专题26.1 期末真题重组卷（解析版）

2022-2023 学年九年级数学上册期末真题重组培优卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分50 分，每小题5 分） 1．（3 分）（2022·广东广州·中考真题）直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程 a x 2+2 x+1=0实数解的个数是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．1 个或2 个 【答】D 【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情 况 【详解】∵直线y=x+a不经过第二象限， ∴a≤0， ∵方程a x 2+2 x+1=0， 当=0 时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当<0 时，方程为一元二次方程， ∵∆=b 2−4 ac=4−4 a， 4-4>0 ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解 的情况，注意易错点是的取值范围，再分类讨论 2．（3 分）（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正六边形 BDEF 的中心与原点重合，AB∥x轴，交y 轴于点P．将△P 绕点顺时针旋转，每次旋转 90°，则第2022 次旋转结束时，点的坐标为（ ） ．(❑ √3,−1) B．(−1,−❑ √3) ．(−❑ √3,−1) D．(1,❑ √3) 【答】B 【分析】首先确定点的坐标，再根据4 次一个循环，推出经过第2022 次旋转后，点的坐标 即可． 1 【详解】解：正六边形BDEF 边长为2，中心与原点重合，AB∥x轴， ∴P＝1， ＝2，∠P＝90°， ∴P＝❑ √A O 2−A P 2＝❑ √3， ∴（1，❑ √3）， 第1 次旋转结束时，点的坐标为（❑ √3，-1）； 第2 次旋转结束时，点的坐标为（-1，−❑ √3）； 第3 次旋转结束时，点的坐标为（−❑ √3，1）； 第4 次旋转结束时，点的坐标为（1，❑ √3）； ∵将△P 绕点顺时针旋转，每次旋转90°， 4 ∴次一个循环， 2022÷4 ∵ ＝505……2， ∴经过第2022 次旋转后，点的坐标为（-1，−❑ √3）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关 键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 3．（3 分）（2022·广西梧州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且 AB=AC ,∠BAC=36°，在弧B 上取点D（不与点，B 重合），连接BD , AD，则 ∠BAD+∠ABD的度数是（ ） ．60° B．62° ．72° D．73° 【答】 【分析】连接D，根据等腰三角形的性质可求∠B 的度数，然后根据圆周定理求出 ∠BD=∠BD，∠BD=∠D，从而可求出∠BAD+∠ABD的度数． 【详解】解：连接D， 1 则∠BD=∠BD，∠BD=∠D， ∵B=， ∴∠B=∠B， 又∠B=36°， ∴∠B=180°−36° 2 =72°， ∴∠BD+∠BD=∠BD+∠D=∠B=72°． 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出 ∠BD=∠BD，∠BD=∠D 是解题的关键． 4．（3 分）（2022·全国·九年级课时练习）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2， OB=1，OC=❑ √3，则Δ AOB与Δ BOC的面积之和为（ ） ． ❑ √3 4 B． ❑ √3 2 ．3 ❑ √3 4 D．❑ √3 【答】 【分析】将Δ AOB绕点B 顺时针旋转60°得Δ BCD，连接OD，得到△BOD是等边三角 形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD=90°，从而求解． 【详解】解：将Δ AOB绕点B顺时针旋转60°得Δ BCD，连接OD， 1 ∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2， ∴Δ BOD是等边三角形， ∴OD=OB=1， ∵O D 2+OC 2=1 2+(❑ √3) 2=4，C D 2=2 2=4， ∴O D 2+OC 2=C D 2， ∴∠DOC=90°， ∴Δ AOB与Δ BOC的面积之和为 S△BOC+S△BCD=S△BOD+S△COD= ❑ √3 4 ×1 2+ 1 2 ×1×❑ √3=3 ❑ √3 4 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知 识，利用旋转将Δ AOB与Δ BOC的面积之和转化为S△BOC+S△BCD，是解题的关键． 5．（3 分）（2022·山东枣庄·中考真题）如图，将△B 先向右平移1 个单位，再绕点P 按顺 时针方向旋转90°，得到△′B′′，则点B 的对应点B′的坐标是（ ） ．（4，0） B．（2，﹣2） ．（4，﹣1） D．（2，﹣3） 【答】 【分析】根据平移和旋转的性质，将△B 先向右平移1 个单位，再绕P 点顺时针方向旋转 90°，得到△′B′′，即可得点B 的对应点B '的坐标． 【详解】作出旋转后的图形如下： 1 ∴B'点的坐标为（4，﹣1）， 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 6．（3 分）（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭 合电路的概率是（ ） ．1 3 B．2 3 ．1 2 D．1 【答】B 【分析】画树状图，共有6 种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结 果有4 种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把S1、S2、S3分别记为、B、， 画树状图如下： 1 共有6 种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4 种，即B、、 B、， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为4 6 =2 3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的 结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数 之比，列出树状图是解题的关键． 7．（3 分）（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰Rt △ABC与矩形DEFG 在同一水平 线上，AB=DE=2, DG=3，现将等腰Rt △ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x 是自点到达DE 之时开始计算，至B 离开GF 为止．等腰Rt △ABC与矩形DEFG 的重合部 分面积记为y，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x ≤4时，利 1 用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y 与x 的函数关系式，再结合函数图 象即可求解． 【详解】过点作M⊥B 于，DG=3， 在等腰Rt △ABC中，AB=2， ∴CN=1， ①当0≤x<1时，如图，CM=x， ∴PQ=2 x， ∴y=1 2 ⋅PQ⋅CM=1 2 ×2 x⋅x=x 2， ∴0≤x<1，y 随x 的增大而增大； ②当1≤x<3时，如图， ∴y=S△ABC=1 2 ×2×1=1， ∴当1≤x<3时，y 是一个定值为1； ③当3≤x ≤4时，如图，CM=x−3， ∴PQ=2( x−3)， ∴y=1 2 AB⋅CN−1 2 PQ⋅CM=1 2 ×2×1−1 2 ×2×( x−3) 2=1−( x−3) 2, 当x=3，y=1，当3<x<4，y 随x 的增大而减小，当x=4，y=0， 1 结合BD 选项的图象， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分 情况讨论是解题的关键． 8．（3 分）（2022·山东潍坊·中考真题）已知关于x 的一元二次方程m x 2−(m+2) x+ m 4 =0 有两个不相等的实数根x1，x2．若1 x1 + 1 x2 =4 m，则m 的值是（ ） ．2 B．﹣1 ．2 或﹣1 D．不存在 【答】 【分析】先由二次项系数非零及根的判别式Δ>0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的 取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=m+2 m ，x1 x2= 1 4 ，结合1 x1 + 1 x2 =4 m， 即可求出m 的值． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx2−(m+2)x+m 4 =0 有两个不相等的实数根x1、x2， ∴¿， 解得：m>−1 且m≠0， ∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+m 4 =0 的两个实数根， ∴x1+x2=m+2 m ，x1 x2= 1 4 ， ∵1 x1 + 1 x2 =4 m， ∴ m+2 m 1 4 =4 m， ∴m=2 或−1， ∵m>−1， ∴m=2． 故选：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键 是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于m 的不等式组；(2)牢记 x1+x2=−b a ，x1⋅x2= c a． 1 9．（3 分）（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=a x 2+bx+c的图象，其对称轴 为直线x=−1，且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a−b+c>1，③3a+c<0， ④若顶点坐标为(−1,2)，当m≤x ≤1时，y 有最大值为2、最小值为−2，此时m 的取值范 围是−3≤m≤−1．其中正确结论的个数是( ) ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】 【分析】①：根据二次函数的对称轴−b 2a =−1，c=1，即可判断出abc＞0； ②：结合图象发现，当x=−1时，函数值大于1，代入即可判断； ③：结合图象发现，当x=1时，函数值小于0，代入即可判断； ④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数y=a x 2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=−1，且过点(0,1)， ∴−b 2a =−1，c=1， ∴ab＞0，∴abc＞0，故①正确； 从图中可以看出，当x=−1时，函数值大于1，因此将x=−1代入得， (−1) 2⋅a+(−1)⋅b+c＞1，即a−b+c>1，故②正确； ∵−b 2a =−1，∴b=2a，从图中可以看出，当x=1时，函数值小于0， ∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确； ∵二次函数y=a x 2+bx+c的顶点坐标为(−1,2)， ∴设二次函数的解析式为y=a (x+1) 2+2，将(0,1)代入得，1=a+2， 解得a=−1， ∴二次函数的解析式为y=−(x+1) 2+2， ∴当x=1时，y=−2； ∴根据二次函数的对称性，得到−3≤m≤−1，故④正确； 1 综上所述，①②③④均正确，故有4 个正确结论， 故选． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握 二次函数的图象和性质是本题的关键． 10．（3 分）（2022·四川·九年级专题练习）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P 与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y=a x 2的交点，则a的值为（ ） ．4 B．9 2 ．11 2 D．5 【答】D 【分析】在Rt△B 中，由勾股定理求得AB=10；再求得直线的解析式为y=−x+6；设 ⊙P的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、P、P，根据 S△AOB=S△AOP+S△APB+S△BOP求得m=1，即可得点P 的坐标为（1，5）；再由抛物线 y=a x 2过点P，由此即可求得a=5． 【详解】在Rt△B 中，OA=6，OB=8， ∴AB= ❑ √O A 2+O B 2= ❑ √6 2+8 2=10； ∵OB=8，BC=2， =6 ∴ ， ∴（0，6）； ∵OA=6， ∴（6，0）； 设直线的解析式为y=kx+b， ∴¿ ， 解得¿， 1 ∴直线的解析式为y=−x+6； 设⊙P的半径为m， ∵⊙P与OB相切， ∴点P 的横坐标为m， ∵点P 在直线上， ∴P（m，-m+6）； 连接PB、P、P， ∵⊙P与OB、AB均相切， ∴△BP 边B 上的高为m，△B 边B 上的高为m， ∵P（m，-m+6）； ∴△P 边上的高为-m+6， ∵S△AOB=S△AOP+S△APB+S△BOP， ∴1 2 ×6×8=1 2 ×6× (−m+6)+ 1 2 ×10m+ 1 2 ×8m， 解得m=1， ∴P（1，5）； ∵抛物线y=a x 2过点P， ∴a=5． 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出⊙P的 半径是解决问题的关键． 1 二．填空题（共6 小题，满分30 分，每小题5 分） 11．（3 分）（2022·全国·九年级单元测试）若点P(m,n)在二次函数y=x 2+2 x+2的图象 上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________． 【答】1≤n<10 【分析】先判断−2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m 2+2m+2=(m+1) 2+1， 再利用二次函数的性质求解的范围即可． 【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2， ∴−2<m<2， ∵点P(m,n)在二次函数y=x 2+2 x+2的图象上， ∴n=m 2+2m+2=(m+1) 2+1， ∴当m=−1时，n有最小值为1． 当m=2时，n=(2+1) 2+1=10， ∴n的取值范围为1≤n<10 故答为：1≤n<10 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键． 12．（3 分）（2022·四川凉山·中考真题）已知实数、b 满足－b2＝4，则代数式2－3b2＋－ 14 的最小值是________． 【答】6 【分析】根据－b2＝4 得出b 2=a−4，代入代数式2－3b2＋－14 中，通过计算即可得到答． 【详解】∵－b2＝4 ∴b 2=a−4 将b 2=a−4代入2－3b2＋－14 中 得：a 2－3b 2＋a－14=a 2−3 (a−4 )+a−14=a 2−2a−2 a 2−2a−2=a 2−2a+1−3=(a−1) 2−3 ∵b 2=a−4≥0 ∴a≥4 当=4 时，(a−1) 2−3取得最小值为6 ∴a 2−2a−2的最小值为6 ∵a 2－3b 2＋a－14=a 2−2a−2 ∴a 2－3b 2＋a－14的最小值6 故答为：6． 【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 1 13．（3 分）（2022·贵州遵义·中考真题）如图抛物线y=x2+2x 3 ﹣与x 轴交于，B 两点，与 y 轴交于点，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F 分别是B、BP、P 的中点，连 接DE，DF，则DE+DF 的最小值为_____． 【答】3 ❑ √2 2 【分析】连接,与对称轴交于点P, 此时DE+DF 最小，求解即可 【详解】连接,与对称轴交于点P, 此时DE+DF 最小， ∵点D、E、F 分别是B、BP、P 的中点， ∴DE=1 2 PC , DF=1 2 PB , 在二次函数y=x2+2x 3 ﹣中，当x=0时，y=−3, 当y=0时，x=−3或x=1. 即A (−3,0),B (1,0),C (0,−3). OA=OC=3, AC= ❑ √3 2+3 2=3 ❑ √2, 点P 是抛物线对称轴上任意一点， 则P=PB, P+P=, PB+P=3 ❑ √2, 1 DE+DF 的最小值为：1 2 (PB+PC )=3 ❑ √2 2 . 故答为3 ❑ √2 2 . 【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出 点P 的位置是解题的关键 14．（3 分）（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，在正方形BD 中，对角线，BD 相交于点， 点E 是D 的中点，连接E 并延长交D 于点G，将线段E 绕点逆时针旋转90°得到F，连接 EF，点为EF 的中点．连接，则¿ OH 的值为_______． 【答】 ❑ √10 3 【分析】以为原点，平行于B 的直线为x 轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥D 于M，过F 作F⊥D，交D 延长线于，设正方形BD 的边长为2，从而求出E 的坐标，然后根据待定系 数法求出直线E 的解析式，即可求出G 的坐标，从而可求出GE，根据旋转的性质可求出F 的坐标，进而求出的坐标，则可求，最后代入计算即可得出答． 【详解】解：以为原点，平行于B 的直线为x 轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥D 于M， 过F 作F⊥D，交D 延长线于，如图： 设正方形BD 的边长为2，则（1，1），D（﹣1，1）， ∵E 为E 中点， 1 ∴E（−1 2 ，1 2）， 设直线E 解析式为y＝kx+b，把（1，1），E（−1 2 ，1 2）代入得： ¿， 解得¿， ∴直线E 解析式为y=1 3 x+ 2 3， 在y=1 3 x+ 2 3中，令x＝﹣1 得y＝1 3， ∴G（﹣1，1 3）， ∴GE＝❑ √(−1+ 1 2 ) 2 +( 1 3−1 2 ) 2 ＝ ❑ √10 6 ， ∵将线段E 绕点逆时针旋转90°得到F， ∴E＝F，∠EF＝90°， ∴∠ME＝90°﹣∠F＝∠F， ∵∠EM＝∠F＝90°， ∴△EM≌△F（S）， ∴ME＝，M＝F， ∵E（−1 2 ，1 2），（1，1）， ∴ME＝＝1 2，M＝F＝3 2， ∴F（3 2，−1 2 ）， ∵是EF 中点， ∴（1 2，0）， ∴＝1 2， ∴¿ OH ＝ ❑ √10 6 1 2 ＝ ❑ √10 3 ． 故答为： ❑ √10 3 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，两点间距离公式等知识，以为原点，平 1 行于B 的直线为x 轴，建立直角坐标系是解题的关键． 15．（3 分）（2022·山东济南·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换 表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0 和1 组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列 “011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到O1(1,0)，再将O1(1,0)绕原点顺时针旋 转90°得到O2(0,−1)，再将O2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1,0)…依次类推． 点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为______． 【答】(−1,−1) 【分析】根据题意得出点(0,1)坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答． 【详解】解：点(0,1)按