115 分类讨论思想

分类讨论思想 【规律总结】 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我 们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能 以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的 取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是 一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题 来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 分类讨论类型 【类型一、与数与式有关的分类讨论】 热点1：实数分类、绝对值、算术平方根 热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增减性 热点3：含参不等式 热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。 热点5：含参方程 【类型二：三角形中的分类讨论】 热点1 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确 定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解 决． （1） 与角有关的分类讨论 （2） 与边有关的分类讨论 （3） 与高有关的分类讨论 热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直 角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也 需要先讨论后求解． 热点3：与相似三角形有关的分类讨论 （1） 对应边不确定 （2） 对应角不确定 【类型三：圆中的分类讨论】 热点1：点与圆的位置关系不确定 热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论 热点3：两弦与直径位置 热点4：直线与圆的位置的不确定 热点5：圆与圆的位置的不确定 【典例分析】 例1、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2−4 x+k=0的两个根， 则k 的值为() 3 B 4 3 或4 D 7 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根 与系数的关系，分3 为腰长及3 为底边长两种情况，求出k 值是解题的关键． 当3 为腰长时，将x=3代入原一元二次方程可求出k 的值；当3 为底边长时，利用等腰三 角形的性质可得出根的判别式△=0，解之可得出k 值，利用根与系数的关系可得出两腰之 和，将其与3 比较后可得知该结论符合题意． 【解答】 解：当3 为腰长时，将x=3代入x 2−4 x+k=0，得：3 2−4×3+k=0， 解得：k=3； 当3 为底边长时，关于x 的方程x 2−4 x+k=0有两个相等的实数根， ∴△=(−4) 2−4×1×k=0， 解得：k=4，此时两腰之和为4，4>3，符合题意． ∴k的值为3 或4． 故选：． 例2、有两种消费券：券，满60 元减20 元，B 券，满90 元减30 元，即一次购物大于等 于60 元、90 元，付款时分别减20 元，30 元．小敏有一张券，小聪有一张B 券，他们都购 了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150 元，则所购商 品的标价是______元． 【答】100 或85 【解析】解：设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90 元， x−20+x=150， 解得x=85； ②所购商品的标价大于90 元， x−20+x−30=150， 解得x=100． 故所购商品的标价是100 或85 元． 故答为：100 或85． 可设所购商品的标价是x 元，根据小敏有一张券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价 相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150 元，分①所购商品的标价 小于90 元；②所购商品的标价大于90 元；列出方程即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，属于商品销售问题，注意分两种情况进行讨论求解． 例3、如图，抛物线y=a x 2+bx+4交x 轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点，， BC . M为线段B 上的一个动点，过点M 作PM ⊥x轴，交抛物线于点P，交B 于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P 作PN ⊥BC，垂足为点N .设M 点的坐标为M (m,0)，请用含m 的代数式表示 线段P 的长，并求出当m 为何值时P 有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以，，Q 为顶点的三角形是等 腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】解：(1)将点、B 的坐标代入抛物线表达式得{ 9a−3b+4=0 16a+4 b+4=0， 解得{ a=−1 3 b=1 3 ， 故抛物线的表达式为：y=−1 3 x 2+ 1 3 x+4； (2)由抛物线的表达式知，点C(0,4)， 由点B、的坐标得，直线B 的表达式为：y=−x+4； 设点M (m,0)，则点P(m,−1 3 m 2+ 1 3 m+4)，点Q(m,−m+4)， ∴PQ=−1 3 m 2+ 1 3 m+4+m−4=−1 3 m 2+ 4 3 m， ∵OB=OC，故∠ABC=∠OCB=45°， ∴∠PQN=∠BQM=45°， ∴PN=PQsin 45°= ❑ √2 2 (−1 3 m 2+ 4 3 m)=−❑ √2 6 (m−2) 2+ 2❑ √2 3 ， ∵− ❑ √2 6 <0，故当m=2时，P 有最大值为2❑ √2 3 ； (3)存在，理由： 点、的坐标分别为(−3,0)、(0,4)，则AC=5， ①当AC=CQ时，过点Q 作QE⊥y轴于点E， 则C Q 2=C E 2+EQ 2，即m 2+¿， 解得：m=± 5 ❑ √2 2 (舍去负值)， 故点Q( 5 ❑ √2 2 , 8−5 ❑ √2 2 )； ②当AC=AQ时，则AQ=AC=5， 在Rt △AMQ中，由勾股定理得：¿，解得：m=1或0(舍去0)， 故点Q(1,3)； ③当CQ=AQ时，则2m 2=¿，解得：m=25 2 (舍去)； 综上，点Q 的坐标为(1,3)或( 5 ❑ √2 2 , 8−5 ❑ √2 2 ). 【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到运用待定系数法确定函数关系式、函数 图象上点的坐标的特征、一次函数的性质、锐角三角函数定义、勾股定理、等腰三角形的 概念等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． (1)将点、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)PN=PQsin 45°= ❑ √2 2 (−1 3 m 2+ 4 3 m)=−❑ √2 6 (m−2) 2+ 2❑ √2 3 ，即可求解； (3)分AC=CQ、AC=AQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可． 【好题演练】 一、选择题 1. 若点A(a−1, y1)，B(a+1, y2)在反比例函数y= k x (k<0)的图象上，且y1> y2，则 的取值范围是() a←1 B −1<a<1 a>1 D a←1或a>1 【答】B 【解析】 【分析】 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k<0时，在图象的每一支上，y 随x 的增 大而增大． 根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的同一 支上时，②当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的两支上时，分别列不等式求解即可． 【解答】 解：∵k<0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而增大， ①当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的同一支上， ∵y1> y2， ∴a−1>a+1， 此不等式无解； ②当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的两支上， ∵y1> y2， ∴a−1<0，a+1>0， 解得：−1<a<1， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=( x+a)( x+b)的图象与x 轴有M 个交点， 函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x 轴有个交点，则() M=N−1或M=N +1 B M=N−1或M=N +2 M=N或M=N +1 D M=N或M=N−1 【答】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数与x 轴的交点问题，关键是根据根的判别式的 取值确定抛物线与x 轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0， 确定它是什么函数，进而确定与x 轴的交点个数． 先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的 交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答． 【解答】解：∵y=( x+a)( x+b)=x 2+(a+b)x+ab， ∴△=(a+b) 2−4 ab=(a−b) 2>0， ∴函数y=( x+a)( x+b)的图象与x 轴有2 个交点， ∴M=2， ∵函数y=(ax+1)(bx+1)=ab x 2+(a+b)x+1， ∴当ab≠0时，△=(a+b) 2−4 ab=(a−b) 2>0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x 轴有 2 个交点，即N=2，此时M=N； 当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函 数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N +1； 综上可知，M=N或M=N +1． 故选：． 3. 平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0)，若在坐标轴上取点，使△ABC为等腰三 角形，则满足条件的点的个数是() 5 B 6 7 D 8 【答】 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想方法求解． 【解答】 解：如图，①当AB=AC时，以点为圆心，B 长为半径作圆，与坐标轴有两个交点(点B 除外)，即O(0,0)，C0(0,4)，其中点C0与、B 两点共线，不符合题意; ②当AB=BC时，以点B 为圆心，B 长为半径作圆，与坐标轴有两个交点，均符合题意; ③当AC=BC时，作B 的垂直平分线，与坐标轴有两个交点，均符合题意.所以满足条件 的点有5 个， 故选． 4. 已知∠AOB=70°，以为端点作射线，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为() 28° B 112° 28°或112° D 68° 【答】 【解析】 【分析】 本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据题意画出图 形，此题有两种情况：①∠AOC在∠AOB的内部，②∠AOC在∠AOB的外部，然后 结合角的和差计算即可． 【解答】 解：如图， 当点与点C1重合时，∠BOC=∠AOB−∠AOC=70°−42°=28°； 当点与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°． 故选． 5. 已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是() B D 【答】 【解析】【试题剖析】 【试题解析】 解：分情况讨论： 当a>0、b>0时，直线y1和直线y2都经过一、二、三象限，只有选项符合； 当a<0、b>0时，直线y1经过一、二、四象限，直线y2经过一、三、四象限，没有符合的 选项； 当a>0、b<0时，直线y1经过一、三、四象限，直线y2经过一、二、四象限，没有符合的 选项； 当a<0、b<0时，直线y1和直线y2都经过二、三、四象限，没有符合的选项． 故选：． 分a>0、b>0，a<0、b>0，a>0、b<0，a<0、b<0四种情况讨论，判断出直线经过的 象限，找出符合题意的选项，即可做出判断． 本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系，分类讨论思想，掌握一次函数的图象和性 质是解题的关键． 6. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2−8 x+15=0的一根，则此三角 形的周长是 () 16 B 12 14 D 12 或16 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求 出符合的所有情况是解此题的关键． 先利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继 而相加即可得． 【解答】 解：解方程x 2−8 x+15=0，得：x=3或x=5， 若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：． 二、填空题 7. 如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B 在射线M 上，且 AB=2，点在射线上运动，当△ABC是锐角三角形时，B 的取 值范围是____． 【答】❑ √3<BC<2❑ √3 【解析】解：如图，过点B 作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交于点C2， 在Rt △ABC1中，AB=2，∠A=60°， ∴∠ABC1=30°， ∴A C1=1 2 AB=1，由勾股定理得：BC1=❑ √3， 在Rt △ABC2中，AB=2，∠A=60°， ∴∠A C2B=30°， ∴A C2=4，由勾股定理得：BC2=2❑ √3， 当△ABC是锐角三角形时，点在C1C2上移动，此时❑ √3<BC<2❑ √3． 故答为：❑ √3<BC<2❑ √3． 当点在射线上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应 的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的B 的值． 本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定 理求解．考查直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． 8. 如图，在矩形BD 中，AB=1，BC=a，点E 在边B 上，且BE=3 5 a.连接E，将 △ABE沿E 折叠，若点B 的对应点B'落在矩形BD 的边上，则的值为______． 【答】5 3或 ❑ √5 3 【解析】 【分析】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大 小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形 的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键． 分两种情况：①点B'落在D 边上，根据矩形与折叠的性质易得AB=BE，即可求出的值； ②点B'落在D 边上，证明△ADB'∽△B' CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出的 值． 【解答】 解：分两种情况： ①当点B'落在D 边上时，如图1． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BAD=∠B=90°， ∵将△ABE沿E 折叠，点B 的对应点B'落在D 边上， ∴∠BAE=∠B' AE=1 2 ∠BAD=45°， ∴AB=BE， ∴3 5 a=1，∴a=5 3； ②当点B'落在D 边上时，如图2． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a． ∵将△ABE沿E 折叠，点B 的对应点B'落在D 边上， ∴∠B=∠AB' E=90°，AB=AB'=1，EB=EB'=3 5 a， ∴DB'= ❑ √B' A 2−A D 2= ❑ √1−a 2，EC=BC−BE=a−3 5 a=2 5 a. 在△ADB'与△B' CE中， { ∠B' AD=∠EB' C=90 ∘−∠AB' D ∠D=∠C=90 ∘ ， ∴△ADB'∽△B' CE， ∴DB' CE = AB' B ' E ，即 ❑ √1−a 2 2 5 a = 1 3 5 a， 解得a1= ❑ √5 3 ，a2=0(舍去)． 综上，所求的值为5 3或 ❑ √5 3 ． 故答为5 3或 ❑ √5 3 ． 9. 如图，在一张长为8m，宽为6m 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5m 的等腰三角 形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边 上).则剪下的等腰三角形的面积为 c m 2． 【答】25 2 或5 ❑ √6或10 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的 不确定分情况讨论．因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分①腰长在矩形相邻的两边上， ②一腰在矩形的宽上，③一腰在矩形的长上，三种情况讨论．①△AEF为等腰直角三角 形，直接利用面积公式求解即可；②先利用勾股定理求出E 边上的高BF，再代入面积公 式求解；③先求出E 边上的高DF，再代入面积公式求解． 【解答】 解：不妨设重合的顶点为点，则有以下三种情况： ①如图(1)，AE=AF=5，所以所求面积为1 2 ×5×5=25 2 ． ②如图(2)，AE=EF=5，Rt △BEF中，可求出BE=1， 根据勾股定理可得BF= ❑ √E F 2−E B 2=2❑ √6， 所以所求面积为1 2 AE⋅BF=1 2 ×5×2❑ √6=5 ❑ √6． ③如图(3)，AE=EF=5，Rt △≝¿中，可求出DE=3， 根据勾股定理可得DF= ❑ √E F 2−E D 2=4， 所以所求面积为1 2 AE⋅DF=1 2 ×5×4=10． 综上所述，剪下的等腰三角形的面积为25 2 c m 2或5 ❑ √6c m 2或10c m 2． 10. 如图，在矩形BD 中，点E 为B 的中点，点F 为射线D 上一动点，△A ' EF与△AEF关于EF 所在直线对称， 连接，分别交EA '、EF 于点M 、，AB=2❑ √3， AD=2.若△EMN与△AEF相似，则F 的长为____． 【答】1 或3 【解析】解：①当EM ⊥AC时，△EMN∽△EAF， ∵四边形BD 是矩形， ∴AD=BC=2，∠B=90°， ∴tan∠CAB= BC AB = ❑ √3 3 ， ∴∠CAB=30°， ∴∠AEM=60°， ∴∠AEF=30°， ∴AF=AE⋅tan30°=❑ √3⋅ ❑ √3 3 =1， ②当EN ⊥AC时，△ENM∽△EAF， 可得AF=AE⋅tan 60°=3， 故答为1 或3． 分两种情形①当EM ⊥AC时，△EMN∽△EAF . ② 当EN ⊥AC时，△ENM∽△EAF， 分别求解． 本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 属于中考常考题型． 11. 如图，已知AD/¿ BC，AB⊥BC，AB=3，点E 为射线B 上一个动点，连接E，将△ABE沿E 折叠，点B 落在点B'处， 过点B'作D 的垂线，分别交D，B 于点M，N .当点B'为线段M 的三等分点时，BE 的 长为______． 【答】3 ❑ √2 2 或3 ❑ √5 5 【解析】 【分析】 本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB'，BE=B' E是解题关键，又利用 了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏． 根据勾股定理，可得EB'，根据相似