题型2 规律探索 类型1 数式规律（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 数式规律 1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式： ， 第 个单项式是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据单项式的规律可得，系数为 ，字母为 ，指数为1 开始的自然数，据此即 可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式： ，第 个单项式是 ， 故选：． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 2 按规律排列的一组数据： ， ，□， ， ， ，…，其中□内应填的数是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】 分子为连续奇数，分母为序号的平方 ，根据规律即可得到答． 【详解】 观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方 ， 第 个数据为： 当 时 的分子为 ，分母为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 这个数为 故选： ． 【点睛】 本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 3．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1 的数 满足如下关系： ， ，若 ，则 的值是（ ） ． B． ． D．2 【答】 【分析】根据题意可把 代入求解 ，则可得 ， ， ……；由此 可得规律求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ，……； 由此可得规律为按2、 、 、 四个数字一循环， ∵ ， ∴ ； 故选． 【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律． 4 已知 为实数﹐规定运算： ， ， ， ，……， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．按上述方法计算：当 时， 的值等于（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】 当 时，计算出 ，会发现呈周期性出现，即可得到 的值． 【详解】 解：当 时，计算出 ， 会发现是以： ，循环出现的规律， ， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中 找到相应的规律，利用其规律来解答． 5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中 的规律，分数 若排在第行b 列，则 的值为( ) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm …… ．2003 B．2004 ．2022 D．2023 【答】 【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分 母与其所在行数一致． 【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分 母与其所在行数一致，故 在第20 列，即 ；向前递推到第1 列时，分数为 ，故分数 与分数 在同一行．即在第2042 行，则 ． ∴ 故选：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和 趋向性． 6．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定 ，例如： ， ， ， ，计算： （ ） ．199 B．200 ．201 D．202 【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】通过计算 ， 可以推出 结果． 【详解】解： … ， ， ， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题 的关键． 7 按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ， ，…，第 个单项式是 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 发现规律进行概括即可得到答． 【解析】解： ， ， ， ， ， ，…， 可记为： 第 项为： 故选． 【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题 的关键． 8 计算 的结果是 ． B． ． D． 【答】B 【解析】 原式 = ．故选 B． 【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法 转化成分数减法来计算． 9 观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据 其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是 ．0 B．1 ．7 D．8 【答】 【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4 个 数一循环， ∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字 是：0．故选． 【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 10 一列数按某规律排列如下： ，…，若第个数为 ，则= ．50 B．60 ．62 D．71 【答】B 【解析】 ，… 可写为： ，…， ∴ 分 母 为 11 开 头 到 分 母 为 1 的 数 有 11 个 ， 分 别 为 ， ∴第个数为 ，则=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B． 【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变 化规律 11 根据图中数字的规律，若第个图中出现数字396，则 （ ） ．17 B．18 ．19 D．20 【答】B 【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于 396，解得 为正整数即成立，否则舍去． 【解析】根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 不为正整数，舍去； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 下左三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 不为正整数，舍去； 下右三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 ，或 ， 舍去。故选：B． 【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键． 12 如图，将一枚跳棋放在七边形BDEFG 的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020 次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1 个顶点，跳棋停留在B 处，第二 次移动2 个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020 次移动中，跳棋不可能 停留的顶点是（ ） ．、E B．E、F ．G、、E D．E、、F 【答】D 【分析】设顶点，B，，D，E，F，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子移动 了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝ k（k+1），然后根据题目中所给的第k 次 依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解． 【解析】设顶点，B，，D，E，F，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6 格， 因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝ k（k+1），应停在第 k （k+1）﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7 时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5 格没有停棋，若7＜ k≤2020， 设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p＝7m+ t（t+1）， 由此可知，停棋的情形与k＝t 时相同，故第2，4，5 格没有停棋，即顶点，E 和F 棋子 不可能停到． 故选：D． 【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息， 探索数字变化规律是解答的关键 13 将从1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4 行第3 列的数为27， 则位于第32 行第13 列的数是（ ） ．2025 B．2023 ．2021 D．2019 【答】B 【分析】 根据数字的变化关系发现规律第行，第列的数据为：2(-1)+1，即可得第32 行，第32 列 的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32 行，第13 列的数据，即可． 【详解】 解：观察数字的变化，发现规律：第行，第列的数据为：2(-1)+1， ∴第32 行，第32 列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ∴第32 行，第13 列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B． 【点睛】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解 决问题 14 已知有理数≠1，我们把 称为的差倒数，如：2 的差倒数是 =-1，-1 的差倒 数是 ．如果1=-2，2是1的差倒数，3是2的差倒数，4是3的差倒数……依此类 推，那么1+2+…+100的值是 ．-75 B．75 ．55 D．-55 【答】 【解析】∵1=-2，∴2= ，3= ，4= =-2，…， ∴这个数列以-2， ， 依次循环，且-2+ + =- ， 100÷3=33……1 ∵ ，∴1+2+…+100=33×（- ）-2=- =-75，故选． 【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变 的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 15 是不为1 的有理数，我们把 称为的差倒数，如2 的差倒数为 =-1，-1 的差倒 数 ，已知1=5，2是1的差倒数，3是2的差倒数，4是3的差倒数……，依此类 推，2019的值是 ．5 B．- ． D． 【答】D 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【解析】∵1=5 ，2= ，3= ，4= =5， ……∴数列以5，- ， 三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴2019=3= ，故选 D． 【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3 个数为一个循 环组依次循环是解题的关键． 16 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ） ．135 B．153 ．170 D．189 【答】 【分析】由观察发现每个正方形内有： 可求解 ，从而得到 ， 再利用 之间的关系求解 即可． 【解析】解：由观察分析：每个正方形内有： 由观察发现： 又每个正方形内有： 故选． 【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的 关键． 17 实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象， 据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ） ．4860 年 B．6480 年 ．8100 年 D．9720 年 【答】 【分析】 根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答． 【详解】 解：由图可知： 1620 年时，镭质量缩减为原来的 ， 再经过1620 年，即当3240 年时，镭质量缩减为原来的 ， 再经过1620×2=3240 年，即当4860 年时，镭质量缩减为原来的 ， ， ∴再经过1620×4=6480 年，即当8100 年时，镭质量缩减为原来的 ， 此时 mg， 故选． 【点睛】 本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键． 18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 的平方差，且 ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如， ，16 就是一 个智慧优数，可以利用 进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则 第3 个智慧优数是 ；第23 个智慧优数是 ． 【答】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当 ， ，则第1 个一个智慧优数为 当 ， ，则第2 个智慧优数为 当 ， ，则第3 个智慧优数为 ， 当 ， ，则第5 个智慧优数为 当 ， ，则第6 个智慧优数为 当 ， ，则第7 个智慧优数为 …… 时有4 个智慧优数，同理 时有个， 时有6 个， 第22 个智慧优数，当 时， ，第22 个智慧优数为 ， 第23 个智慧优数为 时， ， 故答为： ， ． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 19．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子： ； ； ； ； ；… 依此规律，则第 （ 为正整数）个等式是 ． 【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减 1，即可求解． 【详解】解：∵ ； ； ； ； ；… ∴第 （ 为正整数）个等式是 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 20．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1-100 的100 盏灯，分别对应着编号为1-100 的100 个开关，灯分为“亮”和 “不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为 “不亮”．现有100 个人，第1 个人把所有编号是1 的整数倍的开关按一次，第2 个人把 所有编号是2 的整数倍的开关按一次，第3 个人把所有编号是3 的整数倍的开关按一次，… …，第100 个人把所有编号是100 的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮” 的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律： 乙：1 号开关只被第1 个人按了1 次，2 号开关被第1 个人和第2 个人共按了2 次，3 号开 关被第1 个人和第3 个人共按了2 次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答】10 【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为 “不亮”，确定1-100 中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解． 【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态 为“不亮”； 因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100 中，完全平方数为1，4，9，16，25， 36，49，64，81，100；有10 个数，故有10 盏灯被按奇数次，为“亮”的状态； 故答为：10． 【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 关键． 21．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 【答】 【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵ ； ； ； …… ∴ ， ∴ ． 故答为： 【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 22 如图，点 在直线 上，点 的横坐标为2，过点 作 ，交x 轴于点 ，以 为边，向右作正方形 ，延长 交x 轴于点 ；以 为边，向 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 右作正方形 ，延长 交x 轴于点 ；以 为边，向右作正方形 ， 延长的 交x 轴于点 ；…；按照这个规律进行下去，则第个正方形 的边 长为________（结果用含正整数的代数式表示）． 【答】 【分析】 根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的 边长，然后再找规律得出第 个正方形的边长． 【详解】 解： 点 在直线 上，点 的横坐标为2， 点 纵坐标为1． 分别过 ， 作 轴的垂线，分别交于 ，下图只显示一条； , 类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 不妨设第1 个至第 个正方形的边长分别用： 来表示，通过计算得： ， ， 按照这个规律进行下去，则第个正方形 的边长为 ， 故答是： ． 【点睛】 本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方 形的边长，再从中去找计算第 个正方形边长的方法与技巧． 23．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数 的图象上有 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，则 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】求出 …的纵坐标，从而可计算出 …的高，进而求出 …，从而得出 的值． 【详解】当 时， 的纵坐标为8， 当 时， 的纵坐标为4， 当 时， 的纵坐标为 ， 当 时， 的纵坐标为 ， 当 时， 的纵坐标为 ， … 则 ； ； ； ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm … ； ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出 ． 24 如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点出发，水平向左平移1 个单位长度，再竖 直向下平移1 个单位长度得到点 ；接着水平向右平移2 个单位长度，再竖直向 上平移2 个单位长度得到点 ；接着水平向左平移3 个单位长度，再竖直向下平移3 个单 位长度得到点