分类讨论思想 【规律总结】 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我 们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能 以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的 取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是 一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题 来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 分类讨论类型 【类型一、与数与式有关的分类讨论】 热点1：实数分类、绝对值、算术平方根 热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增减性 热点3：含参不等式 热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。 热点5：含参方程 【类型二：三角形中的分类讨论】 热点1 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确 决． （1） 与角有关的分类讨论 （2） 与边有关的分类讨论 （3） 与高有关的分类讨论 热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直 角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也 需要先讨论后求解． 热点3：与相似三角形有关的分类讨论 （1） 对应边不确定 （2） 对应角不确定 【类型三：圆中的分类讨论】 热点1：点与圆的位置关系不确定

分类讨论二次函数最值 1．如图，函数 的图象经过点 ， 两点， ， 分别是方程 的两个实数根，且 ． （Ⅰ）求 ， 的值以及函数的解析式； （Ⅱ）设抛物线 与 轴的另一个交点为 ，抛物线的顶点为 ，连接 ， ， ， ．求证： ； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数 ， （1）当 时，求函数 的最大值和最小值； （2）设函数 在 内的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求的值． 【分析】 首先解方程求得 综上， 或 ． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的 解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等 知识，注意运用分类讨论的思想解决问题． 2．在平面直角坐标系 中，函数 和 的图象关于 轴对称，它们与直线 分 别相交于点 ， ． （1）如图，函数 为 ，当 时， 的长为 4 ； （2）函数 ，不合题意； ③当 、 在对称轴右侧时， 同理可得： ； 故 的取值范围是： 或 ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的 翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 8．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且关 于直线 对称，点 的坐标为 ． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 ，若点 在 轴上时， 和 的夹角为

三角形中的最值问题与分类讨论问题 三角形中的最值问题（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹问题）、胡不归模 型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难 的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是： ①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变 本方法还有：利用轴对称变换、旋转变 换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。特殊三角 形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有 比较清晰的认识。 1、三角形中的最值问题：将军饮马模型 【解题技巧】 将军 饮马 模型 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理 两点之间线段最短 从而求解，是一道较好的中考题． 1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利 用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1 无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底 角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2“两定一动”等腰三角

三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 的值，再根据 、 分别作为等腰三角形的腰，分类求 解． 【详解】解： ， ， ， ， ，解得： ， ， 当 作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为： ， 当 作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为： ，故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求 、 的值，再根据 或 作为腰，分类求解． 例2．（2023 春· 构成三角形． 例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（ ） ． B． 或 ． 或 D． 【答】B 【分析】根据三角形的内角和为 ，进行分类讨论即可 【详解】解：①当底角为 时，顶角 ， ②当顶角为 时，顶角度数 ，综上：顶角度数为 或 ；故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和为 ，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．

备战2025 年中考语文复习古代诗歌阅读（全国通用） 专题11：课内古诗词分类梳理（按主题、题型） 【课标要求】 《课标》中要求对诗词的“阅读与鉴赏”提出了以下要求：1 广泛阅读诗歌作品，把握诗歌主要内容。 能理清诗歌行文思路。2 能从多角度揣摩、品味作品中的重要词句和富有表现力的语言。3 分析作品 表现手法的作用。 【考查重点】 1 了解诗歌感情强烈、语言凝练、富有乐感等基本特征；理解现代白话诗的体裁特点；理解诗歌的主 答题步骤： (1)对有典故的诗词，要关注课文中相关注释，掌握典故的原意，再结合作者当时的处境或思想，揣摩 使用典故的意图。 (2)对内容概括题，一要准确读懂诗词，理解内容；二要学会抓关键词进行分析；三要分类概括，分点 作答。 考点二: 主旨与情感把握 “诗言志”，古代诗词一般都表达丰富的思想情感。古代诗词的思想情感主要有以下几种。 (1)忧国伤时：揭露统治者的昏庸腐朽，反映社会的动荡，同情人民的疾苦，对国家民族的前途命运表 (1)答题时要准确指出诗中运用的修辞手法(或表现手法或表达方式)。 (2)结合诗句和具体词语进行分析。 (3)分析时要指出这种表达技巧表现了什么内容，抒发了什么样的思想感情。 根据题材分类，中国古诗大致有羁旅思乡诗、爱情闺怨诗、咏史怀古诗、 咏物言志诗、送别怀人诗、边塞征战诗、山水田诗等几种类型。 题材一 ：羁旅思乡诗 1 材篇目 《次北固山下》（王湾） 《春夜洛城闻笛》（李白）

三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标； 若不存在，请说明理由． 模型2、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性 质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角 是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存

备战2025 年中考语文复习古代诗歌阅读（全国通用） 专题11：课内古诗词分类梳理（按主题、题型） 【课标要求】 《课标》中要求对诗词的“阅读与鉴赏”提出了以下要求：1 广泛阅读诗歌作品，把握诗歌主要内容。 能理清诗歌行文思路。2 能从多角度揣摩、品味作品中的重要词句和富有表现力的语言。3 分析作品 表现手法的作用。 【考查重点】 1 了解诗歌感情强烈、语言凝练、富有乐感等基本特征；理解现代白话诗的体裁特点；理解诗歌的主 答题步骤： (1)对有典故的诗词，要关注课文中相关注释，掌握典故的原意，再结合作者当时的处境或思想，揣摩 使用典故的意图。 (2)对内容概括题，一要准确读懂诗词，理解内容；二要学会抓关键词进行分析；三要分类概括，分点 作答。 考点二: 主旨与情感把握 “诗言志”，古代诗词一般都表达丰富的思想情感。古代诗词的思想情感主要有以下几种。 (1)忧国伤时：揭露统治者的昏庸腐朽，反映社会的动荡，同情人民的疾苦，对国家民族的前途命运表 (1)答题时要准确指出诗中运用的修辞手法(或表现手法或表达方式)。 (2)结合诗句和具体词语进行分析。 (3)分析时要指出这种表达技巧表现了什么内容，抒发了什么样的思想感情。 根据题材分类，中国古诗大致有羁旅思乡诗、爱情闺怨诗、咏史怀古诗、 咏物言志诗、送别怀人诗、边塞征战诗、山水田诗等几种类型。 题材一 ：羁旅思乡诗 1 材篇目 《次北固山下》（王湾） 《春夜洛城闻笛》（李白）

三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并 且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在 处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三 角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5 模型3 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13 模型4 直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15 ....................................................

三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并 且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在 处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三 角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5 模型3 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13 模型4 直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15 ....................................................

第1 页/ 共22 页 初中物理自主招生讲义42 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用 02 一．力臂的画法（共1 小题） 1．如图，杠杆在力F1F2的作用下处于静止状态，L2是F2的力臂。在图中画出力F1的力臂 L1以及阻力F2 。 二．杠杆的平衡条件（共25 小题） 2．用细绳系住厚度不均匀的木板的处，木板恰好处于静止状态，且上表面保持水平．如图 杠杆的质量为m，当杠杆的长度为多少时，可以用最小的力F 维持杠杆平衡。 53．如图是一个曲折的杠杆，为了使杠杆平衡，可以在它的端施加不同方向的力，请画出 最小动力的示意图，并画出相应的动力臂。 七．杠杆的分类（共6 小题） 54 ．下列简单机械，在使用中属于费力杠杆的是（ ） ． 起子 B． 镊子 ． 钢丝钳D． 动滑轮 55 ．下列简单机械中，属于省力杠杆的是（ ） ． 筷子 B．