题型2 规律探索 类型2 图形规律（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 图形规律 1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图，其中第①个 图用了9 根木棍，第②个图用了14 根木棍，第③个图用了19 根木棍，第④个图用了24 根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图用的木棍根数是（ ） ．39 B．44 ．49 D．54 【答】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答． 【详解】解：第①个图用了 根木棍， 第②个图用了 根木棍， 第③个图用了 根木棍， 第④个图用了 根木棍， ……， 第⑧个图用的木棍根数是 根， 故选：B． 【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计 算的规律是解题的关键． 2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有2 个 圆圈，第②个图中有5 个圆圈，第③个图中有8 个圆圈，第④个图中有11 个圆圈，…， 按此规律排列下去，则第⑦个图中圆圈的个数为（ ） ．14 B．20 ．23 D．26 【答】B 【分析】根据前四个图圆圈的个数找到规律，即可求解 【详解】解：因为第①个图中有2 个圆圈， ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 第②个图中有5 个圆圈， ； 第③个图中有8 个圆圈， ； 第④个图中有11 个圆圈， ； …， 所以第⑦个图中圆圈的个数为 ； 故选：B 【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图圆圈的个数找到第个图的规律为 是解题的关键 3 如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的 是 ． B． ． D． 【答】D 【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有 ， 故选D． 【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点 数之和为10． 4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个格小正方形的边长均 为1 个单位长度，以点P 为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下 去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ，则顶点 的坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据图象可得移动3 次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 ． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ∴ ， ∵ ，则 ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 5 将字母“”，“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4 个图形中字母“”的个 数是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．9 B．10 ．11 D．12 【答】B 【分析】列举每个图形中的个数，找到规律即可得出答． 【详解】解：第1 个图中的个数为4， 第2 个图中的个数为4+2， 第3 个图中的个数为4+2×2， 第4 个图中的个数为4+2×3=10，故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中的个数，找到规律：每 个图形比上一个图形多2 个是解题的关键． 6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形 是边长为 的正方形，曲线 是由多段 的圆心角的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 的圆心依次为 循环，则 的长是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】曲线 是由一段段90 度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ， 得到 ， ，得出半径，再计算弧长即可． 【详解】解：由图可知，曲线 是由一段段90 度的弧组成的，半径每次比前 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 一段弧半径 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 的半径为 ， 的弧长 ． 故选 【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式： ，找到每段弧的半径变化 规律是解题关键． 7 把菱形按照如图所示的规律拼图，其中第①个图中有1 个菱形，第②个图中有3 个菱形， 第③个图中有5 个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图中菱形的个数为（ ） ．15 B．13 ．11 D．9 【答】 【分析】根据第①个图中菱形的个数：；第②个图中菱形的个数： ；第③个图中 菱形的个数： ；…第个图中菱形的个数： ，算出第⑥个图中菱形个数 即可． 【详解】解：∵第①个图中菱形的个数：； 第②个图中菱形的个数： ； 第③个图中菱形的个数： ；… 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 第个图中菱形的个数： ， ∴则第⑥个图中菱形的个数为： ，故正确．故选：． 【点睛】本题主要考查的是图的变化，解题的关键是根据已知图归纳出图个数的变化规律． 8 如图是用黑色棋子摆成的美丽图，按照这样的规律摆下去，第10 个这样的图需要黑色棋 子的个数为（ ） ．148 B．152 ．174 D．202 【分析】观察各图可知，后一个图比前一个图多2（+3）枚棋子，然后写成第个图的通式， 再取＝10 进行计算即可求解． 【解析】根据图形，第1 个图有12 枚棋子， 第2 个图有22 枚棋子， 第3 个图有34 枚棋子， … 第个图有2（1+2+…++2）+2（﹣1）＝2+7+4 枚棋子， 故第10 个这样的图需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）． 故选：． 9 把黑色三角形按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有1 个黑色三角形，第②个图中 有3 个黑色三角形，第③个图中有6 个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图 中黑色三角形的个数为（ ） ．10 B．15 ．18 D．21 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】根据前三个图中黑色三角形的个数得出第个图中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+……+，据此可得第⑤个图中黑色三角形的个数． 【解析】∵第①个图中黑色三角形的个数为1， 第②个图中黑色三角形的个数3＝1+2， 第③个图中黑色三角形的个数6＝1+2+3， …… ∴第⑤个图中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B． 10 观察下列树枝分杈的规律图，若第 个图树枝数用 表示，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】 根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化 规律，进而得到规律 ，代入规律求解即可． 【详解】 解：由图可得到： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则： ， ∴ ， 故答选：B． 【点睛】 本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11 用正方形按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有5 个正方形，第②个图中有9 个正 方形，第③个图中有13 个正方形，第④个图中有17 个正方形，此规律排列下去，则第⑨ 个图中正方形的个数为（ ） ．32 B．34 ．37 D．41 【答】 【分析】第1 个图中有5 个正方形，第2 个图中有9 个正方形，第3 个图中有13 个正方 形，……，由此可得：每增加1 个图形，就会增加4 个正方形，由此找到规律，列出第个 图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1 个图中有5 个正方形； 第2 个图中有9 个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3 个图中有13 个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4 个图中有17 个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．． 第个图中有正方形，可以写成：5+4（-1）=4+1； 当=9 时，代入4+1 得：4×9+1=37．故选：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数 字之间的规律是解决问题的关键． 12 在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ，每一次将 绕 着点 逆时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得到 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 第二次旋转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】 由题意，点每6 次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2 倍即可解决问题． 【详解】 解：由题意，点每6 次绕原点循环一周， ， 点在第四象限， ， ， 点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， ， 故选：． 【点睛】 本题考查坐标与图形变化 旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的 方法，属于中考常考题型． 13 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1 个正方形需要4 个小正方形，拼第2 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 个正方形需要9 个小正方形…，按这样的方法拼成的第（+1）个正方形比第个正方形多 个小正方形． 【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正 方形的个数的关系找出规律解答即可． 【解析】∵第1 个正方形需要4 个小正方形，4＝22， 第2 个正方形需要9 个小正方形，9＝32， 第3 个正方形需要16 个小正方形，16＝42， …， ∴第+1 个正方形有（+1+1）2个小正方形， 第个正方形有（+1）2个小正方形， 故拼成的第+1 个正方形比第个正方形多（+2）2﹣（+1）2＝2+3 个小正方形． 故答为：2+3． 14．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生 产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命 名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过 个时即用汉文数字表示，如十 一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为 ，乙烷的化学式为 ，丙烷的化学式为 ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ． 【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为 ， 乙烷的化学式为 ， 丙烷的化学式为 ……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2 倍多2 个， 十二烷的化学式为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 15．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图，其中第①个图由4 个小等边 三角形围成1 个小菱形，第②个图由6 个小等边三角形围成2 个小菱形，……，若按此规 律拼下去，则第个图需要火柴棍的根数为 （用含的式子表示）． 【答】 / 【分析】当 时，有 个三角形；当 时，有 个三角形；当 时，有 个三角形；第个图有 个三角形，每个三角形用三根计算 即可． 【详解】解：当 时，有 个三角形； 当 时，有 个三角形； 当 时，有 个三角形； 第个图有 个三角形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 每个三角形用三根， 故第个图需要火柴棍的根数为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 16．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图，它由若干个大小相同的圆片组 成．第1 个图中有4 个白色圆片，第2 个图中有6 个白色圆片，第3 个图中有8 个白色圆 片，第4 个图中有10 个白色圆片，…依此规律，第个图中有 个白色圆片（用含的代 数式表示） 【答】 【分析】由于第1 个图中有4 个白色圆片 ，第2 个图中有6 个白色圆片 ，第3 个图中有8 个白色圆片 ，第4 个图中有10 个白色圆片 ， ，可得第 个图中有白色圆片的总数为 ． 【详解】解：第1 个图中有4 个白色圆片 ， 第2 个图中有6 个白色圆片 ， 第3 个图中有8 个白色圆片 ， 第4 个图中有10 个白色圆片 ， ， ∴第 个图中有 个白色圆片． 故答为： ． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规 律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 17．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求 的值时，发现： ， ，从而得到 ．按此方法可 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解决下面问题．图（1）有1 个三角形，记作 ；分别连接这个三角形三边中点得到图 （2），有5 个三角形，记作 ；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图 （3），有9 个三角形，记作 ；按此方法继续下去，则 ． （结果用含的代数式表示） 【答】 / 【分析】根据题意得出 ，进而即可求解． 【详解】解：依题意， ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 18 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019 个 图形中共有__________个〇． 【答】6058 【解析】由图可得，第1 个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 第2 个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第3 个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4 个图象中〇的个数为：1+3×4=13， … ∴第2019 个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058 个〇，故答为：6058． 【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化 规律，利用数形结合的思想解答． 19．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知， 都是边长为 2 的等边三角形，按下图所示摆放．点 都在x 轴正半轴上，且 ，则点 的坐标是 ． 【答】 【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可． 【详解】解：由图形可得： 如图：过 作 轴， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ∴ ∴ , 同理： ∴ 为偶数， 为奇数； ∵ ，2023 为奇数 ∴ ． 故答为 ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出 几个点、发现规律是解答本题的关键． 20 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1 幅图中有1 个菱形，第2 幅图中有3 个菱形，第3 幅图中有5 个菱形，如果第幅图中有2019 个菱形，则=__________． 【答】1010 【解析】根据题意分析可得：第1 幅图中有1 个．第2 幅图中有2×2-1=3 个．第3 幅图 中有2×3-1=5 个．第4 幅图中有2×4-1=7 个．… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2 个．故第幅图中共有（2-1）个． 当图中有2019 个菱形时，2-1=2019，=1010，故答为：1010． 【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、 归纳并发现其中的规律． 21 观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 时，的值为_____ _______． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】不存在 【分析】首先根据=1、2、3、4 时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第个图形 中“•”的个数是3；然后根据=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断 出第个“○”的个数是 ；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022， 列出方程，解方程即可求出的值是多少即可． 【详解】解：∵=1 时，“•”的个数是3=3×1； =2 时，“•”的个数是6=3×2； =3 时，“•”的个数是9=3×3； =4 时，“•”的个数是12=3×4； …… ∴第个图形中“•”的个数是3； 又∵=1 时，“○”的个数是1= ； =2 时，“○”的个数是 ， =3 时，“○”的个数是 ， =4 时，“○”的个数是 ， …… ∴第个“○”的个数是 ， 由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ①， ② 解①得：无解 解②得： 故答为：不存在 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 22．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 在 轴 的正半轴上，点 在直线 上，若点 的坐标为 ，且 均为等边三角形．则点 的纵坐标为 ． 【答】 【分析】过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，先求出 ，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得 ，然后解直角三角形可得 的长，即可得点 的纵坐标，同样的方法分别 求出点 的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ， ， ， 当 时， ，即 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即点 的纵坐标为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理可得：点 的纵坐标为 ， 点 的纵坐标为 ， 点 的纵坐标为 ， 归纳类推得：点 的纵坐标为 （ 为正整数）， 则点 的纵坐标为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角 三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 23 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6， 10，……，将其中所有能被3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数 据中的第