重难点突破14 几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）（解析版）

重难点突破14 几何最值问题4 种类型 （费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理） 题型01 费马点 【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点 结论： 1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于 2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点 （注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°） 【解题思路】运用旋转的方法，以∆B 任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短， 得出最短长度 结论证明过程： 情况一：当△B 各角不超过120°时， 将∆PB 绕着点B 逆时针旋转60°得到∆’P’B 则∆PB≌∆’P’B BP=BP’ P=P’ ’P’B = PB ∴ ∠ ∠ 而∠P’BP=60° 则∆ P’BP 为等边三角形 BPP’= P’BP= B P’P=60° ∴∠ ∠ ∠ P+PB+P= P’’+PP’+P ∵ ≤’ ∴当’、P’、P、四点共线时，P+PB+P 的最小值为’ 此时∠BP=180°- BPP’=120° ∠ PB= ’P’B =180°- BP’ P=120° ∠ ∠ ∠ P=360°- PB- BP=120° ∠ ∠ ∠ 情况二（仅需理解）：当△B 有一个内角不小于120°时， 延长B 至'使得='，做∠'P'= P ∠， 并且使得P'=P, P'=P，则△P P'' ≌△ B≥120° ∠ PP'=180°- BP- 'P'=180°- BP- P=180°- B≤60° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴等腰三角形PP'中，P≥PP' A B C P P' A' P C B A P' A' A B C P P' C' A B C P P+PB+P≥PP'+PB+P'>B'=B+ ∴ （ (只有当P、重合时取等号)） 所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点． 【费马点的作法】（当△B 各角不超过120°） 作法：1）如图，分别以∆B 中的B、为边，作等边∆DB、等边∆E 2）连接D、BE，则∆D≌∆BE(手拉手模型) 3）记D、BE 交点为P，点P 为费马点 4）以B 为边作等边∆BF，连接F，必定经过点P，且BE=F=D 【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论 如图所示，以边B、分别向△B 外侧作等边三角形，连接D、EB，交点为点P，点P 为费马点 图形 结论 等腰三角形 P D E B C A ∠PB=∠BP=∠P=120° ① ； △BP ② 与△P 全等； △BP ③ 为等腰三角形； △B ④ 的三顶点的距离之和为P+BP+P，且点P 为 费马点时和最小 等边三角形 P D E C A B P=BP=P ① ； ∠PB=∠BP=∠P=120° ② ； △BP ③ 、△P、△BP 全等； ④点P 是垂心，是△B 各边的高线的交点； ⑤点P 是△B 各边的中线的交点； ⑥点P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的 交点； △B ⑦ 的三顶点的距离之和为P+BP+P，且点P 为 费马点时和最小 直角三角形 P D E B A C △B ① 的三顶点的距离之和为P+BP+P，且点P 为 费马点时和最小； ∠PB=∠BP=∠P=120° ② 【进阶】 加权费马点模型概述：前面学的P+PB+P 最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mP+PB+xP 最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点” 【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转 已知：在Rt△B 中，∠B=30°，B=6，=5, △B 内部有一点P ,连接P，PB，P A C P B 问题 求解图形 作法 求P+PB+P 最小 值 E D A C P B △P 绕点顺时针旋转60°得△DE BD 长度即为所求,在Rt△BD 中有勾股定理可得BD= ❑ √BC 2+CD 2=❑ √61 求P+PB+❑ √2P 最 小值 60° 6 3 3√3 F E D A C B P △P 绕点顺时针旋转90°得△DE 此时△PE 为等腰直角三角形，即PE=❑ √2P 因此原式=P+PB+❑ √2P=ED+PB+PE，则当B、P、E、D 四点共线时取得最小值，BD 长度即为所求, 在 Rt△BFD 中有勾股定理可得BD=❑ √BF 2+FD 2=❑ √91 求P+PB+❑ √3P 最 小值 30° F E D A C B P △P 绕点顺时针旋转120°得△DE 此时△PE 为等腰三角形且∠PE=120°，即PE=❑ √3P，因 此原式=P+PB+❑ √3P=ED+PB+PE，则当B、P、E、D 四 点共线时取得最小值，BD 长度即为所求, 在Rt△BFD 中有勾股定理可得BD=❑ √BF 2+FD 2=❑ √60+30 ❑ √3 求2P+PB+❑ √3P 最小值 G F E D A C P B 思路：原式=2（P+1 2PB+ ❑ √3 2 P） 1)将P 边绕点旋转60°，然后过点P 作PF E ⊥ 于点F,则 PF= ❑ √3 2 P;2) 1 2PB 利用三角形中位线来处理；3）P 前的 系数是1，不需要转化，所以旋转△PB 过程：△BP 绕点顺时针旋转60°得△DE, 然后过点P 作 PF E ⊥ 于点F, 此时△PE 为等边三角形，即PF= ❑ √3 2 P， 过点F 作FG DE ∥ ，则FG= 1 2PB，则当、P、F、G 四点 共线时取得最小值，G 长度即为所求, 在Rt△G 中有勾 股定理可得G=❑ √CG+ AC 2=❑ √34, 原式=2（P+1 2PB+ ❑ √3 2 P）=2❑ √34 求2P+4PB+2❑ √3 P 最小值 G F E D A C P B 过程：△P 绕点顺时针旋转60°得△DE, 然后过点P 作 PF E ⊥ 于点F, 此时△PE 为等边三角形，即PF= ❑ √3 2 P， 过点F 作FG DE ∥ ，则FG= 1 2P，则当B、P、F、G 四点 共线时取得最小值，BG 长度即为所求, 在Rt△BG 中有 勾股定理可得BG=❑ √CG+ AC 2=7.5, 原式=4（1 2 P+PB+ ❑ √3 2 P）=26 备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解 【费马点 专项训练】 1．（2022·广东广州·统考一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=，点P 是B 边上一动点，作PD⊥B 于点 D，线段D 上存在一点Q，当Q+QB+Q 的值取得最小值，且Q=2 时，则PD= ． 【答】3+❑ √3 【分析】如图1，将△BQ 绕点B 顺时针旋转60°得到△BM，连接Q，当点，点Q，点，点M 共线时， Q+QB+Q 值最小，此时，如图2，连接M，证明M 垂直平分B，证明D=BD，此时P 与D 重合，设PD=x， 则DQ=x-2，构建方程求出x 可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQ 绕点B 顺时针旋转60°得到△BM，连接Q， ∴BQ=B，Q=M，∠QB=60°， ∴△BQ 是等边三角形， ∴BQ=Q， ∴Q+QB+Q=Q+Q+M， ∴当点，点Q，点，点M 共线时，Q+QB+Q 值最小， 此时，如图2，连接M ∵将△BQ 绕点B 顺时针旋转60°得到△BM， ∴BQ=B，B=BM，∠QB=60°=∠BM， ∴△BQ 是等边三角形，△BM 是等边三角形， ∴∠BQ=∠BQ=60°，BM=M， ∵BM=M，B=， ∴M 垂直平分B， ∵D⊥B，∠BQD=60°， ∴BD=❑ √3QD， ∵B=，∠B=90°，D⊥B， ∴D=BD，此时P 与D 重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=tan 60°× (x−2)=❑ √3 (x−2)， ∴x=3+❑ √3， ∴PD=3+❑ √3． 故答为：3+❑ √3． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是 正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形BD，B＝4，B＝6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上 任意一点，则M＋MD＋ME 的最小值为 ． 【答】4+3 ❑ √3 【分析】将△MD 绕点逆时针旋转60°得到△M′D′，则MD＝M′D′，△DD′和△MM′均为等边三角形，推出M＝ MM′可得M＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D′E⊥B 时最短，此 时易求得D′E＝DG＋GE 的值； 【详解】解：将△MD 绕点逆时针旋转60°得到△M′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△DD′和△MM′均为等边三角形， ∴M＝MM′， ∴M＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME 共线时最短， 由于点E 也为动点， ∴当D′E⊥B 时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝4+3 ❑ √3 ∴M＋MD＋ME 的最小值为4+3 ❑ √3， 故答为：4+3 ❑ √3 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加 常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点． 如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若 AB=AC=❑ √7,BC=2❑ √3，P 为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=¿ ；若 AB=2❑ √3,BC=2, AC=4，P 为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=¿ ． 【答】 5 2❑ √7 【分析】①作出图形，过B ,C分别作∠DBP=∠DCP=30°,勾股定理解直角三角形即可 ②作出图形，将△APC绕点A逆时针旋转60°，P 为△ABC的费马点则B , P , P ' ,C '四点共线，即 PA+PB+PC=¿ BC '，再用勾股定理求得即可 【详解】①如图,过A作AD⊥BC，垂足为D, 过B ,C分别作∠DBP=∠DCP=30°, 则PB=PC, P 为△ABC的费马点 ∵ AB=AC=❑ √7,BC=2❑ √3 ∴BD=DC=1 2 BC=❑ √3 ∴tan30°= PD BD = ❑ √3 3 ∴PD=1 ∴PB= PD sin30° =2 ∴ AD= ❑ √A B 2−B D 2=❑ √7−3=2 ∴ PA+PB+PC=¿5 ②如图： ∵ AB=2❑ √3,BC=2, AC=4 ∴A B 2+BC 2=16,BC 2=16 ∴A B 2+BC 2=A C 2 ∠ABC=90° ∵sin∠BAC= BC AC =1 2=sin30° ∴∠BAC=30° 将△APC绕点A逆时针旋转60° 由旋转可得：△APC ≌△A P 'C ' ∴A P '=AP , PC=P 'C ' , AC=A C ' ∠CA C '=∠PA P '=60° ∴△AP P '是等边三角形， ∴ ∠BA C '=90° ∵ P 为△ABC的费马点 即B , P , P ' ,C '四点共线时候，PA+PB+PC=¿ BC ' ∴ PA+PB+PC=¿ BP+P P '+P 'C '=BC ' ¿ ❑ √A B 2+ A C '2 ¿ ❑ √(2❑ √3) 2+4 2=2❑ √7 故答为：①5，②2❑ √7 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的 关键．本题旋转△PAB , △PBC也可，但必须绕顶点旋转． 4．（2022 下·福建三明·八年级统考期中）【问题背景】17 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师 皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点 被称之为“费马点”． 如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△A P 'C '，则可以构造出等边△AP P '， 得AP=P P '，CP=C P '，所以PA+PB+PC的值转化为P P '+PB+P 'C '的值，当B，P，P '，C四点共 线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到 △A P 'C '． ①若PA=3，则点P与点P '之间的距离是______； ②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠A P 'C '的大小； (2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=2❑ √3，求PA+PB+PC的最小值． 【答】(1) 3 ①；②150°； (2)2❑ √21 【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出PP'的值； ②先证△BP≌△ACP'，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到∠CPP'=90°，即 可求出∠A P 'C的大小； （2）将△P 绕点顺时针旋转60°得到A ' P 'C，先求出∠BCA '=120°，然后证明△CPP'为等边三角形， 当B、P、P'、A '四点共线时，PA+PB+PC和最小，用勾股定理求出BA '的值即可． 【详解】（1）①如图，将△PAC绕逆时针旋转60°， 则AP=AP'，∠PAP'=60°， ∴△APP'为等边三角形， ∴PP'=PA=3； ②∵△B 为等边三角形， ∴B=，∠BP+∠P=60°， 又∵△APP'是等边三角形， ∴∠P+∠CAP'=60°， ∴∠BP=∠CAP'， 在△BP 与△ACP'中，{ AB=AC ∠BAP=∠CAP' AP=AP' ， ∴△BP≌△ACP'（SS）， ∴BP=CP'=5, PP'=3, PC=4 , ∴PP' 2+PC 2=CP' 2，∴∠CPP'=90°， ∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=60°+90°=150°， 又∵旋转，∴∠A P 'C '=∠APC==150°； （2）如图，将△P 绕点顺时针旋转60°得到A ' P 'C， 则∠ACP=∠A 'C P ' ,∠ACP+∠AC P '=60°， 在Rt △ABC中，BC= ❑ √A B 2+ A C 2= ❑ √6 2+(2❑ √3) 2=4 ❑ √3， ∵AC=1 2 BC ,∴∠ABC=30° ,∠ACB=60°， ∴∠ACP+∠BCP=60°， 又∵∠ACP=∠A 'C P ' ,∠ACP+∠AC P '=60°， ∴∠AC P '+∠A 'C P '=60°，∴BCP+∠ACP+∠AC P '+∠A 'C P '=120°， 过A '作A ' D⊥B 交B 的延长线于点D， 则∠A 'CD=∠BCD−∠BCA '=180°−120°=60°， ∴∠C A ' D=30°， ∵A 'C=AC=2❑ √3, ∴CD=❑ √3（30°所对的直角边等于斜边的一半）， ∴A ' D= ❑ √A 'C 2−C D 2=3， ∵∠PCP'=60° , PC=CP'，∴△CPP'为等边三角形， 当B、P、P'、A '四点共线时，PA+PB+PC和最小， 在Rt △BDA '中，BD=BC+CD=4 ❑ √3+❑ √3=5 ❑ √3, DA '=3， ∴BA '= ❑ √B D 2+DA ' 2= ❑ √(5 ❑ √3) 2+3 2=2❑ √21， ∴PA+PB+PC的最小值为2❑ √21． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角 形解决问题． 5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一 条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托 里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问 题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择 填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④ 处填写该三角形的某个顶点） 当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1，将△APC绕，点顺时针旋转60°得到△A ' P 'C，连接P P '， 由PC=P 'C ，∠PC P '=60°，可知△PC P '为 ① 三角形，故P P '=PC，又P ' A '=PA，故 PA+PB+PC=P A '+PB+P P '≥A ' B， 由 ② 可知，当B，P，P '，在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A ' B，此时的 P 点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=¿ ③ ； 已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ∠BAC ≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P 为 △ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值； (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知AC=4 km，BC=2❑ √3km，∠ACB=60°． 现欲建一中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ km，元/km，❑ √2a元/km，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用 含的式子表示） 【答】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120°；④． (2)5 (3)2❑ √13a 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将△APC绕，点顺时针旋转60°得到△A ' P 'C，即可得出可知当B，P，P '，在同 一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A ' B，在根据∠ACB=30°可证明 ∠AC A '=∠A 'C P '+∠BCP+∠PC P '=90°，由勾股定理求A ' B即可， （3）由总的铺设成本¿a( PA+PB+❑ √2 PC )，通过将△APC绕