重难点突破14 几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）（原卷版）

重难点突破14 几何最值问题4 种类型 （费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理） 题型01 费马点 【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点 结论： 1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于 2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点 （注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°） 【解题思路】运用旋转的方法，以∆B 任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短， 得出最短长度 结论证明过程： 情况一：当△B 各角不超过120°时， 将∆PB 绕着点B 逆时针旋转60°得到∆’P’B 则∆PB≌∆’P’B BP=BP’ P=P’ ’P’B = PB ∴ ∠ ∠ 而∠P’BP=60° 则∆ P’BP 为等边三角形 BPP’= P’BP= B P’P=60° ∴∠ ∠ ∠ P+PB+P= P’’+PP’+P ∵ ≤’ ∴当’、P’、P、四点共线时，P+PB+P 的最小值为’ 此时∠BP=180°- BPP’=120° ∠ PB= ’P’B =180°- BP’ P=120° ∠ ∠ ∠ P=360°- PB- BP=120° ∠ ∠ ∠ 情况二（仅需理解）：当△B 有一个内角不小于120°时， 延长B 至'使得='，做∠'P'= P ∠， 并且使得P'=P, P'=P，则△P P'' ≌△ B≥120° ∠ PP'=180°- BP- 'P'=180°- BP- P=180°- B≤60° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴等腰三角形PP'中，P≥PP' A B C P P' A' P C B A P' A' A B C P P' C' A B C P P+PB+P≥PP'+PB+P'>B'=B+ ∴ （ (只有当P、重合时取等号)） 所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点． 【费马点的作法】（当△B 各角不超过120°） 作法：1）如图，分别以∆B 中的B、为边，作等边∆DB、等边∆E 2）连接D、BE，则∆D≌∆BE(手拉手模型) 3）记D、BE 交点为P，点P 为费马点 4）以B 为边作等边∆BF，连接F，必定经过点P，且BE=F=D 【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论 如图所示，以边B、分别向△B 外侧作等边三角形，连接D、EB，交点为点P，点P 为费马点 图形 结论 等腰三角形 P D E B C A ∠PB=∠BP=∠P=120° ① ； △BP ② 与△P 全等； △BP ③ 为等腰三角形； △B ④ 的三顶点的距离之和为P+BP+P，且点P 为 费马点时和最小 等边三角形 P D E C A B P=BP=P ① ； ∠PB=∠BP=∠P=120° ② ； △BP ③ 、△P、△BP 全等； ④点P 是垂心，是△B 各边的高线的交点； ⑤点P 是△B 各边的中线的交点； ⑥点P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的 交点； △B ⑦ 的三顶点的距离之和为P+BP+P，且点P 为 费马点时和最小 直角三角形 P D E B A C △B ① 的三顶点的距离之和为P+BP+P，且点P 为 费马点时和最小； ∠PB=∠BP=∠P=120° ② 【进阶】 加权费马点模型概述：前面学的P+PB+P 最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mP+PB+xP 最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点” 【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转 已知：在Rt△B 中，∠B=30°，B=6，=5, △B 内部有一点P ,连接P，PB，P A C P B 问题 求解图形 作法 求P+PB+P 最小 值 E D A C P B △P 绕点顺时针旋转60°得△DE BD 长度即为所求,在Rt△BD 中有勾股定理可得BD= ❑ √BC 2+CD 2=❑ √61 求P+PB+❑ √2P 最 小值 60° 6 3 3√3 F E D A C B P △P 绕点顺时针旋转90°得△DE 此时△PE 为等腰直角三角形，即PE=❑ √2P 因此原式=P+PB+❑ √2P=ED+PB+PE，则当B、P、E、D 四点共线时取得最小值，BD 长度即为所求, 在 Rt△BFD 中有勾股定理可得BD=❑ √BF 2+FD 2=❑ √91 求P+PB+❑ √3P 最 小值 30° F E D A C B P △P 绕点顺时针旋转120°得△DE 此时△PE 为等腰三角形且∠PE=120°，即PE=❑ √3P，因 此原式=P+PB+❑ √3P=ED+PB+PE，则当B、P、E、D 四 点共线时取得最小值，BD 长度即为所求, 在Rt△BFD 中有勾股定理可得BD=❑ √BF 2+FD 2=❑ √60+30 ❑ √3 求2P+PB+❑ √3P 最小值 G F E D A C P B 思路：原式=2（P+1 2PB+ ❑ √3 2 P） 1)将P 边绕点旋转60°，然后过点P 作PF E ⊥ 于点F,则 PF= ❑ √3 2 P;2) 1 2PB 利用三角形中位线来处理；3）P 前的 系数是1，不需要转化，所以旋转△PB 过程：△BP 绕点顺时针旋转60°得△DE, 然后过点P 作 PF E ⊥ 于点F, 此时△PE 为等边三角形，即PF= ❑ √3 2 P， 过点F 作FG DE ∥ ，则FG= 1 2PB，则当、P、F、G 四点 共线时取得最小值，G 长度即为所求, 在Rt△G 中有勾 股定理可得G=❑ √CG+ AC 2=❑ √34, 原式=2（P+1 2PB+ ❑ √3 2 P）=2❑ √34 求2P+4PB+2❑ √3 P 最小值 G F E D A C P B 过程：△P 绕点顺时针旋转60°得△DE, 然后过点P 作 PF E ⊥ 于点F, 此时△PE 为等边三角形，即PF= ❑ √3 2 P， 过点F 作FG DE ∥ ，则FG= 1 2P，则当B、P、F、G 四点 共线时取得最小值，BG 长度即为所求, 在Rt△BG 中有 勾股定理可得BG=❑ √CG+ AC 2=7.5, 原式=4（1 2 P+PB+ ❑ √3 2 P）=26 备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解 【费马点 专项训练】 1．（2022·广东广州·统考一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=，点P 是B 边上一动点，作PD⊥B 于点 D，线段D 上存在一点Q，当Q+QB+Q 的值取得最小值，且Q=2 时，则PD= ． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形BD，B＝4，B＝6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上 任意一点，则M＋MD＋ME 的最小值为 ． 3．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点． 如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若 AB=AC=❑ √7,BC=2❑ √3，P 为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=¿ ；若 AB=2❑ √3,BC=2, AC=4，P 为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=¿ ． 4．（2022 下·福建三明·八年级统考期中）【问题背景】17 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师 皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点 被称之为“费马点”． 如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△A P 'C '，则可以构造出等边△AP P '， 得AP=P P '，CP=C P '，所以PA+PB+PC的值转化为P P '+PB+P 'C '的值，当B，P，P '，C四点共 线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到 △A P 'C '． ①若PA=3，则点P与点P '之间的距离是______； ②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠A P 'C '的大小； (2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=2❑ √3，求PA+PB+PC的最小值． 5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一 条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托 里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问 题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择 填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④ 处填写该三角形的某个顶点） 当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1，将△APC绕，点顺时针旋转60°得到△A ' P 'C，连接P P '， 由PC=P 'C ，∠PC P '=60°，可知△PC P '为 ① 三角形，故P P '=PC，又P ' A '=PA，故 PA+PB+PC=P A '+PB+P P '≥A ' B， 由 ② 可知，当B，P，P '，在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A ' B，此时的 P 点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=¿ ③ ； 已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ∠BAC ≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P 为 △ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值； (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知AC=4 km，BC=2❑ √3km，∠ACB=60°． 现欲建一中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ km，元/km，❑ √2a元/km，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用 含的式子表示） 6．（2021 上·江苏苏州·八年级苏州工业区星湾学校校考期中）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一 点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家 托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P 在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值． (1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P 到顶点、B、的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了 解决本题，我们可以将△ABP绕顶点旋转到△AC P '处，此时△AC P '≌△ABP这样就可以利用旋转变 换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=¿_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三 角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以 下问题． (2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△AB B '，连接C B '，求证：C B ' 过△ABC的费马点． (3)如图4，在RT △ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P 为△ABC的费马点，连接AP、 BP、CP，求PA+PB+PC的值． (4)如图5，在正方形ABCD中，点E 为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求 AE+BE+CE的最小值． 7．（2022·山东德州·统考一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的 张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△B 三个内角均小于120°时，费马点P 在 △B 内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小． (1)如图2，等边三角形B 内有一点P，若点P 到顶点，B，的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为 了解决本题，小林利用“转化”思想，将△BP 绕顶点旋转到△AC P '处，连接P P '，此时 △AC P '≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P，PB，P 转化到一个三角形中，从而求出 ∠APB=¿______． (2)如图3，在图1 的基础上延长BP，在射线BP 上取点D，E，连接E，D．使AD=AP， ∠DAE=∠PAC，求证：BE=PA+PB+PC． (3)如图4，在直角三角形B 中 ，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P 为直角三角形B 的费马点， 连接P，BP，P，请直接写出PA+PB+PC的值． 8．（2021·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数 学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643 年，在一封写给意大利 数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托 里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位 置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点，B，距离之和最 小的点称为△B 的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BP 绕点B 顺时针 旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD 为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=P，因 P+PB+P=P+PD+DE，由 可知，P+PB+P 的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形B 内部有一动点P，∠B=90°，∠B=30°，连接P，PB，P，若B=2，求P+PB+P 的最小值； （3）如图3，菱形BD 的边长为4，∠B=60°，平面内有一动点E，在点E 运动过程中，始终有∠BE=90°， 连接E、DE，在△DE 内部是否存在一点P，使得P+PD+PE 最小，若存在，请直接写出P+PD+PE 的最小 值；若不存在，请说明理由． 9．（2020·江苏南通·南通市新桥中学校考一模）（1）【操作发现】 如图1，将△B 绕点顺时针旋转50°，得到△DE，连接BD，则∠BD＝ 度． （2）【解决问题】 ①如图2，在边长为❑ √7的等边三角形B 内有一点P，∠P＝90°，∠BP＝120°，求△P 的面积． ②如图3，在△B 中，∠B＝90°，＝B，P 是△B 内的一点，若PB＝1，P＝3，∠BP＝135°，则P＝ ． （3）【拓展应用】 如图4 是，B，三个村子位置的平面图，经测量B＝4，B＝3❑ √2，∠B＝75°，P 为△B 内的一个动点，连接 P，PB，P．求P+PB+P 的最小值． 【加权费马点 专项训练】 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=30° ,BC=6, AC=5，在△ABC内部 有一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求： （1）PA+PB+PC的最小值； （2）PA+PB+❑ √2 PC的最小值 （3）PA+PB+❑ √3 PC的最小值； （4）2 PA+PB+❑ √3 PC的最小值 （5）1 2 PA+PB+ ❑ √3 2 PC的最小值； （6）2 PA+4 PB+2❑ √3 PC的最小值 （7）4 PA+2 PB+2❑ √3 PC的最小值； （8）3 PA+4 PB+5 PC的最小值 题型02 胡不归模型 【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家小伙子 略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他所在求学的地方与家之间布满了砂石，但他 还是义无反顾的踏上了归途当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说， 老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿 道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再 通过砂石区域回家呢？这就是流传千百年的“胡不归问题 如图，是出发点，B 是目的地，直线m 是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂石，为了选择合适的 路线，假设通过驿道速度为v1 米/秒，通过砂石区域速度为v2 米/秒（v1> v2），小伙子需要在直线m 上选取一点，再折往至B，求点在何处时，用时最短（→→B）？ m B A C 由题目可知、B 为定点，点在直线m 上运动，求t+tB 的最小值 t 总=t+tB= AC v1 + BC v2 = 1 v2(BC+ v2 v1 AC) ，因为v1，v2 为定值，所以只需求BC+ v2 v1 AC的最小值即可，因此 需要在图中构造出长度为v2 v1 AC的替换线段因为v1> v2，所以设v2 v1 =sα，则在外侧作∠M=α，过点作 E M ⊥ ，则CE AC = v2 v1 =sα，所以E=v2 v1 AC，原问题转化为1 v2 (BC+CE )的最小值，显然垂线段最短，即过点 B 作M 的垂线，与直线m 的交点即为所求点 m C E B M A C' 【解题关键】在求形如“P+KPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“P+KPB”型 问题转化为“P+P”型(若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可) 【胡不归模型 专项训练】 1．（2023 上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90° ,∠B=60° , AB=4，若D 是BC边上的动点，则2 AD+DC的最小值是（ ） ．6 B．8 ．10 D．12 2．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x 2+bx+3的图像与x 轴交于、 两点，与x 轴交于点C(3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,−1)，连接PD，则❑ √2 PD+PC的 最小值是（ ） ．4 B．2+2❑ √2 ．2❑ √2 D．3 2 + 2 3 ❑ √