确的是（ ） ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．①②③④ 【变式5-1】（2022·广东·深圳市海滨中学模拟预测）如图，在四边形BD 中，D∥B， E⊥B，且E=BE，连接DE，若B=D=E=2，则t∠DE=_____． 1 【变式5-2】（2022·上海市静安区育学院附属学校九年级期中）如图，在菱形纸片BD 中， B=2，∠=60°，将菱形纸片翻折，使得点落在D 的中点E 处，折痕为FG，点F．G 分别在 边B．D 上，则s∠EFG=__________ ． 【变式5-3】（河南省郑州市中原区中原区第一中学2022-2023 学年九年级上学期第一次月 考数学试题）如图，在矩形BD 中，B=5，D=8，点E 是线段D 上的一个动点，把△BE 沿 BE 折叠，点落在A '处(A '在矩形内部)，如果A '恰在矩形的某条对称轴上，则E 的长为___ _______． 【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】 【例6】（2022·重庆八中九年级期末）为了消防安全，学校在校广场步行梯（折线BD）处 新建了学生宿舍安全通道（折线EF），其剖面示意图如图所示，广场步行梯B，D 的坡角 都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分 AE=3.9米，步梯EF 的坡度i≈0.62（即坡角的正切值）．新建安全通道顶端点F 到广场步 行梯底部所在水平面DG 的距离DF 的长约为（ ）（结果精确到01 米，参考数据： sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63） 1 ．88 米 B．90 米 ．94 米 D．96 米 【变式6-1】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的处，测得旗杆顶端点的仰角 是30 °，前进20 米后到达旗台的底端B 处，测得旗杆顶端点的仰角是45 °，继续沿着坡比为 1:❑ √3的斜坡B 上升到处，此时又测得旗杆顶端点的仰角是60 °，旗杆M 垂直于水平线D， 点、B、D 在同一直线上，M//D，求旗杆M 的高度． 【变式6-2】（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常 会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P 处，离地面的铅垂高度PQ 为11 米；离 坡B 的最短距离是112 米，坡B 的坡比为3：4；电子眼照射在 处时，电子眼的俯角为 30°，电子眼照射在坡角点B 处时，电子眼的俯角为70°．（、B、P、Q 在同一平面内） (1)求路段BQ 的长；（s70°≈094，s70°≈034，t70°≈275） (2)求路段B 的长；（❑ √3≈17，结果保留整数） (3)如图的这辆车看成矩形KLM，车高2 米，当P 过M 点时开始测速，PB 过M 点时结束测 速，若在这个测速路段车辆所用的时间是15 秒．该路段限速5 米/秒，计算说明该车是否 超速？ 【变式6-3】（2022·上海市罗山中学九年级期中）图1 是某区规划建设的过街天桥的侧面 示意图，等腰梯形BD 的上底B 表示主跨桥，两腰B，D 表示桥两侧的斜梯，，D 两点在地 1 面上，已知D＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：24．点左侧25m 点P 处有一 棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上 桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方要 修建一个缓坡M 作为轮椅坡道，坡道终点在左侧的新斜梯上，并在点处安装无障碍电梯， 坡道起点M 在P 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点距离地面的高度为09m，请 利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 120 090 075 060 030 水平长度（m） 2400 1440 900 600 240 【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】 【例7】（2022·重庆巴蜀中学九年级）如图，巴蜀中学旁边高36 米的高楼B 正对着斜坡 D，点E 在斜坡处．已知斜坡的坡角∠DG 为30°，B⊥B，若点、B、、D、E 在同一平面内， 从点E 处测得楼顶的仰角α 为37°，楼底B 的俯角β 为24°，现计划在斜坡中点E 处挖去部 分斜坡，修建一个平行于水平线B 的平台EF 和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF 的坡比为 ❑ √3：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原 计划的15 倍，结果比原计划提前2 天完成任务，施工队原计划平均每天修建_________米？ （结果保留1 位小数）（参考数据：s37°≈080，t37°≈075，t24°≈045，s24°≈091） 【变式7-1】（2022·四川广元·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机， 1 当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者的俯角为75°，测得小区楼房BC顶 端点处的俯角为45°．已知操控者和小区楼房BC之间的距离为45 米，小区楼房BC的高度 为15 ❑ √3米． （1）求此时无人机的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5 米/秒的速度继 续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点， B，，D 都在同一平面内．参考数据：tan75°=2+❑ √3，tan15°=2−❑ √3．计算结果保留 根号） 【变式7-2】（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空 心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机 测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B 点与古槐底D 点之间的地面点，竖 直起飞到正上方45 米E 点处时，测得塔B 的顶端和古槐D 的顶端的俯角分别为266°和76° （点B，，D 三点在同一直线上）．已知塔高为39 米，塔基B 与树底D 的水平距离为20 米，求古槐的高度（结果精确到1 米）．（参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89， tan 26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 【变式7-3】（2022·四川自贡·九年级专题练习）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 BD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台P，P 正前方有两艘渔船M，．观察员在瞭望台 1 顶端P 处观测到渔船M 的俯角α 为31°，渔船的俯角β 为45°．已知M 所在直线与P 所在直 线垂直，垂足为E，且PE 长为30 米． (1)求两渔船M，之间的距离（结果精确到1 米）； (2)已知坝高24 米，坝长100 米，背水坡D 的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施 工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底B 加宽后变为B，加固后背水坡D 的 坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60， sin31°≈0.52） 【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】 【例8】（2022·河南·漯河市郾城区第二初级实验中学一模）在南北方向的海岸线M 上，有、 B 两艘巡逻船，现均收到来自故障船的求救信号，已知、B 相距100 (❑ √3+1)海里，在的北 偏东60°方向上，在B 的东南方向上，M 上有一观测点D，测得正好在观测点D 的南偏东 75°方向上． (1)求和D（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D 处100 海里范围内有暗礁，若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中 有无触礁的危险？（参考数据：❑ √2≈1.41，❑ √3≈1.73） 【变式8-1】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）如图，一艘军舰在处测得小 岛P 位于南偏东60°方向，向正东航行40 海里后到达B 处，此时测得小岛P 位于南偏西 75°方向，求小岛P 离观测点B 的距离． 1 【变式8-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF 与M 表示某一段 河的两岸，EF 平行M．综合实践课上，同学们需要在河岸M 上测量这段河的宽度（EF 与 M 之间的距离），已知河对岸EF 上有建筑物、D，且D＝30 米，同学们首先在河岸M 上 选取点处，用测角仪测得建筑物位于北偏东45°方向，再沿河岸走10 米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三 角函数或根式表示即可） 【变式8-3】（2022·山东泰安·模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公，“国庆黄金 周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在处时，船上游 客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到 达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达处时， 游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 _____． （计算结果保留根号） 【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】 【例9】（2022·浙江温州·八年级期中）图1 是一张可调节靠椅，调节示意图如图2，已知 两支脚B＝＝10 分米，B＝12 分米，为上固定连接点，靠背D＝10 分米．档位为Ⅰ档时， D∥B．档位为Ⅱ档时，D⊥．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，EF＝________分米． 1 【变式9-1】（2022·浙江·金华市南苑中学九年级期中）图1 是一种童可折叠滑板车，该滑 板车完全展开后示意图如图2 所示，由车架AB−CE−EF和两个大小相同的车轮组成，已 知CD=25cm，DE=17cm，cos∠ACD= 4 5 ，当A，E，F 在同一水平高度上时，