专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2 模型2 等边截等长模型（定角模型）.........................................................................................................3 模型3 等边内接等边......................................................................................................................................4 .................................................................................................................................................8 模型1 等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知B=，BD=E，DG⊥B 于G，结论：①DF=FE；② 。 证明：如图，过点D 作 交 于，则 ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 在 和 中, ，∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． 例1．（23-24 八年级上·广东中山·期末）如图， 中， ， ， 点P 从点B 出发沿线段 移动到点停止，同时点Q 从点出发沿 的延长线移动，并与点 P 同时停止． 已知点 P，Q 移动的速 度相同，连接 与线段 相交于点D(不考虑点 P 与点，B 重合时的情况)． (1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P 作 于点E，在点P，Q 移动的过程 中，线段 的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 例2．（24-25 九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：在 中， ，在射线 上截取线段 ，在射线 上截取线段 ，连结 ， 所在直线交直线 于点M． 猜想判断：（1）当点D 在边 的延长线上，点E 在边 上时，过点E 作 交 于点F，如图 ①．若 ，则线段 、 的大小关系为_______． 深入探究：（2）当点D 在边 的延长线上，点E 在边 的延长线上时，如图②．若 ，判断线 段 、 的大小关系，并加以证明． 拓展应用：（3）当点D 在边 上（点D 不与 、 重合），点E 在边 的延长线上时，如图③．若 ， ， ，求 的长． 例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6 的等边△B 的边B 上一点P，作PE⊥于E，Q 为B 延 长线上一点，连PQ 交边于D，当P＝Q 时，DE 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在 中，边B 上的动点D 由向B 运动(与，B 不重合)， 同时点E 由点沿B 的延长线方向运动(E 不与重合)，连接DE 交于点F，点是线段F 上一点，求 的值． （1）初步尝试：如图①，若 是等边三角形， ，且点D､E 的运动速度相等，小王同学发现 可以过点D 作 交于点G，先证 ，再证 ，从而求得 的值为________； （2）类比探究：如图②，若 中， ，且点D，E 的运动速度之比 是 ，求 的值； （3）延伸拓展：如图③，若在 中， ，记 ，且点D､E 的运动 速度相等，试用含m 的代数式表示 的值(直接写出结果，不必写解答过程)． 模型2 等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 与 相交于点 ， 于点 ．结论：① ；②D=BE；③ ；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形 中， ， ， 在 和 中， ， ，∴D=BE，∠D=∠BE； ． ， ，∴BQ=2PQ． 例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E 分别是等边三角形 边 、 上的点，且 ， 与 交于点F．求证： ． 例2．（2024 八年级·重庆·培优）如图， 为等边三角形，且 与 相交于点 ，则 （ ）． ．等于 B．等于 ．等于 D．大小不确定 例3．（23-24 八年级·广东中山·期中）如图，在等边 中，点 分别在边 上，且 ， 与 相交于点 ， 于点 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形 的 ， 边上各取一点 ， （均不与端 点重合），且 ， ， 相交于点 ，下列结论不正确的是（ ） ． B． ．若 ， ，则 D．若 ， ，则 模型3 等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形B 中，点D，E，F 分别在边B，B，上运动，且满足D=BE=F； 结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． 在 和 中， ∴ （ ）， ∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ， 于点 ，结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 例1．（2024 七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形 的顶点 、 、 依次作 、 、 的垂线 、 ，三条垂线围成 ，若 ，则 的周长为（ ） ．12 B．18 ．20 D．24 例2．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形 ，点 ， ， 分别为边 上的黄金分割点（ ， ， ），连接 ， ， ，我们称 为 的“内含黄金三角形”，若在 中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概 率是 ． 例3．（23-24 八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，分别在等边三角形 的各边上，且 于点P， 于点M， 于点．(1)求证： 是等边三角形；(2)若 ，求 的长． 例4．（2023·广西·中考真题）如图， 是边长为4 的等边三角形，点D，E，F 分别在边 ， ， 上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积为y，求y 关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化． 1．（23-24 九年级上·山西晋中·阶段练习）如图， 是等边三角形，点D，E 分别在 ， 上，且 ， ， 与 相交于点F，则下列结论：① ，② ， ③ ．其中正确的有（ ） ．3 个 B．2 个 ．1 个 D．0 个 2．（2024 广东九年级二模）如图，在等边三角形B 中，点P，Q 分别是，B 边上的动点（都不与线段端点 重合），且P=Q，Q、BP 相交于点．下列四个结论：①若P=2P，则B=6P；②若B=8，BP=7，则P=5； ③P2=P⋅Q；④若B=3，则的最小值为 ，其中正确的是（ ） ．①③④ B．①②④ ．②③④ D．①②③ 3．（2024·广西·一模）如图，在等边 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连 接 ， 交于点 ，在点D 从点B 运动到点的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ） ． B． ． D． 4．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，点 在边 上，点 在边 上，连接 并延长 交 的延长线于点 ，连接 ，且 ，过点 作 于点 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，以下四个结论中： ； ； 当 时， ； ．正确的有（ ） 个． ． B． ． D． 5．（2023·福建莆田·一模）如图， 和 都是等边三角形，将 先向右平移得到 ， 再绕顶点 逆时针旋转使得点 ， 分别在边 和 上．现给出以下两个结论：①仅已知 的周 长，就可求五边形 的周长；②仅已知 的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（ ） ．①正确，②错误 B．①错误，②正确 ．①②均正确 D．①②均错误 6．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图， 是等边三角形，D，E 分别是 ， 边上的点，且 ，连接 ， 相交于点F，则下列说法正确的是（ ） ① ； ② ；③ ；④若 ，则 ．①②③ B．①②④ ．②③④ D．①③④ 7．（23-24 九年级上·四川达州·期末）如图，ΔABC是等边三角形，点 分别在边 上，且 与 相交于点 ．若 ，则ΔABC的边长等于（ ） ． B． ． D． 8．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边 的顶点，B，依次作 的垂 线 三条垂线围成 ，已知 ，则 的周长是 ． 9．（23-24 天津九年级上期中）如图，点 分别在正三角形 的三边上，且 也是正三角形 若 的边长为 ， 的边长为 ，则 的内切圆半径为 ． 10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角 中， 为 的中点， 为 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为 ． 11．（23-24 八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为的等边 的边 上一点P，作 于E，Q 为 延长线上一点，当 时，连 交 边于D，则 的长为 ． 12．（2023 浙江中考一模）如图，在等边三角形B 的，B 边上各取一点P，Q，使P=Q，Q，BP 相交于点． 若B=6，P=2，则P 的长，的长分别为 ． 13．（23-24 八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边 的 ， 上各取一点D，E，使 ， ， 相交于点M，过点B 作直线 的垂线 ，垂足为．若 ，则 的长为 ． 14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形 中， ， ， ， 与 相 交于点F，若 ，则E 到 的距离为 ． 15．（23-24 九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形 中，点 ， 分别在 ， 边上， ， 交于点 ，且 ． （1）线段 ， 的数量关系为______， 的度数为______． 【类比探究】老师继续提出问题，若改变 的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？ 同学们根据老师的提问画出图形，如图2， 是等腰直角三角形， ，点 ， 分别在 ， 边上， ， 交于点 ，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段 ， 的数量关系． （2）请先将条件补充完整：线段 ， 的数量关系为______；再根据图2 写出线段 ， 的数量关 系和 的度数，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3， 是等腰直角三角形， ，若点 沿 边上一动点，点 是射线 上一动点，直线 ， 交于点 ，在（2）的条件下，当动点 沿 边从点 移动到点 （与点 重合）时，请直接写出运动过程中 长的最大值和最小值． 16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，连结 ， 交于点 ．(1)求证： ；(2)连接 ，若 时，①求 的值； ②设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值． 17．（23-24 九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知 是等边三角形，点D、E、F 分别在边 、 、 上，且 ．(1)试说明 是等边三角形的理由． (2)分别连接 与 相交于点（如图（2）），求 的大小． (3)将 绕F 点顺时针方向旋转 得到图（3）， 与 平行吗？说明理由． 18．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·开学考试） 中 ，点D 是 边中点，过点D 的直线交 边于点M，交 边的延长线于点，且 ．(1)如图①，当 时，求证： ； (2)如图②，当 时，请直接写出线段 的数量关系． 19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图， 是边长为2 的等边三角形，点D，E，F 分别在边 上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积 为y，求y 关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化． 20．（23-24 山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图（1），在正△B 中，M、分别是、B 上的点，BM 与相交于点，若∠B＝60°，则BM＝；②如图 （2），在正方形BD 中，M、分别是D、D 上的点，BM 与相交于点，若∠B＝90°，则BM＝． 然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形BDE 中，M、分别是D、DE 上的点， BM 与相交于点，若∠B＝108°，则BM＝． 任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索； ①在正（≥3）边形BDEF…中，M、分别是D、DE 上的点，BM 与相交于点，试问当∠B 等于多少度时， 结论BM＝成立（不要求证明）； ②如图（4），在正五边形BDE 中，M、分别是DE、E 上的点，BM 与相交于点，∠B＝108°时，试问结论 BM＝是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 21．（23-24 九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】：如图，在等边三角形 的 边上各取一点P，Q 使 ，Q，BP 相交于点， 求 的度数．请你解答该习题． 【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰 的 边上各取一点P，Q，使 ， 平分 ， ， ，求 的长．小明的思路：过点作 交 延长线于点G，证明 ，… （2）如图2，在 的 边上各取一点P、Q，使 ， 平分 ， ， ，求 的数量关系，请你解答小明提出的问题． 22．（23-24 八年级上·福建福州·阶段练习）如图： 是边长为 的等边三角形， 是 边上一动点， 由点 向点 运动（ 与点 、 不重合），点 同时以点 相同的速度，由点 向 延长线方向运动 （点 不与点 重合），过点 作 于点 ，连接 交 于点 ． (1)若设 的长为 ，则 ______， ______； (2)当 时，求 的长；(3)点 ， 在运动过程中，线段 的长是否发生变化？请说明理由． 23．（2023·河南开封·一模）材呈现：如下为华师版八年级上册数学材第65 页的部分类容． 做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个 三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角 形有多少种？ (1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形_________ _全等．（填“一定”或“不一定”） (2)【探究证明】已知：如图2，在 和 中， ， ， ． 求证： ．证明：在 上取一点 ，使 ．请补全完整证明过程： (3)【拓展应用】在 中， ，点 在射线 上，点 在 的延长线上，且 ，连接 DE，DE与 边所在的直线交于点 ．过点 作 交直线 于点 ，若 ， ，则 _________．（直接写出答） 24．（2023 九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰 中， ，点E 是射 线 上的动点，点D 是边 上的动点，且 ，射线 交射线 于点F． (1)求证： ；(2)连接 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长； (3)如图2，当点E 在边 上时，连接 ，若 ，线段 的长为 ． 25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1， ，、D 在上，B、在 上， ，若 ，则 的长为__________； 【问题探究】（2）如图2，已知 是等边三角形，D、E 分别为 上的点，且 ，连接 ．求证： ； 【问题解决】（3）如图3 是某公一块四边形空地 ，其中 ， 米， 米， ，P、Q 分别在 上，且 ， 是平行于 的一条绿化带，E、F 是线段 上的 两个动点（点E 在点F 的左侧）， 米，M 在线段 上运动（不含端点），且保持 ，管 理人员计划沿 铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公负责人要求这两条水管的长度之和（即 的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）