专题18.1 平行四边形的性质【八大题型】（原卷版）

专题181 平行四边形的性质【八大题型】 【人版】 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】............................................................................................................. 1 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】............................................................................................................. 3 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】............................................................................................................. 4 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】.....................................................................................................5 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】..................................................................................................6 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】.........................................................................................................7 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】............................................................................................................. 9 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】.......................................................................................................10 【知识点 平行四边形的性质】 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 【例1】（2022 春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°， DC=6，点E、F 分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A ' B ' FE， A ' E恰好垂直于AD，若AE=5 2，则B ' F的值为（ ） 1 ．3 B．2❑ √3−1 ．3 ❑ √3−1 2 D．5 2 ❑ √3 【变式1-1】（2022 秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD相交于，EF过点与AD，BC分别相交于E，F，若 BC=8，OE=2，AB=4，那么四边形EFCD的周长为（ ） ．16 B．17 ．18 D．19 【变式1-2】（2022 春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10， 按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F； ②分别以点E，F为圆心，大于1 2 EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画 射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA ⊥CA，则AO的长度为（ ） ．3 B．❑ √3 ．3 2 D．2❑ √2 【变式1-3】（2022 秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中， AD=BD，∠ADC=105°，点E 在AD上，∠EBA=60°，则ED AE 的值是（ ） 1 ．2 3 B．❑ √3 ． ❑ √3 2 D． ❑ √3 3 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 【例2】（2022 春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱BD 中，、BD 交于 点．过点作E⊥BD 交B 于点E，连接DE．若∠DE＝∠BD＝15°．求∠B 的度数． 【变式2-1】（2022 秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个 内角∠A :∠B=1:2，则∠A的度数是（ ） ．45° B．60° ．90° D．120° 【变式2-2】（2022 春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为 斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内 部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）． ．130° B．135° ．150° D．125° 【变式2-3】（2022 春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并 延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 _____． 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 【例3】（2022 秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周 长为60，则平行四边形ABCD的面积是（ ） 1 ．36 B．48 ．63 D．75 【变式3-1】（2022 春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上， 四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______． 【变式3-2】（2022 春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (m,0)，B (n,0)，且m，满足(m+1) 2+|n−3|=0，将线段B 先向右平移1 个单位长度， 再向上平移3 个单位长度，得到线段D，其中点D 与点对应，点与点B 对应，连接D，B， D，得到平行四边形BD，连接BD． (1)补全图形，并写出平行四边形BD 各顶点坐标； (2)平行四边形BD 的面积是多少？ (3)在x 轴上是否存在点M，使△MBD 的面积等于平行四边形BD 的面积？若存在，求出点 M 坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（2022 春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是 6×6的正方形格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点在格点上．用 直尺在给定的格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． 1 (1)在图①中以点为顶点，画一个面积为6 的平行四边形． (2)在图②中以点为对角线交点，画一个面积为6 的平行四边形． 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 【例4】（2022 春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折 叠，使点B落在点B '处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）． ．124° B．114° ．104° D．56° 【变式4-1】（2022 春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形 ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠≝¿60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四 边形EF C ' D '，E D '交BC于点G，则△GEF的周长为 （ ） ．6 B．12 ．18 D．24 【变式4-2】（2022 秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱BD 中，点E，F 分别在边B、D 上，将△EF 沿EF 折叠，点恰好落在B 边上的点G 处．若∠=45°，B=6❑ √2，5BE=E．则F 长 度为_____． 1 【变式4-3】（2022 秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形BD 为平行四边形，己知B ＝❑ √13，B＝6，＝5，点E 是B 边上的动点，现将△BE 沿E 折叠，点B′是点B 的对应点， 设E 长为x，若点B′落在△DE 内（包括边界），则x 的取值范围为____________． 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 【例5】（2022 春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，，B，，D 的坐标 依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以，B，，D 为顶点的四边形是平行四边形， 则a+b的值不可能是（ ） ．-7 B．-1 ．1 D．7 【变式5-1】（2022 春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 （-3，0）、B（0，-4），点P 是y 轴上一动点，连接P 并延长至点D，使PD=P，以B、D 为邻边作□BD，连接，当长最小时，则点P 的坐标是________． 【变式5-2】（2022 春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中， D 是平行四边形B 内一点，D 与x 轴平行，D 与y 轴平行，已知AD=2，CD=8， ∠ADB=135°，S△ABD=6，则D 点的坐标为_______． 1 【变式5-3】（2022 秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD 的BC边在x 轴上，点A (0，3)，B (−1，0)，若直线y=−2 x+4恰好平分平行四边形 ABCD的面积，则点D 的坐标是 _____________． 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 【例6】（2023 秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形 ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F． (1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹， 不写作法） (2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG． 证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD， ① ∴∠ABD=∠CDB， ∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD， ∴ ② ，∠DCH=1 2 ∠BCD， 1 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ ③ ∴∠BAE=∠DCH， 在△BF 和△DG 中， ¿， ∴△ABF ≌△CDG ( ASA )． ∴BF=DG 【变式6-1】（2022 春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD 中，点E 是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)求证：AE平分∠DAB； (3)若∠DAB=60°，AB=4，求▱ABCD的面积． 【变式6-2】（2022 秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F 是对角线BD上两个点，且BE=DF (1)求证：AE=CF； (2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数=______ 【变式6-3】（2022 秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的 对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F (1)求证：OE=OF； 1 (2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 【例7】（2022 春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用 “截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形 ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据 全等三角形的性质得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，则 ∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得 S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化 为等腰直角三角形EAC面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 m2． (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求线段AB的最小值． (3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于，且∠BOC=60°； AC+BD=10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时 平行四边形ABCD的面积． 【变式7-1】（2022 秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10， AC=12，D 是B 边上任意一点，连接D，以D，D 为邻边作平行四边形DE，连接DE，则 DE 长的最小值为___________． 【变式7-2】（2022 春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形BD 中，B=6， ∠B=60°，BE 平分∠B，点F 为B 上一点，点G 为BE 上一点，连接G，FG，则G+¿FG 的 最小值为_________． 1 【变式7-3】（2022 春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=3 2， ∠ACB=30°，AC ⊥AB，点E 在AC上，CE=1，点P 是BC边上的一动点，连接 PE 、PA，则PE+PA的最小值是________． 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 【例8】（2022 秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24 cm，E 是BC的中点． 动点P 从点出发沿 AD向终点D 运动，动点P 平均每秒运动1 m；同时动点Q 从点出发沿CB向终点B 运动， 动点Q 平均每秒运动2 m，当动点P 停止运动时，动点Q 也随之停止运动． (1)当动点P 运动t(0<t<9)秒时，则PD=¿________；(用含t 的代数式直接表示) (2)当动点Q 运动t 秒时， ① 若0<t<6，则EQ=¿________；(用含t 的代数式直接表示) ② 若6<t<9，则EQ=¿________；(用含t 的代数式直接表示) (3)当运动时间t 为多少秒时，以点P，Q，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式8-1】（2022 春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形B 是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是(-16，0)， 线段B 交y 轴于点D，点D 的坐标是 (0，8)，线段D=6．动点P 从点出发，沿射线的方向以每秒2 个单位的速度运动，同时动点 Q 从点D 出发，以每秒1 个单位的速度向终点B 运动，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停 止运动，运动时间为t 秒 1 (1)用t 的代数式表示：BQ=_______，P=_______； (2)若以，B，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值； (3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t 的值． 【变式8-2】（2022 秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知在平行四边形BD 中，动点P 在 D 边上，以每秒05m 的速度从点向点D 运动． (1)如图1，在运动过程中，若P 平分∠BD，且满足D＝P，求∠B 的度数． (2)如图2，另一动点Q 在B 边上，以每秒2m 的速度从点出发，在B 间往返运动，P，Q 两 点同时出发，当点P 到达点D 时停止运动（同时Q 点也停止），若D＝6m，求当运动时间 为多少秒时，以，P，，Q 四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，在（1）的条件下，连接BP 并延长与D 的延长线交于点F，连接F，若B＝8， 则△PF 的面积是 ．（直接写出结果） 【变式8-3】（2022 秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中， AB=3cm，AD=5cm，BD=4 cm，动点P从点D出发，以4 cm/s的速度沿折线 DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长； 1 (2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值； (3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值； (4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直 线PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值． 1