专题12.1 全等三角形的性质【八大题型】（解析版）

专题121 全等三角形的性质【八大题型】 【人版】 【题型1 全等图形的概念】.....................................................................................................................................1 【题型2 全等三角形的对应元素判断】................................................................................................................. 3 【题型3 全等三角形的性质（求长度）】.............................................................................................................5 【题型4 全等三角形的性质（求角度）】.............................................................................................................7 【题型5 全等三角形的性质（判断结论）】.......................................................................................................10 【题型6 全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】....................................................................................13 【题型7 全等三角形的性质（动点问题）】.......................................................................................................16 【题型8 全等三角形的性质（证明题）】...........................................................................................................20 【知识点1 全等图形的概念】 能完全重合的图形叫做全等图形 【知识点2 全等图形的性质】 两个图形全等，它们的形状相同，大小相同 【题型1 全等图形的概念】 【例1】（2022 春•偃师市期末）下列说法不正确的是（ ） ．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 ．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等 【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答． 【解答】解：．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意； B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意； ．全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误， 符合题意； D．全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意； 故选：． 【变式1-1】（2021 秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（ ） ①两个等边三角形一定能完全重合； 1 ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个等腰三角形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】直接利用全等图形的性质分别分析得出答． 【解答】解：①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意； ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意； ③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意； ④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意． 故选：． 【变式1-2】（2021 秋•蔡甸区期中）如图，有①～⑤5 个条形方格图，每个小方格的边 长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（ ） ．②③④ B．③④⑤ ．②④⑤ D．②③⑤ 【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和①中图形完全重合的便是①的全 等形． 【解答】解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合， ③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合， ④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合， ⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合， 故选：． 【变式1-3】（2021 春•宁德期末）在如图所示的格图中，每个小正方形的边长都为1．沿 着图中的虚线，可以将该图形分割成2 个全等的图形．在所有的分割方中，最长分割线 的长度等于 ． 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2 个全等的图形．画出所有的分割方， 即可得到最长分割线的长度． 【解答】解：分割方如图所示： 1 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答为：7． 【知识点3 全等三角形的性质】 全等三角形的对应边相等，对应角相等（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的 中线、角平分线、 高线均相等） 【题型2 全等三角形的对应元素判断】 【例2】（2021 秋•南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长， 则∠1 的度数是（ ） ．115° B．65° ．40° D．25° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180° 115° 25° ﹣ ﹣ ＝40°， ∵两个三角形全等， 1 ∴∠＝∠2＝40°， 故选：． 【变式2-1】（2021 秋•大连期中）如图，△B≌△M，∠B 和∠是对应角，B 和是对应边，其它 对应边及对应角正确的是（ ） 1 ．∠B 和∠M 是对应角 B．∠B 和∠B 是对应角 ．M 和BM 是对应边 D．B 和是对应边 【分析】全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可．关键要细心，找对对应角 和对应边． 【解答】解：∵△B≌△M，∠B 和∠是对应角，B 与是对应边， ∴对应边：与M，B 与M； 对应角：∠B＝∠M，∠B＝∠M． 故选：． 【变式2-2】（2021 春•泰兴市期末）边长都为整数的△B 和△DEF 全等，B 与DE 是对应边， B＝2，B＝4，若△DEF 的周长为奇数，则DF 的值为（ ） ．3 B．4 ．3 或5 D．3 或4 或5 【分析】根据三角形的三边关系求得的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求 解． 【解答】解：的范围是2＜＜6，则的奇数值是3 或5． △B 和△DEF 全等，B 与DE 是对应边，则DE＝B＝2， 当DF＝时，DF＝3 或5． 当DF＝B 时，DF＝4． 故选：D． 【变式2-3】（2021 秋•鲁甸县期末）如果△B 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分 别为3，3x 2 ﹣，2y 1 ﹣，若这两个三角形全等，则x+y＝ ． 【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可，注 意分类讨论． 【解答】解：∵两个三角形全等， 3 ∴x 2 ﹣＝5，2y 1 ﹣＝7 或3x 2 ﹣＝7，2y 1 ﹣＝5， 解得：x¿ 7 3，y＝4 或x＝3，y＝3， 则x+y¿ 19 3 或6， 故答为：19 3 或6． 【题型3 全等三角形的性质（求长度）】 【例3】（2021 秋•青田县期末）如图，已知△B≌△DEF，B，E，，F 在同一条直线上．若 BF＝8m，BE＝2m，则E 的长度（ ）m． 1 ．5 B．4 ．3 D．2 【分析】根据全等三角形的性质得出B＝EF，求出BE＝F＝2m，再求出答即可． 【解答】解：∵△B≌△DEF， ∴B＝EF， ∴B﹣E＝EF﹣E， ∴BE＝F， ∵BE＝2m， ∴F＝BE＝2m， ∵BF＝8m， ∴E＝BF﹣BE﹣F＝8 2 2 ﹣﹣＝4（m）， 故选：B． 【变式3-1】（2022 秋•巴南区期末）如图，△B≌△BDE，B⊥BD，B＝BD，＝4，DE＝3，E 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论． 【解答】解：∵△B≌△BDE， ∴BE＝＝4，B＝DE＝3， ∴E＝BE﹣B＝1， 故选：． 【变式3-2】（2020 秋•永嘉县校级期末）如图，已知△B≌△DBE，点，分别对应点D，E， B 交DE 于点F，∠BD＝∠E，若BE＝10，F＝4，则EF 的长为（ ） 1 ．4 B．5 ．6 D．7 【分析】根据全等三角形性质，可得：∠B＝∠DBE，进而得出∠BD＝∠FBE，得出∠FBE ＝∠E，得出BF＝EF 即可． 【解答】解：∵△B≌△DBE， ∴∠B＝∠DBE，BE＝B， ∴∠B﹣∠DBF＝∠DBE﹣∠DBF， 即∠BD＝∠FBE， ∵∠BD＝∠E， ∴∠FBE＝∠E， ∴BF＝EF＝B﹣F＝10 4 ﹣＝6， 故选：． 【变式3-3】（2021 春•沙坪坝区期末）如图，△B 中，点D、点E 分别在边B、B 上，连结 E、DE，若△DE≌△BDE，：B：B＝2：3：4，且△B 的周长比△E 的周长大6．则△E 的周 长为 ． 【分析】由：B：B＝2：3：4，可设＝2x，B＝3x，B＝4x．△B 的周长比△E 的周长大 6，可推断出x＝2，故＝4，B＝8．由△DE≌△BDE，得E＝BE，故△E＝E+E+＝BE+E+＝ B+＝12． 【解答】解：∵△DE≌△BDE， ∴BE＝E． ∴△E＝E+E+＝BE+E+＝B+． ∵：B：B＝2：3：4， ∴设＝2x，B＝3x，B＝4x． ∵△B 的周长比△E 的周长大6， ∴△B﹣△E＝6． ∴（B+B+）﹣（B+）＝6． ∴B＝3x＝6． ∴x＝2． ∴＝2x＝4，B＝4x＝8． ∴△E＝B+＝8+4＝12． 1 故答为：12． 【题型4 全等三角形的性质（求角度）】 【例4】（2022 春•鼓楼区校级期末）如图，△B ′ ≌△B′′，边B′′过点且平分∠B 交B 于点D， ∠B＝27°，∠DB′＝98°，则∠′的度数为（ ） ．60° B．45° ．43° D．34° 【分析】根据对顶角相等求出∠DB，根据三角形内角定理求出∠BD，根据角平分线的定 义求出∠B，进而求出∠，根据全等三角形对应角相等解答即可． 【解答】解：∵∠DB′＝98°， ∴∠DB＝∠DB′＝98°， ∴∠BD＝180°﹣∠B﹣∠DB＝55°， ∵B′平分∠B， ∴∠B＝2∠BD＝110°， ∴∠＝180°﹣∠B﹣∠B＝43°， ∵△B ′ ≌△B′′， ′ ∴∠＝∠＝43°， 故选：． 【变式4-1】（2021 秋•民权县期末）如图，△B≌△DE，且E∥BD，∠BD＝94°，则∠B 的度数 的值为（ ） ．84° B．60° ．48° D．43° 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ED，B＝D，根据等腰三角形的性质和三角 形内角和定理求出∠DB＝∠BD＝43°，根据平行线的性质得出∠ED＝∠DB＝43°，再求出 答即可． 【解答】解：∵△B≌△DE， ∴∠B＝∠ED，B＝D， 1 ∵∠BD＝94°， ∴∠DB＝∠BD¿ 1 2 ×（180°﹣∠BD）＝43°， ∵E∥BD， ∴∠ED＝∠DB＝43°， ∴∠B＝∠ED＝43°， 故选：D． 【变式4-2】（2021 秋•招远市期中）如图，△B≌△DE，点和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点作F⊥D，垂足为点F，若∠BE＝56°，则∠F 的度数为（ ） ．36° B．24° ．56° D．34° 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ED，求出∠BE＝∠F，求出∠F＝56°，再根 据直角三角形的两锐角互余得出即可． 【解答】解：∵△B≌△DE， ∴∠B＝∠ED， ∴∠B﹣∠E＝∠ED﹣∠E， 即∠BE＝∠F， ∵∠BE＝56°， ∴∠F＝56°， ∵F⊥D， ∴∠F＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠F＝＝34°， 故选：D． 【变式4-3】（2022 春•武侯区期末）如图，在△B 中，在边B 上取一点D，连接D，在边D 上取一点E，连接E．若△DB≌△DE，∠BD＝α，则∠E 的度数为（ ） ．α B．α 45° ﹣ ．45°﹣α D．90°﹣α 1 【分析】根据全等三角形的性质可得∠DB＝∠DE，D＝D，∠DE＝∠BD，进一步可得 ∠DE＝90°，∠D＝45°，即可求出∠E 的度数． 【解答】解：∵△DB≌△DE， ∴∠DB＝∠DE，D＝D，∠DE＝∠BD， ∵∠DB+∠DE＝180°， ∴∠DE＝90°， ∴∠D＝∠D＝45°， ∵∠BD＝α， ∴∠DE＝α， ∴∠E＝45°﹣α， 故选：． 【题型5 全等三角形的性质（判断结论）】 【例5】（2022•龙岗区模拟）如图，△B ′ ≌△B′，且点B′在B 边上，点′恰好在B 的延长线上， 下列结论错误的是（ ） ．∠BB′＝∠′ B．∠B＝2∠B ．∠B′＝∠B′ D．B′平分∠BB′′ 【分析】根据全等三角形的性质得出B＝B′，∠B＝∠′B′，∠B＝∠′B′，再逐个判断即可． 【解答】解：∵△B ′ ≌△B′， ∴B＝B′，∠B＝∠′B′，∠B＝∠′B′， ．∵∠B＝∠′B′， ∴∠B﹣∠B′＝∠′B′﹣∠B′， ∴∠BB′＝∠′，故本选项不符合题意； B．∵B＝B′， ∴∠B＝∠B′B， ′ ∴∠B′＝∠B+∠BB′＝2∠B， ∵∠B＝∠′B′， ∴∠B＝2∠B，故本选项不符合题意； ．不能推出∠B′＝∠B′，故本选项符合题意； D．∵∠B＝∠BB′，∠B＝∠′B′， ′ ∴∠B′＝∠BB′， 1 即B′平分∠BB′′，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式5-1】（2021 春•海口期末）如图，△B≌△EF，B＝E，∠B＝∠E，则对于结论①＝F， ②∠FB＝∠EB，③EF＝B，④∠EB＝∠F，其中正确结论的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【解答】解：∵△B≌△EF， ∴＝F，故①正确； ∠EF＝∠B， ∴∠F＝∠EB≠∠FB，故②错误； EF＝B，故③正确； ∠EB＝∠F，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④共3 个． 故选：． 【变式5-2】（2021 秋•新乐市期末）如图，△BD≌△EB，B＝12，B＝5，，B，三点共线， 则下列结论中： ①D⊥E； ②D⊥E； ③∠ED＝∠ED； 正确的是 【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是 否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：延长D 交E 于点，延长D 交E 于点M， ∵△BD≌△EB， 1 ∴∠BD＝∠EB，B＝EB，BD＝B，∠DB＝∠EB， ∵∠BD+∠EB＝180°，∠BE＝∠BE，∠BD＝∠BD， ∴∠BD＝∠EB＝90°， ∴∠BE＝∠BE＝45°，∠BD＝∠BD＝45°， ∴∠BE+∠BD＝90°， ∴∠M＝90°， ∴D⊥E，故①正确； ∵∠EB+∠EB＝90°，∠BD＝∠BE， ∴∠BD+∠EB＝90°， ∴∠＝90°， ∴D⊥E，故②正确； ∵∠DB＝∠ED+∠ED＝∠ED+45°， ∠EB＝∠ED+∠BD＝∠ED+45°， ∠DB＝∠EB， ∴∠ED＝∠ED，故③正确； 故填：①②③． 【变式5-3】（2021 秋•五常市期末）如图，点E 是D 上的一点，Rt△D Rt ≌ △EB，则下结论： ①＝B，②D∥BE，③∠B＝90°，④D+DE＝BE， 成立的有 个． 【分析】根据全等三角形的性质得出＝BE，D＝B，∠D＝∠BE，∠D＝∠BE，根据以上结 论即可推出＜B，∠D≠∠BED，∠B＝90°，D+DE＝D＝B＞BE，即可判断各个小题． 【解答】解： Rt ∵ △D Rt ≌ △EB， ∴＝BE， ∵在Rt△BE 中，BE＜B， ∴＜B，∴①错误； ∵∠D＝∠EB＝∠BED＝90°，∠D＜∠D， 1 ∴∠D≠∠BED， ∴D 和BE 不平行，∴②错误； Rt ∵ △D Rt ≌ △EB， ∴∠D＝∠EE，∠D＝∠BE， ∵∠D＝90°， ∴∠D+∠D＝90°， ∴∠B＝∠D+∠BDE＝90°，∴③正确； Rt ∵ △D Rt ≌ △EB， ∴D＝E，D＝B， D＝E+DE＝D+DE＝B， ∵BE＜B， ∴D+DE＞BE，∴④错误； 故答为：1． 【题型6 全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】 【例6】（2022•长春二模）如图，△B≌△D，点B 和点是对应顶点，∠＝∠D＝90°，记∠D＝ α，∠B＝β，当B∥时，α 与β 之间的数量关系为（ ） ．α＝β B．α＝2β ．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【分析】根据全等三角形对应边相等可得B＝，全等三角形对应角相等可得∠B＝∠D， 然后求出∠B＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B，然后根据两直线平行，同旁 内角互补表示出∠B，整理即可． 【解答】解：∵△B≌△D， ∴B＝，∠B＝∠D， ∴∠B＝∠D＝α， 在△B 中，∠B¿ 1 2（180°﹣α）， ∵B∥， ∴∠B＝180°﹣∠＝180° 90° ﹣ ＝90°， ∴β+1 2 （180°﹣α）＝90°， 1 整理得，α＝2β． 故选：B． 【变式6-1】（2021 秋•林州市期末）如图，点D，E，F 分别在△B 的边B，B，上（不与顶 点重合），设∠B＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△FE，则α，θ 满足的关系是（ ） ．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° ．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【分析】由∠B＝α，得∠B+∠＝180°﹣α，根据△BED≌△FE，即有∠B＝∠＝90°−1 2 α， ∠BDE＝∠FE，故∠FE+∠BED＝90°+1 2 α，从而90°+1 2 α+θ＝180°，即可答． 【解答】解：∵∠B＝α， ∴∠B+∠＝180°﹣α， ∵△BED≌△FE， ∴∠B＝∠＝90°−1 2 α，∠BDE＝∠FE， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°−1 2 α）＝90°+1 2 α， ∴∠FE+∠BED＝90°+1 2 α， ∵∠FED＝θ，∠FE+∠BED+∠FED＝180°， 90° ∴ +1 2 α+θ＝180°， ∴α+2θ＝180°， 故选：B． 【变式6-2】（2022 春•徐汇区校级期末）如图，，，三点在同一