专题18.1 平行四边形的性质【八大题型】（解析版）

专题181 平行四边形的性质【八大题型】 【人版】 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】............................................................................................................. 1 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】............................................................................................................. 6 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】........................................................................................................... 10 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】...................................................................................................14 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】...............................................................................................19 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】.......................................................................................................23 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】........................................................................................................... 29 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】.......................................................................................................34 【知识点 平行四边形的性质】 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 【例1】（2022 春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°， DC=6，点E、F 分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A ' B ' FE， A ' E恰好垂直于AD，若AE=5 2，则B ' F的值为（ ） 1 ．3 B．2❑ √3−1 ．3 ❑ √3−1 2 D．5 2 ❑ √3 【答】 【分析】延长F B '交AD于点，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A 'G=2 A ' E=5， EG=5 2 ❑ √3，在Rt △GH B '中，得到H B '=1 2 G B '=1 2，HG=1 2 ❑ √3，由折叠的性质得到 △HEF是等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：延长F B '交AD于点， ∵A ' E恰好垂直于AD，且四边形ABCD是平行四边形， ∴FH也垂直于AD， 由折叠的性质得AE=A E '=5 2，∠A ' EG=∠B ' HG=90°，∠A '=∠A=60°， A ' B '=AB=6， ∴∠A '≥¿30°， ∴A 'G=2 A ' E=5，EG=❑ √5 2−( 5 2) 2 =5 2 ❑ √3， 在Rt △GH B '中，∠B 'GH=30°，B 'G=A ' B '−A 'G=1， ∴H B '=1 2 G B '=1 2，HG=❑ √ 1 2−( 1 2) 2 =1 2 ❑ √3， ∴EH=EG+GH=5 2 ❑ √3+ 1 2 ❑ √3=3 ❑ √3， 由折叠的性质得∠AEF=∠A ' EF， ∴180°−∠HEF=90°+∠HEF， ∴∠HEF=45°， ∴△HEF是等腰直角三角形， ∴FH=EH=3 ❑ √3， 1 ∴B ' F=3 ❑ √3−1 2， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30 度角的直角 三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF是等腰直角三角形是解题的关键． 【变式1-1】（2022 秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD相交于，EF过点与AD，BC分别相交于E，F，若 BC=8，OE=2，AB=4，那么四边形EFCD的周长为（ ） ．16 B．17 ．18 D．19 【答】 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=8，再根据平行四边 形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF，根据全等三角形的性质，得： OF=OE=2，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+ AD=16． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=4，AD=BC=8，OA=OC ，AD∥BC ， ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO， 在△AOE和△COF中， ¿， ∴△AOE≅ △COF， ∴OF=OE=2，CF=AE， ∴四边形EFCD的周长为 CD+EF+ED+FC=CD+EF+ AE+ED=CD+ AD+EF=4+8+2×2=16， 故选：． 1 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性 质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键． 【变式1-2】（2022 春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10， 按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F； ②分别以点E，F为圆心，大于1 2 EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画 射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA ⊥CA，则AO的长度为（ ） ．3 B．❑ √3 ．3 2 D．2❑ √2 【答】 【分析】先根据平行四边形的性质得到B＝D＝10，再利用勾股定理计算出＝8，利用基本 作图得到BQ 平分∠B，则根据角平分线的性质得到点到B 的距离等于点到B 的距离，接着 利用三角形的面积公式得到S△B：S△B＝B：B＝：，所以¿ 3 8． 【详解】解：∵四边形BD 为平行四边形， ∴B＝D＝10， ∵B⊥， ∴∠B＝90°， 在Rt△B 中，¿ ❑ √BC 2−A B 2= ❑ √10 2−6 2=¿8， 由作法得BQ 平分∠B， ∴点到B 的距离等于点到B 的距离， ∴S△B：S△B＝B：B＝6：10＝3：5， ∵S△B：S△B＝：， ∴：＝3：5， ∴：＝3：8， ∴¿ 3 8¿ 3 8 ×8＝3． 故选：． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握 角平分线的性质是解题的关键． 【变式1-3】（2022 秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中， 1 AD=BD，∠ADC=105°，点E 在AD上，∠EBA=60°，则ED AE 的值是（ ） ．2 3 B．❑ √3 ． ❑ √3 2 D． ❑ √3 3 【答】D 【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求 DE=❑ √3 BH−BH，AE=3 BH−❑ √3 BH，即可求解． 【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥AD于， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC+∠DAB=180°， ∵∠ADC=105°， ∴∠DAB=75°， ∵AD=BD， ∴∠DAB=∠DBA=75°， ∴∠BDA=30°， ∴BD=2BH=AD，DH=❑ √3 BH， ∴AH=2BH−❑ √3 BH， ∵∠EBA=60°， ∴∠BEA=180°−∠DAB−∠ABE=45°， ∴∠EBH=45°=∠BEH，∴BH=EH， ∴DE=❑ √3 BH−BH，AE=3 BH−❑ √3 BH， ∴ED AE = ❑ √3 BH−BH 3 BH−❑ √3 BH = ❑ √3 3 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三 1 角形是解题的关键． 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 【例2】（2022 春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱BD 中，、BD 交于 点．过点作E⊥BD 交B 于点E，连接DE．若∠DE＝∠BD＝15°．求∠B 的度数． 【答】45° 【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出∠CBD=∠BDE=15° ，求出 ∠ABD=30°，则可得出答． 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形， ∴B=D， ∵E⊥BD， ∴BE=ED， ∴∠CBD=∠BDE=15°， ∵∠CDE=15°， ∴∠BDC=30°， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC=30°， ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直 平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【变式2-1】（2022 秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个 内角∠A :∠B=1:2，则∠A的度数是（ ） ．45° B．60° ．90° D．120° 【答】B 【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合 ∠A :∠B=1:2列方程，即可得到答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A :∠B=1:2， ∴∠A+2∠A=180°， 1 解得∠A=60°， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键． 【变式2-2】（2022 春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为 斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内 部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）． ．130° B．135° ．150° D．125° 【答】B 【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB， ∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB= y，求出 ∠ADC=225°−2 x，∠BCD=225°−2 y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出 x+ y=135°，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°， ∵AD=DE=CE， ∴AD=DE=CE=BC， ∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB， ∵∠DEC=90°， ∴∠EDC=∠ECD=45°， 设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB= y， ∴∠ADE=180°−2 x，∠BCE=180°−2 y， ∴∠ADC=180°−2 x+45°=225°−2 x，∠BCD=225°−2 y， ∴∠BAD=180°−(225°−2 x )=2 x−45°， ∴2 x−45°=225°−2 y， ∴x+ y=135°， ∴∠AEB=360°−135°−90°=135°； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质 (两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系． 1 【变式2-3】（2022 春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并 延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 _____． 【答】45° 【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECG (SAS)，可得DG=CG， ∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接DG， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD=BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠DAG=∠GEC=90°， ∵EG=BC， ∴EG=AD， 在△ADG和△ECG中， ¿， ∴△ADG ≌△ECG (SAS)， ∴DG=CG，∠ADG=∠ECG， ∵∠ADG+∠AGD=90°， ∴∠EGC+∠AGD=90°， 1 ∴∠DGC=90°， ∴△DGC是等腰直角三角形， ∴∠DCG=45°， ∵AB∥CD， ∴∠BFC=∠DCG=45°． 故答为：45°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判 定与性质，解决本题的关键是得到△ADG ≌△ECG． 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 【例3】（2022 秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周 长为60，则平行四边形ABCD的面积是（ ） ．36 B．48 ．63 D．75 【答】 【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方 法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3 即为平行四边形的面积． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60， ∴BC+CD=30， 设BC为x， ∵S ▱ABCD=BC ⋅AE=CD⋅AF， ∴3 x=(30−x )×7，解得：x=21， ∴▱ABCD的面积为21×3=63， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积 等于底×高． 【变式3-1】（2022 春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上， 四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______． 1 【答】10 【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答． 【详解】解：连接BD， ∵m∥n， ∴S△ABC=S△ABD， ∵四边形ABED为平行四边形， ∴AB=DE， ∴S△ABC=S△ABD=S△BDE， ∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10， 故答为：10． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面 积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键． 【变式3-2】（2022 春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (m,0)，B (n,0)，且m，满足(m+1) 2+|n−3|=0，将线段B 先向右平移1 个单位长度， 再向上平移3 个单位长度，得到线段D，其中点D 与点对应，点与点B 对应，连接D，B， D，得到平行四边形BD，连接BD． (1)补全图形，并写出平行四边形BD 各顶点坐标； 1 (2)平行四边形BD 的面积是多少？ (3)在x 轴上是否存在点M，使△MBD 的面积等于平行四边形BD 的面积？若存在，求出点 M 坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)图见解析，A (−1,0)，B (3,0)，C (4,3)，D (0,3) (2)12 (3)存在，(11,0)或(−5,0) 【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n的值，再根据平移的性质、线段的 画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C , D的坐标； （2）先求出AB=4，OD=3，再利用平行四边形的面积公式即可得； （3）设点M的坐标为M (a,0)，则BM=|a−3|，再根据三角形的面积公式建立方程，解 方程可得a的值，由此即可得． （1） 解：∵(m+1) 2+|n−3|=0， ∴m+1=0，n−3=0， 解得m=−1，n=3， ∴A (−1,0)，B (3,0)， 补全图形如下： 由平移的性质得：C (3+1,0+3)，D (−1+1,0+3)，即C (4,3)，D (0,3)． （2） 解：∵A (−1,0)，B (3,0)，D (0,3)， ∴AB=3−(−1)=4，OD=3， 则平行四边形ABCD的面积是AB⋅OD=4×3=12． （3） 解：如图，设点M的坐标为M (a,0)， 则BM=|a−3|， 1 ∵△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积， ∴1 2 OD⋅BM=12，即1 2 ×3|a−3|=12， 解得a=11或a=−5， 所以存在这样的点M，此时点M的坐标为(11,0)或(−5,0)． 【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟 练掌握平移作图是解题关键． 【变式3-3】（2022 春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是 6×6的正方形格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点在格点上．用 直尺在给定的格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． (1)在图①中以点为顶点，画一个面积为6 的平行四边形． (2)在图②中以点为对角线交点，画一个面积为6 的平行四边形． 【答】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可； （2）根据要求，画出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求； 1 由图可知：平行四边形ABCD的面积¿3×2=6； （2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求； 由图可知：平行四边形EFGH的面积¿3×2=6． 【点睛】本题考查格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的 关键． 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 【例4】（2022 春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折 叠，使点B落在点B '处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）． ．124° B．114° ．104° D．56° 【答】 【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答． 【